книги из ГПНТБ / Бирюков, Б. В. Кибернетика и методология науки

сал: «всякая наука есть прикладная логика» \ — а ло­ гика в наши дни математизирована. Но при оценке пер­ спектив реального превращения каждой данной научной дисциплины (или ее фрагмента) в «прикладную матема­ тику» и «прикладную (математическую) логику» следует трезво смотреть на имеющиеся трудности.

Но сначала о возможностях математического описа­ ния. Этому вопросу много места в своих работах уделяет А. А. Ляпунов. В числе причин недостаточного распро­ странения математического моделирования в биологии он называет «порочные философские концепции», заключаю­ щиеся в том, что «живая природа в силу своей специфи­ ки не поддается изучению точными методами. Эти фи­ лософские концепции имеют явно виталистическую при­ роду, хотя нередко выдаются за диалектический материализм» (А. А. Ляпунов, 1966, стр. 6—7).

Мы уже касались этого вопроса (Л. Б. Баженов с соавт., 1963, стр. 503—506; Л. Б. Баженов, Б. В. Бирю­ ков, 1968). Противники математизации обычно аргумен­ тируют тем, что математика неприменима там, где мы имеем дело с очень сложными системами. Так, среди био­ логов бытует мнение, что математические средства при­ менимы лишь к самым простым биологическим явлениям, исключительная же сложность, многообразие и изменчи­ вость их основной массы делают их будто бы недоступны­ ми для математической трактовки. Этот аргумент, который некоторым кажется справедливым, на деле глубоко ошибо­ чен. Как удачно заметил Л. Б. Баженов, он даже не просто неверен: это великолепный пример логической ошибки «поп seqitur». Ведь из сложности биологических явлений следует на самом деле противоположный вывод: посколь­ ку они с л и ш к о м с л о ж и ы, для их глубокого изучения пеобходимы математические средства (Л. Б. Баженов, Б. В. Бирюков, 1968, стр. 45). И прав Г. Клаус, когда пи­ шет: «...та или иная проблема слишком сложна, чтобы ее можно было решить без помощи математики» (Г. Клаус, 1963, стр. 233).

Современная ситуация с математическими методами в науке о жизни напоминает положение, еще не так дав­ но существовавшее в физике. В прпмепеиии к этой глав­ ной науке о неживой природе «с самого начала» было5

5 В. И. Ленин. Полное собрание сочинений, т. 29, стр. 183.

141

очевидно, что для сложных явлений, в ней изучаемых, как раз требуется приложение математического аппара­

щими вполне определенные г н о с е о л о г и ч е с к и е и м е т о д о л о г и ч е с к и е о с н о в а н и я .

Если поставить вопрос в гносеолого-методологическом плане, то трудности математизации опытно-эксперимен­ тальных и «описательных» наук можно усмотреть в сле­ дующем. Предметом изучения в упомянутых науках являются не абстрактные, а так сказать, «конкретные» объ­ екты— объекты низших ступепей абстракции. Так об­ стоит дело не только, скажем, в исторической науке, конкретных социальных исследованиях, психологии или педагогике, но и в науках о жизни, в физике. Но «пере­ кинуть мост» от абстрактных объектов к объектам кон­ кретным — а математизация и есть этот мост — не просто. История науки последних десятилетий свидетельствует о неоднократном крушении слишком поначалу радужных

дом с одного языка на другой, который, вопреки прогно­ зам 50-х годов, и до сих пор не вышел из стадии научно­ го поиска (развивающегося, впрочем, весьма успешно).

Рассмотрим вопрос более подробпо. Используем в каче­ стве иллюстрации теорию формальных нейронных сетей. Значимость этой теории выходит за пределы нейро­ физиологии, логики и теории автоматов (областям, к кото­ рым она непосредственно принадлежит). Это объясняется тем, что создатели данной теории связывали с пей тезис — основную гипотезу теории формальных нервных сетей,— согласно которому любое функционирование, которое можно общепопятно, однозначно и полно описать в какомлибо языке, можно реализовать с помощью некоторой фор­ мальной нейронной сети. В свете этого тезиса — гипотезы

142

пе менее убедительной, чем известные гипотезы теории алгоритмов (тезис А. Чёрча, принцип нормализации А. А. Маркова и др.),— понятны попытки использования теории формальных нервных сетей в качестве источника математико-логических моделей различных форм поведе­ ния (начиная с условного рефлекса). Однако средствами этой теории невозможно продвинуться в описании сложных форм деятельности, что и определяет ее ограниченное значение для нейрофизиологии и тем более психологии.

Действительно, в теории формальных нейронов (соз­ данной работами У. Мак-Каллока и У. Питтса и подняв­ шейся на новый этап после того, как Мак-Каллок в 1958 г. предложил использовать в ней аппарат диаграмм Беннае) прообразами основных объектов этой теории — формаль­ ных нейронов — являются реальные нервные клетки. В какой мере формальные нейроны как абстрактные объ­ екты являются хорошим приближением к реальным ней­ ронам? Первоначально это приближение было построено па понимании нейрона как «жесткого» детерминистского устройства, безошибочно работающего по принципу «все

недостаточно, теория, построенная на его основе, позво­ лила получить ряд замечательных результатов и среди них вывод о том, что поведение любой такой нейронной сети может быть описано в терминах математической ло­ гики. По мере развития теории формальных нейронных сетей «грубость» первоначальных допущений постепенно уменьшалась; в теорию были введены формальные ана­

Питтса (40-е и 50-е годы) породило у некоторых киберне­ тиков ощущение, что именно с этой теорией (или подобной ей) будут, хотя бы отчасти, связаны дальнейшие теорети­ ческие успехи нейрофизиологии. Но действительность по-6

6 О развитии и основных понятиях теории формальных нейрон­ ных сетей, основанной на логическом аппарате диаграмм Венна, см.: И. Б. Гутчин и А. С. Кузнчев, 1967; А. С. Кузичев, 1968. Статьи Мак-Каллока и его учеников в русском переводе опуб­ ликованы в сборниках: «Самоорганизующиеся системы». Перев. с апгл. М., 1964; «Принципы самоорганизации». Перев. с англ.

М„ 1966.

143

казала не состоятельность этих надежд. Несмотря па то что теория формальных нервных сетей продолжала (и про­ должает) развиваться, она оказалась для нейрофизиоло­ гических исследований мало перспективной. Это объясня­ ется тем, что основные объекты этой теории — формаль­ ные нейроны являются слишком грубым приближением к реальным нервным клеткам, а основная установка этой теории — исходя из о т д е л ь н ы х формальных нейронов синтезировать формальные нейронные сети — не позволяет получить аппарат описания мозговых структур, состоящих из миллионов, сотен миллионов и более нервных клеток.

То, что эта логическая (дополненная элементарными вероятностными соображениями) теория исходит из отдельного нейрона, составляет фактически неустранимую, неотъемлемую ее черту. Неудивительно, что теория стано­ вится слишком громоздкой при описании систем уже из десятков нейронов; при дальнейшем росте числа нейронов ее аппарат приобретает совершенно необозримый харак­ тер. Очевидно, что эта теория полностью непригодна для описания нейронных структур, сравнимых по числу ней­ ронов со структурами мозга, изучаемых физиологами (по современным оценкам, число нервных клеток мозга чело­ века составляет величину порядка 10й). Некоторое сня­ тие ограниченности этой теории сулит применение мето­ дики блочного синтеза формальных нейронных структур, идея которого выдвинута в работах по синтезу автома­ тов,— но только некоторое. Ограниченность теории, свя­ занная с выбором «формального нейрона» в качестве основного абстрактного объекта теории, неотделима от самой теории. Этим, в частности, объясняются скромный интерес нейрофизиологов к теории Мак-Каллока и попыт­ ки построения математических моделей управляющих систем мозга, основанные на других идеях (см., например, работы И. М. Гельфанда и М. Л. Цетлина).

Рассмотренная иллюстрация относится к области био­ логических наук. Но подобные трудности применения де­ дуктивно-математических и абстрактно-логических мето­ дов к материалу, получаемому путем экспериментов, наблюдений, собирания и чисто «качественного» анализа фактов, имеет место и в гуманитарных науках. Так, в лингвистике и экономической пауке главная забота иссле­ дователей, применяющих в этих областях весьма широкий круг идей и средств математики, математической логики

144

и кибернетики, состоит в построении таких абстрактных объектов, которые достаточно хорошо отражали бы иссле­ дуемую в этих науках реальность. Аналогичную картину мы наблюдаем и в психологии, педагогике, праве. В педа­ гогике, например, оказалось, что такой прекрасно «отрабо­ танный» в кибернетике и логике способ описания поведе­ ния, как алгоритмическое описание, требует модификации главного абстрактного объекта, фигурирующего в такого рода описании, — понятия алгоритма. Результатом яви­ лось введение понятия «предписания алгоритмического тина» (Л. Н. Ланда, 1966), а затем и целой гаммы других попятий (см. совместную с Е. С. Геллером книгу автора, 1973, стр. 147 — 156, 247—255), включая «расплывчатые алгоритмы» Л. Заде (Л. Заде, 1968).

Формирование дедуктивно-математических фрагментов в эмпирических, в частности экспериментальных, науках (каковыми преимущественно являются и нейрофизиоло­ гия, и психология, и педагогика) требует сопоставления предлагаемых математических описаний с данными кон­ кретных исследований. Это трудный процесс, так как он связан — об этом мы уже говорили — с непривычным как для математиков, так и для специалистов в конкретных областях «переводом» понятий одной области на язык другой, с определением меры допустимых упрощений ре­ альных объектов при превращении их в «абстрактные объекты», и т. и. Этот перевод — не простая задача. Еще Дж. фон Нейман констатировал, например, что «язык мозга — не язык математики», ибо он не функционирует по припципу «да или нет», «все или ничего» («черно-бе­ лая логика», как иногда говорят). И поиски систем аб­ страктных объектов (и законов их преобразования), ко­ торые составили бы логику, адекватную работе мозга, продолжаются до сих пор: эффективная «математизация» здесь еще впереди. Наука еще не сумела «подобрать» для «конкретных» феноменов нейрофизиологической области такие абстрактные объекты, которые с достаточно хо­ рошим приближением можно было бы считать отображе­ нием исходных «конкретных» процессов.

Трудность математизации можно сформулировать и иначе — опираясь на различие понятий истинности в эмпирических и дедуктивных науках. Поскольку речь в математических утверждениях идет об абстрактных объек­ тах, понятие истинности получает в математике специфи­

145

ческий смысл. Последний проистекает прежде всего из того, что утверждения математики не допускают эмпири­ ческой, опытной проверки — сравнения с фактами, не опосредованного предварительно созданной (абстрактной) теорией. Однако математика, как и любое знание вообще, не может обойтись без понятия истинности — вопреки иногда высказываемому взгляду (его придерживается, на­ пример, С. Лем, который в своей книге «Сумма техноло­ гии» утверждает, что понятие истины неприменимо в мате­ матике, пытаясь основать на этом тезисе специфику мате­ матического знания; см. С. Лем, 1968). В этом нетрудно убедиться, раскрыв работы по основаниям математики, в которых понятие и с т и н н о с т и — вместе с такими поня­ тиями, как непротиворечивость или полнота математиче­ ских теорий,— принадлежит к числу важнейших (см., на­ пример: С. К. Клини, 1957; А. А. Френкель и И. Бар-Хил- лел, 1966). Не останавливаясь подробнее на природе истин­ ности в математике, ибо это завело бы нас слишком далеко, отметим лишь, что математическая истинность через поня­ тие непротиворечивости оказывается связанной в конечном счете с понятием интерпретации (об этом понятии см.: ІО. А. Гастев, 1962а) как переводом на язык более «кон­ кретных» (более «понятных», более «наглядных» и т. п.) теорий.

Сказанное бросает методологический свет на другой аспект трудностей математизации. Если смотреть на них (как мы неявно делали раньше) со стороны «конкретной» теории, то это будут трудности, связанные с подбором для нее подходящей системы «абстрактных объектов». По-ино­ му выглядит дело, если смотреть на них со стороны абст­ рактной теории. Тогда это будут трудности «верифика­ ции» — оправдания истинности — предложений данной теории на интерпретациях, построенных на основе («в терминах») интересующей нас «конкретной» области.

Было бы ханжеством закрывать глаза на тот факт, что существующей математики недостаточно для решения многих проблем, возникающих в мире сложного — живого и социального. Возможности переноса ее методов, отрабо­ танных на явлениях одного «сорта», на новый, ранее не изучавшийся математическими методами круг феноменов всегда ограниченны. Непонимание этого обстоятельства, а также обусловливающих его гносеолого-методологичестшх причин может порождать методологические ошибки двоя­

146

кого рода (Н. Н. Воробьев, 1970): отвержение самой воз­ можности качественно новых приложений сложившегося математического аппарата 7 и взгляд, будто такой аппарат, разработанный для исчерпывающего, на определенном уровне, описания некоторых явлений, в состоянии столь же исчерпывающим образом описывать иные, существен­ но более сложные явления.

Все сказанное означает, что математическое изучение сложных процессов не есть простое применение к ним го­ тового математического аппарта (в преобладающей своей части развившегося на основе запросов дисциплин физи­ ческого цикла). Налицо сложный процесс проникновения науки во все более глубокую сущность явлений живого и социального и одновременного формирования нового, адек­ ватного предмету исследования математического языка. Этот путь в настоящее время все сильнее заявляет о себе, и поэтому в методологической литературе все меньше ка­ саются вопроса о правомерности или неправомерности математического моделирования различных конкретных процессов, а главное внимание обращают па то, в каких формах такое моделирование наиболее эффективно осу­ ществляется. При этом под математизацией знания пони­ мают не только применение существующего (и вновь создаваемого) математического аппарата, но и эвристи­ ческую роль математики, ее. участие в формировании

1969).

Математико-кибернетические методы оказывают глубо­ кое влияние на изменение первичных подходов к изучению явлений и процессов. Для того чтобы определить матема­ тический аппарат, способный достаточно полно отобра­ зить характер протекания явления в данной эмпиричес­ кой области, требуется предварительно т о ч но сформули­ ровать положения математизируемой области. Напри­ мер, тот факт, что биологические и социальные процессы отличаются громадным разнообразием форм, изменчиво­ стью, способностью при, как будто, совсем одинаковых

7 На конференции «Математическое моделирование жизненных процессов» (Москва, 1Ш5 г.) в этом смысле высказывался, на­ пример, Г. В. Гершунн.

147

ранение вероятностно-статистических представлений и методов и их использование при обработке эмпирического материала, относящегося к этим процессам. Это требует иного — строгого — отношения к упомянутому материалу с тем, чтобы он удовлетворял всем постулатам математи­ ческой статистики.

Таким образом, приложения математики с необходи­ мостью влекут за собой изменение самого математическо­ го аппарата и связанного с ним круга понятий. В част­ ности, меняется представление о прикладной математике: прежде четкие границы, отделявшие ее от теоретической математики, под влиянием кибернетики начинают «раз­ мываться» (ср. В. В. Налимов, 1971). Но самое существен­ ное здесь, пожалуй,— это то преобразующее воздействие, которое все более оказывает на математику «кибернетичес­ кая» проблематика управления процессами в сложных системах: задачи изучения сложных «гомеостатических» систем живого, «больших» систем в технике, решения проблем опознавания образов и «усилителя интеллекта», проблем, относящихся к высокосложным системам совре­ менной экономики или административного управления, требуют дальнейшей разработки математического аппа­ рата.

Это не должно удивлять. В течение столетий развитие математики (по крайней мере, тех ее разделов, которые были связаны с приложениями) было ориентировано па задачи, которые ставили астрономия, физика, техника, а это были задачи из области в общем-то «простых» сис­ тем (во всяком случае «простых» по сравнению с система­

ный «сложным» системам жизни или экономической дея­ тельности, «прежняя» математика оказалась недостаточ­ ной. Преодоление этой недостаточности, как известно, идет по пути развития многих новых математических дисцип­ лин, входящих в теоретический арсенал кибернетики: та­ ких, как теория игр, линейное и динамическое програм­ мирование, теория статистических решений, исследование операций, математическая теория планирования экспери­ мента и др.

148

Это обстоятельство отмечают многие исследователи — и биологи (например, Н. А. Бернштейн, 1964), и кибернети­ ки (например, А. И. Берг, 1962, 1964), и математики (на­ пример, Н. Н. Воробьев, 1970), и философы, писатели (например, С. Лем, 1968). У А. А. Ляпунова мы читаем: «Нередко построение математических моделей биологи­ ческих явлений требует разработки принципиально новых разделов математики» (А. А. Ляпунов, 1966, стр. 6).

Интересные соображения высказывает Н. Н. Воробьев. Он обращает внимание на то, что просхождение «традици­ онного» математического аппарата ограничивает его при­ менение в тех отраслях знания, где изучаемые явления определяются пе столько физическими закономерностями, сколько закономерностями иного рода. Например, экспо­ ненциальные зависимости, соответствующие решению хо­ рошо известного дифференциального уравнения, достаточ­ но адекватно описывают разнообразные явления (напри­ мер, рост числа частиц, получающихся в результате цеп­ ной реакции). Те же зависимости в экономике, хотя они и встречаются довольно часто в литературе, адекватно описывают реальное положение дел лишь в исключитель­ ных случаях (например, при исчислении сложных про­ центов на вклады в банке, да и то при его стабильном финансовом положении). «Для того, чтобы нефизические науки смогли в полной мере математизироваться, для них должен быть создай свой специальный, достаточно само­ стоятельный математический аппарат» (Н. Н. Воробьев, 1970, стр. 74). Конечно, это не может быть некая совсем «новая» математика, порвавшая с исторической традици­ ей и методами «старой» математики. Наоборот, новые разделы математики, возникающие как ответ на задачи нематематических областей, должны использовать дости­ жения классических разделов математики. Н. Н. Воробьев высказывает здесь интересную мысль о том, что «мера» этого использования должна соответствовать тому, в какой степени физические явления существенны для протека­ ния сложных биологических или социальных явлений или (что, замечает он, в сущности почти то же самое) в какой мере биологические или общественные науки могут воспользоваться физическими теориями или их аналогия­ ми-интерпретациями.

Итак, практические потребности исследования кон­ кретных процессов в сложных системах ставят перед ма-

149

тематикой новые задачи, требуют продвижения в опреде­ ленных направлениях существующих математических теорий, создания новых направлений. Особепно большие требования предъявляют к математике экономическая наука и наука о жизни — требования, которых вообще не могло быть до проникновения в эти области кибернети­ ческих идей. В реализации этих требований весьма суще­ ственно должное взаимодействие математиков и нематематиков: взаимодействие, при котором математики вника­ ют в существо экономических или биологических процес­

крупнейших отечественных физиологов — Н. А. Бернштей­ на. «Обращавшиеся к вопросам биологии ученые-матема­ тики далеко не сразу убедились, что находящийся в их руках великолепный аппарат, выработавшийся для анали­ за задач о неживой природе и безукоризненно обслужи­ вающий проблематику физики и химии, неадекватен для

сейчас этот начальный фазис недопонимания уже изжит или близок к этому, и передовые математики успели ясно представить себе, что их вооружение, перед которым не выстаивает ни одна твердыня неживой природы, не в си­ лах пока адекватно выразить своеобразие, присущее проб­ лемам жизни» (Н. А. Бернштейн, 1968, стр. 196—197). Ныне речь должна идти не о каком-то «приживлении» или «подсадке» математики к биологии извне (такие по­ пытки делались и, несомненно, еще будут делаться), а о «выращивании новых, биологических глав математики изнутри, из самого существа тех вопросов, которые ста­ вятся перед нами науками о жизнедеятельности. Осна­ щенные (быть может, уже в недалеком будущем) действи­ тельно адекватным математическим аппаратом, биология и биокибернетика сольются тогда, как думается, в синтети­ ческую науку, которая станет для них новой и высшей ступенью» (Н. А. Бернштейн, 1968, стр. 197).

В чем в логическом плане состоит плодотворность мате­ матических методов в исследованиях живого и социально­ го?— В д е д у к т и в н о м (в широком смысле этого тер­ мина) оформлении соответствующих содержательных тео­

150