книги из ГПНТБ / Дегтяренко, В. Н. Транспортные узлы промышленных районов учебник

Наиболее часто встречаются в транспортных потоках: гамма-распределение (типа III по классификации К. Пирсона); экспоненциальное распределение;

бетта-распределение (типа I по классификации К- Пирсона).

Гамма-распределение (типа III) определено на положительной прямой, и его основу составляет функция е ~ Хх xk~\ где X и k — поло­ жительные постоянные. Начало функции совпадает с началом коорди­ нат, далее функция возрастает до максимального значения, затем асимптотически приближается к оси абсцисс. При различных значениях постоянных X и k форма кривой может существенно изменяться.

Плотность распределения имеет вид

валы времени между прибытием заявок, попадание которых в задан­ ный отрезок подчинено распределению Пуассона.

Распределение длительности интервалов по экспоненциальному распределению имеет вид (рис. 99)

Так же, как распределение типа III тесно связано с гамма-функ­ цией и получило название гамма-распределения, распределение типа I связано с бетта-функцией и называется бетта-распределением. Его функция распределения имеет вид

Характер распределения случайных величин в потоке можно опре­ делить при наличии достаточного объема статистических наблюдений. Достоверность характеристики потока в принятых интервалах зависит от числа наблюдений. Количество интервалов группирования наблюде­

180

ний К (а следовательно, и размер интервала) в зависимости от разме­ ров выборки п можно определить по формуле Старджееса

Так, для определения неравномерности прибытия за сутки подач «а завод по часовым интервалам (24 интервала) необходимо иметь выбор­ ку с числом наблюдений не менее

При двухчасовом интервале

12 — 1

lgn = --------= 3,34; « = 2180. 3,3

При описании различных типов плотности вероятностей были ори­ ентировочно указаны процессы, которые этим закономерностям подчи­ нены. При решении задач необходимо проверить принятую гипотезу по соответствующим критериям согласия теоретического и фактического распределения.

Близость теоретического распределения прерывных (дискретных) величин к эмпирическому следует определять критерием К- Пирсона X2, непрерывных — критерием А. Н. Колмогорова.

Пример анализа потока случайных величин. При подготовке мате­ риалов для формализации процесса углепогрузочного комплекса воз­ никла необходимость выявления характера распределения интервалов между поступающими подачами порожних вагонов на шахту А. Прове­ дено 171 наблюдение. Это дает нам право сгруппировать полученные

Обычно интервалы между подачами имеют экспоненциальное рас­ пределение. Проверим эту гипотезу. Результаты расчетов представ­ лены в табличной форме.

181

При таких значениях q я k

Х?= 7,8.

Практическое значение критерия равно сумме взвешенных квадра­ тов уклонений

i

^К- —«й )2

------------- = 9,52.

2п Р':

i—1

* Число интервалов группировки уменьшилось за счет объединения интервалов 6—9, так как в эти интервалы попадает менее 10 подач в каждый.

182

Проверим гипотезу распределения интервалов по гамма-распоеде- лению. Расчеты сведены в табл. 23.

Относительные середины интервалов вычисляются по формуле

Параметры; гамма-распределения равны:

3. ХАРАКТЕРИСТИКА ТРАНСПОРТНОГО УЗЛА КАК СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ

Система массового обслуживания — это комплекс устройств, пред­ назначенных для выполнения определенных операций с поступающими заявками. Применительно к транспорту — это комплекс устройств, ко­ торые в какой-либо мере заняты в операциях с поступающими поез­ дами, вагонами, грузами. Как было отмечено выше, границы системы устанавливаются в зависимости от категории решаемой задачи.

Группа обслуживающих устройств или, как ее еще называют, об­ служивающая система, состоит из элементов, которых может быть несколько. Элементы могут быть однородны, и обслуживание на них может вестись параллельно. Например, несколько экскаваторов в

183

карьере. Такое обслуживание называется однофазным. Обслуживаю­ щие. элементы могут быть неоднородны, и операции на них осуществ­ ляться в определенной последовательности, в соответствии с принятой технологией. Например, при выполнении выгрузочной операции: пути приема, расценочный мост, вагонооцрокидыватель, траверзная тележка, выставочный парк порожних вагонов. Такое обслуживание называется многофазным.

Работа каждого обслуживающего элемента определяется его эк­ сплуатационными параметрами, которые при последовательной орга­ низации обслуживания должны быть близки. В противном случае про­ пускная способность комплекса обслуживающих устройств 'будет огра­ ничена его элементом, имеющим наименьшую производительность.

При многофазном обслуживании для решения определенных задач система может быть разделена на подсистемы, каждая из которых рас­ сматривается как самостоятельная система более низкого порядка.

Частным случаем последовательной системы обслуживания являет­ ся ветвящийся процесс. Здесь после прохождения одного или нескольких общих обслуживающих элементов заявки делятся по определенным при­ знакам на группы, каждая из которых поступает на свои обслуживаю­ щие элементы. В конце системы обслуживания группы заявок снова мо­ гут объединяться в один поток, что, конечно, не обязательно. Например, составы цистерн прибывают на сортировочную станцию нефтеперераба­ тывающего завода. После выполнения общих для всех цистерн операций в парке приема часть идет на промывочно-п.ропарочнуюстанцию (ППС), часть — на товарно-сырьевую базу (ТСБ). Первая группа цистерн после очистки на ППС также поступает на ТСБ, и поток заявок объединяется в единый поток.

Разделение потока заявок на обслуживание на одиночные и группо­ вые несколько условно. Оно зависит от характера решаемой задачи. При­

нуждающихся в индивидуальной обработке.

Одиночные заявки могут объединяться во входном элементе системы (подсистемы) и обслуживаться труппой. Например, прибывающие пар­ тии грузов накапливаются до нормы вагона, грузятся и отправляются уже группой, в одном вагоне. И, наоборот, групповая заявка может в процессе обслуживания делиться на одиночные и выполняться отдельно, часто даже с изменением технологии. Например, прибывший в разбор­ ку поезд (групповая заявка) разгружается на разных выгрузочных фронтах, причем каждый вагон обслуживается как самостоятельная заявка.

Заявки, поступающие в систему массового обслуживания, не всегда могут быть ею приняты, система может быть занята или неисправна. В

184

этом случае во входном элементе возникает очередь ,на обслуживание. В зависимости от характера обслуживания, емкости входного элемента и рода заявки можно системы обслуживания подразделить на типы с ожи­ данием, е отказом и о ограничением.

Транспортные системы — это чаще всего системы с ожиданием. При занятости обслуживающего элемента заявки ждут очереди в накопителе (входном элементе). Такие накопители могут быть только перед всей об­ служивающей системой или перед каждым обслуживающим элементом.

При отсутствии накопителя или недостаточной его емкости заявки, получившие .отказ, могут выйти из системы и снова на обслуживание в эту систему не попасть.

Например, .при неисправности экскаватора все или часть автомо­ билей, предназначенных для перевозки песка, могут быть направлены на погрузку гравия в другой карьер. Из системы обслуживания «песчаный карьер» такие автомобили выпадают.

То же происходит с вагонами, поданными под погрузку на какой-то определенный погрузочный фронт завода.

Правда, если в качестве системы рассматривать не отдельный карь­ ер или фронт погрузки завода, а группу карьеров снабжающих инерт­ ными материалами завод или группу погрузочных фронтов одного предприятия, то характер этой системы более высокого порядка стано­ вится другим и с рассматриваемой точки зрения система обслуживания будет «с ограничениями».

iB системах с ожиданием порядок обслуживания накопившихся зая­ вок может быть различен в соответствии с установленной дисциплиной очереди:

впорядке поступления;

вслучайном порядке;

с преимуществом (приоритетом).

Первые две дисциплины очереди не требуют пояснения. При дисцип­ лине с приоритетом некоторые заявки имеют преимущество в обслужива­ нии перед другими, ранее поступившими. Это, например, вагоны парка МПС перед вагонами собственного парка, вагоны со скоропортящимися грузами перед другими вагонами (независимо от их принадлежности)

ит. д.

Взаключение необходимо отметать, что работа каждого обслужива­ ющего элемента системы, его надежность, время обслуживания заявки

от нас зависят мало. Организация их работы, последовательность соеди­ нения обслуживающих элементов в группы, дисциплина очереди, места и емкость накопителей зависят от нас, и правильное решение таких воп­ росов дает возможность значительно увеличить пропускную способность системы без существенных ее изменений.

Приведем один весьма характерный пример. Закрепление автомоби­ лей за экскаваторами, работающими в угольном разрезе (очередь перед каждым из группы параллельных обслуживающих элементов при одно­ фазном обслуживании), вело к простою и экскаваторов (интервал между последовательно поступающими под погрузку автомобилями больше вре­ мени погрузки одного автомобиля) и автомобилей (при групповом подхо­

185

де автомобилей). Отказ от закрепления и общая очередь перед группой экскаваторов дала возможность диспетчеру направлять автомобиль иод любой, свободный в данную минуту экскаватор, что значительно сокра­ тило простои и увеличило производительность системы.

4. ОСНОВНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Вобщем случае качество функционирования сложной системы ха­ рактеризуется коэффициентом ее эффективности, который отражает сте­ пень приспособленности системы к выполнению поставленных перед нею задач и определяется всем множеством параметров системы и характе­ ром внешних воздействий.

Вчастных случаях при анализе отдельных свойств системы, наибо­ лее важных для данного типа задач, могут быть приняты для характери­ стики эффективности другие покзатели: надежность, безопасность, про­ пускная и перерабатывающая способность, время обслуживания и др.

Всложных транспортных системах для решения группы наиболее часто встречающихся задач в качестве основных могут быть приняты следующие показатели:

вероятность застать все обслуживающие устройства занятыми (или свободными);

среднее время нахождения заявки в системе; среднее время ожидания обслуживания, общее время ожидания за

интересующий нас период;

средняя длина очереди за интересующий нас период; коэффициент занятости (использования) элементов системы по вре­

мени.

Для системы с потерями основное значение имеет первый показатель. Расчеты по средним величинам, когда число обслуживающих эле­ ментов принимается по отношению общего потока заявок за определен­ ный период к производительности одного элемента (средней), справед­ ливы только для равномерных потоков при небольшой степени занято­ сти элементов. При неравномерных потоках время простоя в ожидании об­ служивания при сгущенном подходе заявок и время простоя обслужива­ ющего элемента при разреженном подходе заявок вносят существенные коррективы в экономику расчетов. В ряде случаев экономически целесо­ образно увеличить число обслуживающих элементов, понизив коэффи­ циент их использования, но уменьшить время ожидания обслуживаемых

заявок.

При загрузке одного обслуживающего элемента 0,8 и случайном по­ токе вероятность застать систему свободной — 0,2, при двух элементах, загруженных на 0,4, вероятность застать хотя бы один элемент свобод­ ным составляет 0,55. А отношение среднего времени ожидания к средне­ му времени обслуживания при тех же условиях уменьшается е 4 до 0,19.

Среднее время ожидания обслуживания при пуассоновском входя­ щем потоке и произвольном распределении времени обслуживания, при

186

различном числе обслуживающих (параллельных) устройств можно оп­ ределить по формуле, предложенной В. А. Падней:

________________ Р________________

при условии — <1,

м

где х — число заявок, ожидающих начала обслуживания;

М— число обслуживающих устройств;

р— интенсивность потока заявок, прибывших за время занятия об­

Среднее время пребывания заявки в системе обслуживания (с уче­ том ожидания) может быть определено по формуле, предложенной В. А. Падней:

'Среднюю длину очереди заявок, ожидающих обслуживания, можно определить по формуле, 'предложенной В. А. Падней (при показательном распределении времени обслуживания):

187

5. ПРИНЦИПЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМ1

Множественность и случайный характер внешних воздействий на си­ стему делают анализ ее функционирования в различных условиях зада­ чей очень сложной. Возможны два принципиальных метода определе­ ния свойств системы:

экспериментальный, когда проводятся эксперименты, наблюдения над действующей системой и результаты их анализируются, и

моделирование системы, когда создается физическая, электрическая, математическая модель процесса, установки, комплекса устройств и на этой модели с использованием определенных коэффициентов подобия изучаются параметры системы.

В настоящее время в транспортных системах наибольшее распро­ странение получило математическое моделирование, позволяющее с ми­ нимальными затратами решать очень широкий круг задач, в том числе экономических, связанных со сравнением очень большого числа вари­ антов.

При создании математической модели учитываются только основные факторы, определяющие интересующие нас свойства системы.

Под математической моделью реальной системы подразумевается совокупность соотношений (формул, уравнений, неравенств, логических условий, операторов), определяющих характеристики состояний системы (а через них и выходные сигналы) в зависимости от параметров системы, входных сигналов, начальных условий и времени.

Входные сигналы, параметры системы, начальные условия могут быть детерминированными или случайными. Для транспортных более характерны системы, в которых все перечисленные условия и протекаю­ щие процессы случайны.

1 Использованы материалы Н. П. Бусленко '[4].

188