книги из ГПНТБ / Кузнецов, Б. Г. Этюды об Эйнштейне

Иначе говоря, релятивистская причинность связы­ вает события на световом конусе (время между со­ бытиями равно времени прохождения света) и внут­ ри светового конуса (время между событиями боль­ ше времени прохождения света). Схема регенерацийсдвигов со скоростью р/т = с означает дискретность пространства-времени на световом конусе.

2

Выделим «короткие» причинные связи, определяю­ щие ход трансмутационных процессов — сдвигов на дискретной поверхности светового конуса, и введем для них понятие ультрарелятивистской причинности. Под релятивистской причинностью в собственном смысле будем понимать причинные связи, определяю­ щие непрерывные движения тождественных себе тел. Для частиц с ненулевой массой покоя релятивист­ ская причинность определяет события внутри свето­ вого конуса.

Схема дискретного пространства-времени на све­ товом конусе должна быть исходным пунктом обо­ снования релятивистской причинности, т. е. каузаль­ ной картины непрерывных движений со скоростями, меньшими, чем скорость света. Переход от дискрет­ ного пространства-времени на световом конусе и ультрарелятивистской причинности к непрерывному пространству-времени внутри светового конуса и к релятивистской причинности можно иллюстрировать следующей схемой.

Мир внутри светового конуса — это мир макро­ скопических движений частиц с неравной нулю соб­ ственной массой, иначе говоря, всех элементарных

200

частиц за вычетом фотонов, нейтрино и антинейтри­ но, которые движутся не только микроскопически, но и макроскопически на световом конусе. Мы пред­ полагаем, что частица с ненулевой массой покоя дви­ жется (в ультрамикроскопическом аспекте) на све­ товом конусе; она совершает элементарные сдвигирегенерации со скоростью р/т = с , т. е. со скоростью, равной скорости света. Но пространственные направ­ ления этих сдвигов различны, и в этом различии выражается ненулевая масса покоя частицы. Если вероятности регенерации частицы в противополож­ ных направлениях везде одинаковы, то в результате большого числа случайных блужданий сдвиги в про­ тивоположных направлениях уравновесятся и части­ ца окажется вблизи исходного пункта. Если же в пространстве существует некоторая диссимметрия вероятностей, т. е. вероятность регенераций в одну сторону больше, чем вероятность регенераций в про­ тивоположную сторону, то частица будет обладать некоторой отличной от нуля макроскопической ско­ ростью. Когда частица находится только в гравита­ ционном поле, направление диссимметрии совпадает с геодезической линией; иные поля выражаются в несовпадении диссимметричного направления с гео­ дезической. Макроскопическая мировая линия части­ цы с ненулевой массой покоя имеет, очевидно, непре­ рывный характер, а макроскопическая скорость и частицы с ненулевой массой не может совпадать с ультрамикроскопической скоростью: V < р/т.

Подобный переход от ультрарелятивистской к ре­ лятивистской причинности устраняет априорный ха­ рактер дискретной геометрии. Вернемся к аналогии с неэвклидовой геометрией. Последняя потеряла априорный и формальный характер и стала физиче­

201

ской геометрией, когда Эйнштейн нашел собственно физический переход от условий, при которых про­ странство-время обладает эвклидовыми свойствами, к условиям, при которых оно обладает неэвклидовы­ ми свойствами. Это был переход от областей, где можно пренебречь гравитационными полями, к об­ ластям, в которых их необходимо учитывать.

Аналогичным образом дискретная геометрия ста­ новится физической геометрией, когда известны не только физические условия ее применимости, но также физический переход к условиям применимо­ сти континуальной геометрии.

В сущности, в общей теории относительности, описывающей, вообще говоря, переменные гравита­ ционные поля, нашла физическое воплощение гео­ метрия, если можно так выразиться, «переменной аксиоматизации», геометрия, в которой отступление от аксиомы параллельных становится переменным и измеримым параметром. Соответственно дискретное пространство-время на световом конусе, переходя­ щее в макроскопически непрерывное при скоростях,

идет о генезисе самого понятия га-мерности и самого понятия метрики, следовательно, не о математиче­ ских, а о метаматематических понятиях.

Речь идет о переходе от нульмерного простран­ ства к ненульмерному. Схема элементарных регене­ раций применима и к непротяженным частицам, и, собственно, нет оснований возвращаться к идее про-

202

тяЖёйного шарика, занимающего на этот раз про­ странственно-временную клетку. Достаточно предпо­ ложить, что непротяженная частица регенерирует на расстоянии р через интервал времени т. В этом слу­ чае пространство регенерирующих частиц — точеч­ ное пространство, т. е. нульмерное. Отсюда вытекает ряд выводов, относящихся к логическим и матема­ тическим проблемам теории относительности.

Процесс измерения пространства, в отличие от счета дискретных точек, придает смысл понятию не­ нулевой размерности. Измерение оперирует расстоя­

т. е. какое-либо мероопределение пространства. При неисчислимом множестве промежуточных точек та­ кая формула должна существовать, включая посто­ янные (как в специальной теории относительности) или переменные (как в общей теории относительно­ сти) параметры. Напомним, что уже Риман в своей лекции «О гипотезах, лежащих в основании геомет­ рии» различал абсолютную метрику дискретного и относительную метрику непрерывного многообра­ зия *.

Можно показать, что аксиоматизация теории от­ носительности должна исходить из инфинитезималь-1

1 См. «Об основаниях геометрии». Сб. классических ра­ бот. М„ 1956, стр. 323—324. Подробнее об этом — ниже,

стр. 261—269.

203

ных понятийО тсю да можно определить характер аксиоматизированной схемы перехода от ультрарелятивистской причинности на световом конусе к ре­ лятивистской причинности в непрерывном простран­ стве-времени. Речь идет о переходе от множества дискретных регенераций на световом конусе к мно­ жеству положений частицы, непрерывно движущей­ ся внутри светового конуса. Появление такого мно­ жества связано с понятиями измерения, метрики, инвариантности по отношению к непрерывным груп­ пам, т. е. с основными понятиями геометрии ненуль­ мерных пространств. Самый же переход аксиомати­ зируется с помощью понятий более общих, чем ис­ ходные понятия измерения несчетных множеств.

3

Мы попытаемся сейчас показать, каковы эти поня­ тия. Для этого отойдем от абстрактных связей меж­ ду математическими и логическими категориями и коснемся одной историко-научной проблемы.

Физика Аристотеля была прообразом качествен­ но-логических понятий. В X V II в. физика стала про­ образом количественно-математических категорий. В аристотелевой космологии движение и покой тела объяснялись его пребыванием в «естественном» месте или же в ином месте пространства. Движения (помимо «совершенных», круговых обращений) соот­ ветствовали граничным условиям, они происходили из чего-то во что-то, причем «что-то» определялось не какими-либо координатами, а чисто качествен-402*

1См. «Бесконечность и относительность», стр. 218—308

204

ным противопоставлением «естественных» и «неесте­ ственных» мест.

Переход от такой качественно-логической концеп­ ции движения к иной, содержавшей в зародыше клас­ сическое представление о неисчислимом множестве точек пребывания и скоростей в каждой точке, был высказан в удивительной по общности форме Кеп­ лером.

«Там, где Аристотель видит между двумя вещами прямую противоположность, лишенную посредствую­ щих звеньев, там я, философски рассматривая гео­ метрию, нахожу опосредствованную противополож­ ность, так что там, где у Аристотеля один термин: „иное“ , у нас два термина: „более" и „менее“ » *.

Кеплерова «опосредствованная противополож­ ность» может означать, что между каждыми «двумя вещами» (в концепции движения — между каждыми двумя значениями координат частицы) имеется бес­ численное множество «посредствующих звеньев» (промежуточных значений). Термины «больше» и «меньше» могут приобрести при этом метрический смысл: достаточно сопоставить бесконечное множе­ ство положений частицы числовому ряду. Но это сопоставление будет физически содержательным,

если известен закон движения, определяющий поло­ жение и скорость частицы от точки к точке и от мгновения к мгновению. Подобное дифференциаль­ ное представление движения содержалось по суще­ ству в динамике Галилея и достигло законченной формы в аналитической механике.

Таков исторический переход от чисто логической

'Л. К е р 1е г. Орега о т т а , Т. I. РгапкГшЧ, 1958,

р. 423.

205

Концепций движения к КоЛйчествённо-матёматичё- ской. В абстрактном виде этот переход оказывается переходом от конечного числа оценок логического суждения к бесконечному числу.

Концепция естественных мест была характерным примером суждений, допускавших применение логи­ ки с двумя оценками — «истинно» и «ложно», т. е. основанной на принципе исключенного третьего

бивалентной логики. Суждение «тело находится в его естественном месте» могло быть либо истинным, либо ложным. Но этого мало: в динамике Аристо­ теля такое суждение и его оценка полностью опре­ деляли движение. Бивалентная логика полностью сохраняет свои позиции и в классической концепции Галилея — Ньютона — Лагранжа. Но теперь движе­ ние определено, если оценки «истинно» и «ложно» относятся к п суждениям: «в момент Н частица на­ ходится в точке ач,» «в момент г2 частица находится в точке яг,»..., «в момент гп частица находится в точке х п » .

При этом на каждом конечном отрезке п = оо. Число оценок каждого из этих суждений остается тем же, логика по-прежнему бивалентная, но число суждений становится бесконечным и приобретает мощность континуума. Все эти суждения объедине­ ны тождеством субъекта (речь идет об одной и той

/

носительности Галилея — Ньютона в той же мере, как и к принципу относительности Эйнштейна. Раз­ личие между указанными принципами выражается в еще одной характеристике предикатного многооб­ разия помимо валентности и мощности. Возьмем са­ мый простой пример — движение частиц по коорди­

себе частица не может выйти за пределы светового конуса и ее себетождественность гарантируется пре­ дикатным многообразием, состоящим наряду с про­ странственными положениями из моментов времени. Предикатное многообразие теории относительности Эйнштейна — это не многообразие пространствен­ ных точек и моментов времени. Это многообразие четырехмерных пространственно-временных точек — мировых точек. Обобщая эти категории, мы прихо­ дим к понятию размерности предикатного многообра­ зия. Мировые линии, о которых говорит теория от­ носительности Эйнштейна, представляют собой в логическом аспекте четырехмерные бесконечно-би­

валентные предикатные многообразия.

Обратимся теперь к логическим основам кванто­ вой механики. Они освещены в многочисленных ра­ ботах 30—50-х годов *. Мы здесь ограничимся крат-1

307

ким повторением и некоторым уточнением общего вывода о бивалентно-тривалентном характере логи­

ки, соответствующей нерелятивистской квантовой механике.

Тривалентная логика отказывается от принципа исключенного третьего и вводит, наряду с оценками «истинно» и «ложно», третью оценку. В квантовой механике такой оценкой служит «неопределенно». Речь пока идет о собственно логических сужде­ ниях, не связанных с измерением и с существова­ нием измеримых, бесконечных предикатных много­ образий. Последние по определению являются мно­ гообразиями нетождественных предикатов одного и того же тождественного себе субъекта. Нам придет­ ся, если не определить (это требует ненужных здесь довольно сложных построений), то хотя бы несколь­ ко приблизиться к определению понятия себетождественности. Воспользовавшись все той же физиче­ ской интерпретацией логических суждений — карти­ ной движущейся частицы, мы дадим представление о тривиальной себетождественности (частица тожде­ ственна себе в одной и той же точке, в один и тот же момент времени) и о нетривиальной себетождест­ венности (частица остается тождественной себе на некоторой ненулевой траектории, в течение некото­ рого времени, т. е. обладает различными простран­ ственно-временными координатами). Нетривиальная себетождественность частицы гарантируется: 1) ее непрерывным достоверным существованием на тра­ ектории (т. е. «заполненностью» ее мировой линии) и 2) непрерывным однозначным действием закона, определяющего в каждой точке скорость частицы (т. е. определенной формой мировой линии). Позже

мы остановимся на дополнительности этих гарантий.

208

В квантовой механике они перестают действовать совместно; в общем случае достоверное пребывание частицы в точке несовместимо с однозначным опре­ делением ее скорости. Принцип дополнительности Бора, принцип неопределенности Гейзенберга и при­ надлежащую Борну вероятностную интерпретацию волновой функции обычно рассматривают с их нега­ тивной и антиклассической стороны: квантовая ме­ ханика отказывается от абсолютно точного опреде­ ления классических величин, т. е. величин, хаарктеризующих основные процессы классической картины мира. Но, как уже говорилось, квантовая механика имеет и позитивную сторону, причем «консерватив­ ную» (в прямом смысле сохранения) в отношении классических понятий: последние при известных условиях с известными ограничениями могут быть применены к микропроцессам. Более того, кванто­ вая механика ценой этих условий и ограничений рас­ ширяет объем информации об импульсах, энергиях и пространственно-временных координатах частицы. Определенным и достоверным значением в каждой точке и в каждый момент обладает в общем случае вероятность пребывания частицы. Определенное зна­ чение вероятности пребывания, оказавшись предика­ том частицы, позволяет применить к утверждению «частица обладает этим предикатом» оценки «истин­ но» и «ложно» и гарантировать себетождественность частицы. Непрерывно изменяющаяся (описываемая волновым уравнением) вероятность пребывания га­ рантирует себетождественность частицы, потому что она может стать сколь угодно большой в каждой точке, сколько угодно приблизиться к достоверности за счет соответствующего возрастания неопределен­ ности скорости. В свою очередь значение скорости

209