книги из ГПНТБ / Кузнецов, Б. Г. Этюды об Эйнштейне

ность четырехмерного псевдоэвклидова пространст­ венно-временного континуума, отсутствие выделен­ ного события, которое могло бы стать началом при­ вилегированной четырехмерной системы отсчета, а равноправие движущихся одна относительно дру­ гой инерциальных трехмерных систем выражается при этом в изотропности четырехмерного континуума. Из классической относительности инерционного дви­ жения следует, что тело, предоставленное самому се­ бе, двигаясь из некоторой точки, пройдет бесконеч­ ное расстояние. Каждый новый отрезок ничего не меняет в ходе внутренних механических процессов в теле. Сумма пройденных телом единичных отрезков неограниченно возрастает, оставаясь в каждый мо­ мент конечной. При делении конечного пути на уменьшающиеся части число таких частей бесконеч­ но растет, оставаясь в каждый момент конечным.

Классический принцип относительности Гали­ лея — Ньютона означает, что однородность рассмат­ риваемого пространства в целом (т. е. заданного мно­ жества пространственных точек) выражается в от­ сутствии динамических эффектов прямолинейного и равномерного движений. Специальный принцип от­ носительности Эйнштейна утверждает, что однород­ ность и изотропность четырехмерного континуума в целом1(т. е. заданного бесконечного множества ми­ ровых точек) выражаются в отсутствие каких бы то ни было внутренних физических эффектов прямоли­ нейного и равномерного движений. Таким образом, уже здесь бесконечность выступает не только как простая возможность дальнейшего увеличения конеч­ ной величины (по определению Аристотеля — потен­ циальная бесконечность), но и как некоторое предсуществующее, заданное множество, негативно опреде­

221

ляющее своими общими, присущими всему множест­ ву в целом свойствами поведения элементов множе­ ства.

Все это становится несравненно более ясным, ког­ да мы переходим к бесконечным множествам, пози­ тивно определяющим своими общими свойствами различия входящих в них элементов. С такими мно­ жествами мы встречаемся в общей теории относительностщ В ней речь идет о движении тела в грави­ тационном поле. Поведение движущегося тела на каждом отрезке его пути уже не является простым повторением его поведения на предыдущем отрезке. Оно определяется заданным распределением центров тяготения. Иными словами, поведение тела опреде­ ляется интегральными закономерностями. Послед­ ние действуют непрерывно от точки к точке и от мгновения к мгновению, т. е. через дифференциаль­ ные закономерности движения тела. Такая картина соответствует понятию актуальной бесконечности.

В отсутствие поля интегральные свойства прост­ ранства — его однородность и бесконечность — га­ рантируют неизменность поведения частицы во всех точках. Позитивно определены различия в поведении частицы только в случае поля, не равного нулю. Очевидно, в первом случае, рассматривая свободное движение тела, мы делим пройденный им путь на различные отрезки, в пределе стягиваем эти отрез­ ки в точки и говорим о скорости частицы в точке, антиципируя общий случай, имея в виду, что ско­ рость в различных точках может быть различной и что точки пространства могут, вообще говоря, разли­ чаться по поведению находящихся в них частиц.

Теория Эйнштейна содержит выводы, относящие­ ся не только к инерционному движению тела, предо­ ставленного самому себе, и к ускоренному движению

222

тела в силовом поле, но й к иным процессам, выхо­ дящим за рамки механической картины мира (меха­ нической в самом широком смысле, включающей и классическую, и релятивистскую, и квантовую меха­ нику, означающей представление о перемещении тождественных себе частиц как об исходных и наибо­ лее элементарных процессах природы). Когда энер­ гия движения сравнима с энергией покоя и соответ­ ственно масса движения — с массой покоя, перед на­ ми релятивистские эффекты. Когда энергия движе­ ния становится равной энергии покоя и они перехо­ дят в другую при аннигиляциях и порождениях ча­ стиц, перед нами ультрарелятивистские эффекты. Эф­ фекты, связанные с подобными превращениями, стоят несколько особняком в релятивистской физике; од­ нако в последнее время намечается, как мы видели, некоторая возможность — пока лишь принципиаль­ ная — связать трансмутации с релятивистской теори­ ей движения тождественных себе частиц. Такому на­ правлению физической мысли соответствует новое представление о бесконечных множествах, не уклады­ вающееся в традиционные рамки актуальной и потен­ циальной бесконечности.

Эти беглые замечания помогут нам разобраться в перипетиях реального исторического развития и в ре­ альных исторических связях релятивистских и инфи­ нитезимальных идей.

2

«Великая пустота» — бесконечное пустое простран­ ство Демокрита — была однородным пространством, в котором нет ни центра, ни границ, вообще нет

223

каких-либо выделенных точек. Земля не может быть абсолютным телом отсчета для движущихся тел: в пространстве рассеяно бесконечное число других миров, и каждый из них с равным правом служит телом отсчета. Может ли «великая пустота» служить космологическим эквивалентом понятия бесконечно­ сти как результата бесконечного сложения конечных величин? Да, движущиеся атомы могут неограничен­ но увеличивать пути, пройденные ими от какой-либо начальной точки, и в этом смысле космология Демо­ крита является прообразом потенциальной бесконеч­ ности как результата сложения пройденных телом ко­ нечных отрезков. Заметим только, что во Вселенной Демокрита нет каких-либо естественных, привилеги­ рованных, абсолютных начальных точек и естествен­ ной меры конечных отрезков проходимого телом пу­ ти. Атом нигде не наталкивается на абсолютную гра­ ницу пространства, которая могла бы служить естест­ венным началом отсчета. Связь между бесконеч­ ностью пространства и относительностью движения совершенно прозрачная. Но у Демокрита не было физических эквивалентов бесконечности как резуль­ тата последовательного деления конечной величины на все меньшие части. Вещество состоит из далее неделимых атомов; что же касается бесконечной де­ лимости пространства, времени и движения, то здесь характерное для античной науки отсутствие строгих дефиниций не позволяет сказать о взглядах Демо­ крита что-либо вполне определенное. Вряд ли можно с полной достоверностью утверждать, что у Демокри­ та существовало представление о дискретном прост­ ранстве и времени. Быть может, оно появилось позд­ нее, например у Эпикура. Во всяком случае, ни в древней Греции, ни в эллинистический период непре­

224

рывность и бесконечная делимость пространства и времени не защищались представителями античной атомистики и, более тою, оспаривались, по крайней мере, некоторыми из них.

Здесь сказалась подвижность понятий, наивных и в то же время с гениальной глубиной улавливающих действительные соотношения реального мира,— то, что придает такую своеобразную прелесть и свежесть страницам античных работ, и то, что так радикально упорядочил, систематизировал и догматизировал всеиссушающий гений средневековой схоластики. Древ­ негреческая мысль смотрела на мир как бы в первый раз, без установившихся исходных понятий, без жест­ кой матрицы, определенным образом систематизи­ рующей эмпирический материал. В пределах одного направления, одной школы, в пределах творчества одного мыслителя и иногда в одной и той же фразе мы встречаем зачаточные формы концепций, кото­ рым предстоит развиться в определенные, застыв­ шие, противостоящие друг другу и исключающие друг друга научные системы.

В этом живом переплетении идей мы встречаем исторические прообразы наиболее радикальных тен­ денций современной физики. Античная атомистика уже увидела — разумеется, в той же неустановившейся, наивной и вместе с тем гениально глубокой форме — возможность локальных процессов, не зави­ сящих от «интегральных», общих, предсуществующих закономерностей.

Речь идет об уже известных нам идеях спонтан­ ных отклонений «исотахии» и движения, как резуль­ тата локальных исчезновений и появлений частицы. Нас здесь не должно интересовать, кому именно из античных атомистов принадлежали подобные идеи,

в какой форме и с какой степенью определенности они были высказаны. Эти крайне важные для исто­ рии науки вопросы не решают проблемы физи­ ческих прообразов бесконечности в античной ато­ мистике. При любом ответе на указанные вопросы остается несомненным, что античная атомистика, не допуская бесконечной делимости вещества, не посту­ лировала также, а может быть не допускала, беско­ нечной делимости пространства, времени и движения. Бесконечность не появлялась при делении конечной величины на части даже как потенциальная, посколь­ ку существовал предел такого деления. Вселенная Демокрита, Эпикура и Лукреция бесконечна только в одну сторону — в сторону увеличения масштабов, суммирования конечных величин. Этот односторон­ ний характер бесконечности заставляет нас взять в кавычки слово «интегральная» по отношению к об­ щей закономерности, управляющей «великой пусто­ той». По сравнению с бесконечной Вселенной конеч­ ные расстояния порядка размеров атомов могут рас­ сматриваться как точки, но все же исторически сло­ жившийся в X V II в. смысл слова «интегральный» требует, чтобы интегральная закономерность непре­ рывно действовала через дифференциальные законо­ мерности от одного бесконечно малого (в пределе — непротяженного) отрезка к другому. Поскольку в областях пространства и времени, в которых их мож­ но считать непрерывными, поведение атомов, предо­ ставленных самим себе, определяется общими свой­ ствами бесконечной Вселенной, речь идет об актуаль­ ной бесконечности. Поведение атомов определено не­ гативно, поэтому пространство Демокрита, Эпикура и Лукреция однородно, а положение и движение в этом пространстве относительно.

С течением времени практические задачи и все

226

большее число теоретических построений приводили к представлению о непрерывном движении на конеч­ ных расстояниях. Таким образом, в науку постепен­ но входило понятие бесконечности как результата деления.

Такое понятие было навеяно, в частности, задачей определения площади криволинейных фигур. Если площадь прямолинейной фигуры равна сумме конеч­ ного числа площадей элементарных квадратов, тре­ угольников и т. д „ то для определения площади кри­ волинейной фигуры приходится брать сумму беско­ нечно увеличивающегося числа бесконечно умень­ шающихся площадей.

Подобных задач было достаточно, чтобы античная мысль пришла к ряду понятий, логически вытекав­ ших из представления о бесконечном делении конеч­ ной величины, в частности к противоречивому в сво­ ей основе понятию законченного бесконечного деле­ ния — актуально бесконечного множества непротя­ женных элементарных величин, из которых состоит конечная протяженная величина.

Зенон воспользовался апориями — парадоксами, связанными с этим понятием, для отрицания субстан­ циальности движения. Но в историю науки вошли не столько метафизические выводы Зенона, сколько свя­ занные с апориями вопросы, противоречия и подхо­ ды к проблеме непрерывности движения.

Остановимся на пяти наиболее известных апориях Зенона: 1) меры, 2) дихотомии, 3) Ахиллеса и черепа­ хи, 4) стрелы и 5) стадиона.

Первая апория указывает на невозможность со­ ставить протяженную величину из непротяженных. Если элементы непротяженны, тогда и сумма этих элементов равна нулю. Если же элементы имеют не­

8* 227

нулевую протяженность, то сумма бесконечного мно­ жества таких элементов будет бесконечной.

Зенон рассматривает актуально бесконечное мно­ жество элементов. Он констатирует, что подобное представление приводит к противоречию, и приходит к выводу, что субстанция не может быть множествен­ ной. Нас интересует не этот вывод, ответ, решение, нас интересует здесь, как и во всей древнегреческой науке, поиск, вопрос, нерешенное противоречие. С' подобной точки зрения апория меры обращена в будущее, и для ее исторической оценки нужно взгля­ нуть, как решалась проблема меры континуума в те­ чение последующих веков и как она решается сей­ час. В этом очерке будут даны лишь некоторые от­ рывочные наброски эволюции подобных решений.

Вторая апория Зенона — апория дихотомии. Сло­ во это означает последовательное разделение вели­ чины на две равные части, затем каждой из них сно­ ва на две части и т. д. Речь идет о некотором кон­ кретном механизме деления протяженной величины. Пределом такого деления служит актуально беско­ нечное число частей.

Движущееся тело, прежде чем пройти весь свой путь, должно пройти половину пути, до этого 1/4, до этого '/в и т. д. Сумма ряда таких дробей никогда не будет равна единице, и, следовательно, сумма частей пути, пройденных телом, никогда не станет равной всему пути. В этой апории речь идет не столько о том, что движение тела к цели не может закончиться, сколько о том, что оно не может начаться. Мы ищем первую элементарную часть пути и не находим ее. Чтобы показать невозможность достижения цели, более естественно было бы искать последний элемент пути, т. е. излагать апорию так: тело проходит сна­

228

чала половину оставшегося пути, потом четверть его и т. д. В этом случае мы не нашли бы последнего элемента пути.

Недостижимость последней точки бесконечного множества доказывается третьей апорией. Ахиллес не догонит черепаху. Прежде чем догнать ее, быстро­ ногий герой должен оказаться в точке, где черепаха находилась в начале состязания. Но пока Ахиллес достигнет этой точки, черепаха продвинется дальше. Ахиллесу снова предстоит предварительно добежать до точки, куда продвинулась черепаха. Но пока Ахил­ лес достигнет этой точки, черепаха продвинется еще дальше. Ахиллесу снова предстоит предварительно добежать до точки, где черепаха находится в данный момент, но за это время черепаха снова продвинется на некоторое расстояние. Сколько бы раз ни повто­ рялась подобная ситуация, расстояние между Ахил­ лесом и черепахой уменьшится, но никогда не до­ стигнет нуля. Таким образом, невозможно достичь последнего элемента Непрерывного пути.

Кроме отсутствия первого и последнего элементов пути, мы встречаемся еще с одной особенностью ак­ туальной бесконечности. На всем пути состязания Ахиллеса с черепахой число элементарных отрезков, пройденных Ахиллесом, совпадает с числом отрез­ ков, пройденных черепахой, так как каждому элемен­ ту пути Ахиллеса соответствует элемент пути чере­ пахи. Но Ахиллес проходит больший путь, чем чере­ паха, ведь он начал свой бег из пункта, отстоящего дальше от места встречи, чем начальный пункт пути, черепахи. Таким образом, неравные отрезки содер­ жат равные числа элементов.

В четвертой апории — апории стрелы — движе­ ние отрицается в особенно непосредственной форме.

229