книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы
.pdf§ 2. Макроскопические уравнения |
253 |
тривиальным решением которого является функция рас пределения Максвелла
0)f = n |
{ - w (v - u)2} • |
(2-7°) |
Вычисляя тензор давлений и поток энергии для функ ции распределения (2.70) и подставляя найденные вели чины в (2.57), (2.58) и (2.59), получаем систему уравне ний Эйлера
(2.71)
которые представляют собой гидродинамические уравне ния нулевого приближения.
Приближение первого порядка
Решение в первом приближении для функции (1)/ находится из уравнения
( й + у ' ^ + ^ г - ^ ) ,0,/ = 1 (<0)/1 а,Я + 1 (а>/1<0>/)’ (2-72)
в котором <0>/ описывается распределением (2.70), при чем функция (1)/ должна удовлетворять условиям (2.68).
Чтобы решить уравнение (2.72), необходимо проде лать ряд простых, но громоздких преобразований. Как и выше, не будем вдаваться здесь в подробности этих пре образований, в результате которых левая часть уравне ния (2.72) запишется в виде
(2.73)
Здесь введено обозначение vr = v — и. Преобразование правой части (2.72) дает
(2.74)
254 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. 6 учетом Корреляции
где С определяется выражением
C(z) = j dvi j |v — \ i l mf ( \ i ) X
X {z (vj) + z (v') — z (vt) — z (v)} dQ. (2.75)
Приравнивая (2.73) и (2.74) на основании (2.72), полу чаем интегральное уравнение для (1)/. Однородное реше ние этого уравнения имеет вид
(1)/н = — <0)/{a + P-Vr + YV?}. |
(2.76) |
Учитывая структуру левой части уравнения (2.72), общее решение будем искать в виде
(1>/= — <07 | a + P-vr + YV?+ (-^г In 0 j • \ rx +
+ - ^™syт ^ : М ° у ) • (2-77)
Значения постоянных а, Р и у определяются из условий (2.68). Поскольку а = у = 0, решение (2.77) можно пе реписать в виде
а 7 = — ‘О’/ { ( - ^ 1п @ ) . \ гх + -±-тёут^:(ХгУг)°у} .
(2.78)
Функции х = х (v2r, р, 0) и у = у (\2Г, р, 0) определяются из интегральных уравнений
C (\rx)= |
— |
—у ) vr |
и |
— (vrvr)°, |
(2.79) |
С I(vrvr)° г/] = |
|
которые могут быть решены, если известен закон взаимо действия между частицами.
Теперь, используя функцию распределения / = (0)/ +
+ (1)/, можно вычислить тензор давлений |
и |
плотность |
потока энергии. |
|
|
Для тензора давлений находим |
|
|
<°>р |_ <i)p = И©1_ 2ц ( sym ) |
, |
(2.80) |
§ 2. Макроскопические уравнения |
255 |
где г| — коэффициент, трения, определяемый выражением
(2.81)
Заметим, что коэффициент трения зависит только от функции у.
Для плотности потока энергии получаем
«>Ч= - х - ^ . |
(2.82) |
Здесь х — коэффициент теплопроводности, |
равный |
и = Ж j ^ ( Р ’ v*)<0>^ dVr- |
(2.83) |
Отсюда видно, что коэффициент теплопроводности зави сит только от функции х.
Подставляя тензор давлений (2.80) и плотность теп лового потока (2.82) в (2.57), (2.58) и (2.59), находим
врdt.+ JL . ( pu) = o,
|
|
|
д_ |
|
|
|
p (^- + u- ^ ) u= | - f - дт |
|
|
||||
|
I |
д |
д |
| с, дц / |
д и \ ° |
/0 0/ч |
|
+ Tl ^ F - ^ F u + 2 -5F-(sym^ ) ’ |
(2>84) |
||||
|
д |
|
_d_ |
|
|
|
и |
дт) 0 = т ( | х |
|
дт * ® + т £ - * ° ) + |
|||
|
+ У y\m (sym |
du |
|
e - f f - u- |
||
|
dr ) ° : ( syml r ) - | p |
|||||
Эти уравнения представляют собой обобщенные уравне ния Навье — Стокса. Обычные уравнения Навье — Сток са получаются из (2.84), если пренебречь всеми производ ными от величин х и т):
(—
\ dt
|
йр |
_d_ |
(pu) = 0, |
|
||
|
dt + |
|
dr |
|
||
d_) u = — F — |
d |
{— © — | t - 'u ) + |
||||
dr / |
m |
|
дт \ m |
3 dr |
/ 1 |
|
|
|
|
|
|
d |
~dFu' |
|
|
|
|
|
+ Л dr |
|
(2.85a)
(2.856)
256 Гл. 4. Неравное, состояния Кулон. сист. с учетом корреляций
(2.85в)
Приближение второго порядка
Методом Чепмена — Энскога были получены решения и во втором приближении. Эти решения являются крайне сложными и приводят к поправочным членам в выраже ниях для тензора давлений и плотности потока энергии. Однако из этих решений не удается получить каких-либо важных следствий общего характера (см. работу Чеп мена и Каулинга [31]).
Приближенные решения для многокомпонентной системы
Основные идеи, изложенные при исследовании одно компонентной системы, полностью применимы к случаю многокомпонентной системы. Вместо уравнений (2.57), (2.58) и (2.59) для плазмы, состоящей из о сортов частиц, имеем систему из (За + 4) уравнений: За уравнений не прерывности, три уравнения для средней скорости пере мещения массы и одно уравнение для средней темпера туры. Эти уравнения записываются в виде
а
д
о
( 2.86)
а
2 |
д |
_ 2_ . du |
3 |
дт ' 4 |
3 ? : дг |
О
§ 2. |
Макроскопические |
уравнения |
257 |
Здесь введены обозначения |
|
|
|
о |
с |
о |
|
|
|
|
(2.87) |
© = 4 " 2 |
Р = 2 Pi*» |
Ч = 2 Чц- |
|
Основным предположением в случае многокомпонент ной системы является то, что функция распределения /
зависит от времени только через |
и средние |
величины и |
|
и 0 . |
распределения /ц и |
операторы |
|
Разложение функций |
|||
дифференцирования по |
времени |
полностью |
совпадают |
с (2.61) и (2.62). В результате для каждого сорта частиц получается уравнение типа (2.65), но с измененным столкновительным членом в правой части, который теперь запи сывается в виде
о |
(2.88) |
2 i (U\ U) . |
|
v = l |
|
Что же касается уравнений для <г>/ц, то они получаются так же, как (2.67) при условиях (2.68).
Приближение нулевого порядка для многокомпонентной системы
И в этом случае решением для функций распределения нулевого порядка являются смещенные распределения Максвелла
(2.89)
Отсюда видно, что распределения Максвелла для всех сортов частиц смещены на одну и ту же среднюю скорость и, а это означает, что в таком приближении средние ско рости всех компонент и^, совпадают со средней массовой скоростью и. То же самое положение имеет место и для температуры.
Если теперь, используя (2.89), вычислить тензор дав лений и плотность теплового потока и подставить резуль-
1 7 - 0 1 2 9 1
258 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций
таты в уравнения (2.86), просуммировав в то же время все уравнения непрерывности для рц, то получим систему уравнений Эйлера для р, и и 0, соответствующую (2.71).
Приближение первого порядка для многокомпонентной системы
Функции распределения первого порядка удовлетво ряют следующим уравнениям:
( # + ' V W + i k F» ) " ' » =
о
= 2 (7 {(0,А* I (1>-М + / {а% I <0>Ы ). (2.90)
V = 1
Следуя методу, используемому для случая однокомпонент ной системы, выразим функции распределения первого порядка через функции распределения нулевого порядка:
<х7ц = |
- <0)/ц ( |
- |
In 0 + ^ (vr(1vr„)°: ~ + |
|
|
|
с |
|
|
|
+ Vrn- 2 <^dv) • (2.91) |
|
|
|
v=i |
Здесь |
введено обозначение |
||
' * - = ^ й |
+ [ т - т ] ^ |
1п<'!в)- |
а |
|
|
|
|
|
|
|
- я |
- р- + |
^ 3 ^ - |
<2-92> |
|
|
|
Х ,= 1 |
|
Коэффициенты А В й и определяются сложными инте |
||||
гральными |
уравнениями, |
которые |
получаются, |
если |
в уравнение (2.90) подставить выражение (2.91). Читателя, интересующегося данным вопросом, мы отсылаем к соот ветствующей литературе [32].
С помощью функции распределения первого порядка
можно вычислить среднюю |
скорость, тензор давлений |
и плотность потока энергии. |
Для средней скорости нахо- |
$ 2. Макроскопические уравнения |
259 |
ДИМ
|
а |
|
|
|
<1)Uti= li^p |
2 |
mv ^ d v — — £>,д,— In©, (2.93) |
||
V= 1 |
|
|
||
где |
|
|
|
|
= 3nmv V ГleT j |
( v rjx) vV 0>/m. dv^, |
|||
m |
П |
Г |
f |
(2 -94) |
D»= ~ r V |
|
l i |
J |
A» (VrM.)vry % |
Эти уравнения определяют коэффициенты подвижности,
диффузии |
и термодиффузии. |
|
|
||
Тензор |
давлений |
имеет вид |
|
||
|
а,р = |
- 2т) [ sym ( I f ) ] 0’ |
(2-95) |
||
где т]— коэффициент трения, |
равный |
|
|||
|
|
а |
|
|
|
|
^ = |
2 |
mv j 5 |
v (V r v ) v ? v (0)/ v d v v . |
(2.96) |
|
|
V=1 |
|
|
|
Наконец, находим выражение для плотности потока |
|||||
энергии |
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1,q = |
_ хе |
+ 2 M v. |
(2.97) |
|
|
|
|
|
V=1 |
|
Здесь хе и xv — коэффициенты теплопроводности: |
|
||||
|
|
о |
|
|
|
|
*e = |
2 i r J ^x(vrx)v^,0,/xdvfcl |
|
||
|
|
А,=1 |
|
(2.98) |
|
|
|
С |
|
|
|
|
*v= |
2 |
1 Г 1 ^ |
(▼rfc)v?fc<0>/x |
|
A.=l
Заметим, что полученные коэффициенты, представляющие физический интерес, зависят каждый только от какой-либо одной из величин А, В или С, которые существенным образом определяются законом взаимодействия между частицами.
17*
260 Гл. 4. Неравной, состояния кулон, сист. С учетом корреляций
Сравнение с тринадцатимоментным' приближением Грэда
При нахождении функций х ш у для однокомпонент ной системы из интегральных уравнений (2.79) обычно пользуются разложением этих функций по полиномам Сонина. Если ограничиться в разложении функции х первыми двумя членами, а в разложении у только пер вым членом, то функция распределения, найденная в пер вом приближении методом Чепмена — Энскога, совпадает с функцией распределения, полученной в тринадцатимоментном приближении Грэда.
Связь метода Чепмена — Энскога с разложением Гильберта
Метод Грэда, изложенный в п. 2.1, основан на система тическом разложении Боппа — Мейкснера. Описанный выше метод Чепмена — Энскога нельзя связать просто с таким систематическим разложением. Однако дополни тельные сведения по этому вопросу можно получить,
рассматривая разложение Гильберта [33, 34]. С этой целью расстояние г будем измерять в единицах L (L есть характерная длина изменения функции распределения /), скорость v в единицах иГ, время t в единицах L/vT, при цельный параметр Ъ в единицах гс (гс — радиус взаимо действия), а функцию распределения нормируем на вели чину L3vj-.
Тогда уравнение Больцмана для общей функции рас пределения запишется в виде
- § г + у ' ! г = - Н [^ г’ v '; |
v - * ) - |
|
— /(г, v; 0 /(г, v2; f)] gbdbd<pd\2 = ^ I ( f \ f ) . |
(2.99) |
|
Заметим, что все величины в этом уравнении являются безразмерными. Параметр е называется числом Кнудсена и определяется следующим образом:
1 |
К |
|
( 2. 100) |
|
яг^пЬ |
L |
’ |
||
|
где Ас — средняя длина свободного пробега.
§ 2. Макроскопические уравнения |
261 |
Гильберт рассматривал случай малых чисел Кнудсена и использовал е как малый параметр разложения функции распределения / в ряд
/ = 2 ev(v)/. |
(2.101) |
v=0
Подставляя это разложение в уравнение (2.99) и собирая все члены одного и того же порядка е, получим следую щую систему уравнений:
п - 1
("- !)/ +▼ • i ("- 1)/ - 2 1 i(m)f I(n_m)/} = m=l
= 2/ {(°>/| <»>/}. (2.102)
Решение этих уравнений состоит из частного решения неоднородного уравнения <п)/ неод и общего решения одно родного уравнения, которое представляет собой линей ную комбинацию инвариантов столкновений:
(п)/ = (п)/неод + 2 |
<n>Ys (г, t) ф 8 (V) О»/, |
(2.103) |
s=0 |
|
|
фо=«г; фг=Уг. |
г= 1, 2, 3; ф4 = 1>2. |
|
Очевидно, что для определения коэффициентов (п)у8 (г, t) необходимо знать начальные условия. Поскольку для каждого уравнения имеется пять таких коэффициентов, должны существовать пять начальных значений для каждой функции <п)/. В качестве таких начальных значе ний можно взять, например, первые пять моментов при
= |
0: |
|
|
|
|
т |
у |
, |
/ |
т |
\ |
А |
|
||||
= . \ f ( t = 0) |
U |
V |
/ |
||
V2 / 1=0 |
J |
2 |
|
||
ос <V>1 т
II > |
ОС |
V |
(2.104) |
|
> |
|
|
|
V=0 |
'\п2 |
t=о |
Если отвлечься от вопросов сходимости, то можно взять произвольное разложение заданных величин ( ) t=o в ряд по <v>( )t=o- Действительно, Гильберт показал, что распределение в момент времени t не зависит от вида на чального разложения при t = 0. Помимо этого, Гильберт дал необходимое условие существования и однозначности функции распределения [33, 34].