книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы

244 Га . d. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

Цепочка уравнений переноса в приближении Грода

Выше мы показали, что столкновительные члены могут быть выражены через коэффициенты Трэда и термодина­ мические коэффициенты переноса. Используя соотноше­ ния (2.22), представим коэффициенты Трэда через момен­ ты. Тогда уравнение переноса, левая часть которого

еще термодинамические коэффициенты переноса.

В левой части уравнений цепочки, помимо коэффи­ циентов Трэда рассматриваемого порядка, могут содер­ жаться только коэффициенты следующего порядка. Что касается этих членов более высокого порядка, то при вы­

цепочка уравнений обрывается на уравнениях, содержа­ щих нечетные моменты выше третьего порядка.

В столкновительных членах, стоящих в правых частях цепочки уравнений, основной вклад дают коэффи­ циенты Трэда рассматриваемого порядка. Если выполнено условие (2.38), то вкладом, зависящим нелинейно от коэффициентов Трэда, можно пренебречь. Малым оказы­ вается также и дополнительный линейный вклад, если удовлетворяется условие

Соотношение (2.39) представляет собой основное требо­ вание для обрыва правой части цепочки уравнений.

Условие (2.38) выполняется, если средние скорости частиц малы по сравнению со средними тепловыми скоро­ стями. В дальнейшем это условие будет считаться выпол­ ненным.

Неравенство (2.39) зависит от закона взаимодействия между частицами. Это легко видеть из соотношения

°ql\m \ — 4/ s

(2.40)

ql\m 2m -)-3 ’

Двадцатимоментное приближение

Ограничиваясь в разложении Трэда членами третьего порядка, мы имеем двадцатимоментное приближение. В этом приближении обрыв левой части уравнений является корректным, если выполнено условие (2.38). Вопрос о том, можно ли ограничиться членами третьего порядка в правой части, зависит, как указывалось выше, от закона взаимодействия между частицами. В таком приближении получаются следующие двадцать моментов:

моменты второго порядка — шесть компонент тензора дав­ ления и моменты третьего порядка — десять компонент тензора потока энергии.

Тринадцатимоментпное приближение

Это приближение получается из двадцатимоментного, если пренебречь всеми компонентами тензора потока энергии, за исключением компонент, которые определяют плотность теплового потока. В тринадцатимоментном при­ ближении обрыв левой части цепочки уравнений не сле­ дует только из выполнения условия (2.38): здесь должны быть привлечены еще и дополнительные физические сообра­ жения.

Восъмимоменпгное приближение

Тринадцатимоментное приближение дает еще довольно сложную систему уравнений. Это приближение можно свести к восьмимоментному, если заменить тензор давле­ ний гидростатическим давлением. Такой переход является последовательным, если выполнено условие (2.38)

246 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

и закон взаимодействия между частицами имеет соответ­ ствующий вид.

Ниже приводится система уравнений для восьмимоментного приближения, которая еще очень сложна. Для простоты выбираем такую систему координат, в которой скорость перемещения массы равна нулю, а также пре­ небрегаем членами второго порядка малости на основании (2.38). Таким образом, мы имеем:

Уравнение непрерывности

где

_ Мцу9ц Л/цуву

— т гвц+ тц0у

Использование приближения Грэда для описания плазмы

До сих пор исследование носило общий характер, так как не конкретизировался закон взаимодействия между частицами, которым определяются коэффициенты qllm

О

и qllm. Рассмотрим теперь кулоновскую систему, в кото­ рой потенциал взаимодействия определяется кулоновским законом, т. е. формулой (2.41) с s — 1. Разумеется, сред­ ние скорости, обусловленные внешними полями и неод­ нородностями, должны быть малыми по сравнению с теп­ ловой скоростью. Вычисление термодинамических коэф­ фициентов переноса ql \m для случая s = 1 показывает, что величина их уменьшается с ростом номера очень мед­ ленно. Поэтому разложение столкновительных членов в ряды по моментам не является быстро сходящимся. Следовательно, применимость рассмотренного выше при­ ближения к кулоновской системе не очевидна.

Если тем не менее считать, что восьмимоментное при­ ближение применимо к полностью ионизованной плазме, то интересно сравнить соответствующие уравнения Грэда с уравнениями, которые использовались для описания полностью ионизованной плазмы [26, 27].

Ограничиваясь случаем ©+ = ©_ и используя соот­ ношение

(2.47)

находим из общего уравнения Грэда уравнения непрерыв­ ности для электронной и ионной компонент

(2.48)

Как показывает сравнение, уравнения, полученные в ра­ ботах [26, 27], совпадают с (2.48).

Приближение Грэда дает следующее уравнение энер­ гетического баланса для полного давления или соответ­

248 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

ственно температуры:

~~Ж p + l F * h — в-*Р-<в-> — g+-p+(g+) = °, (2.49)

где величина h есть полная плотность теплового потока

Уравнение (2.49) и в этом случае совпадает с соответствую­ щим уравнением, используемым в указанной выше лите­ ратуре.

Из разложения Трэда и при условиях (2.47) и (2.23) получаем уравнение баланса импульса для двухкомпонент­ ной системы:

Здесь введены следующие сокращенные обозначения:

С другой стороны, соответствующие уравнения, полу­ ченные Маэкером и Питерсом [26], имеют вид

Отсюда видно, что обе системы уравнений содержат одни и те же основные члены. Однако коэффициенты при соот­ ветствующих членах сильно различаются даже своей за­ висимостью от отношения плотностей.

Квазистационарное приближение, построенное Трэ­ дом [6], приводит к следующему выражению для полной

плотности теплового потока:

h = — | ж {3M+-9+-п- + М 1-Я+-К + (?2- + ?2+)п+п-} ft® +

вто время как соответствующее соотношение, полученное

влитературе [26, 27], имеет вид

h= - ^ ^ 0 + a0^ f e ^ - > - < g +»- <2-56)

И в этих выражениях коэффициенты при соответствующих членах резко различаются. Кроме того, весьма жестким ограничением является требование квазистационарности. Заслуживает внимания также тот факт, что если учесть магнитные поля, то в (2.55) появятся дополнительные члены.

250 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

2.2. Вывод уравнений переноса из уравнений Больцмана; метод Чепмена — Энскога

Чепмен [28] и Энског [29, 30] получили систему мак­ роскопических уравнений из основного уравнения Больц­ мана с помощью другого приближенного метода. Вначале ради простоты рассмотрим предложенный ими метод для случая однокомпонентной системы. Чепмен и Энског исходили из следующих трех уравнений для первых пяти моментов функции распределения:

(Вывод этих уравнений и соответствующая терминология были приведены выше, в п. 2.1.) Далее они рассмотрели систему, для которой функция распределения может быть

Если можно найти функцию распределения / с точно­ стью до порядка s, то с такой же точностью можно вычис­ лить и тензор давлений р, и поток энергии q. Подстав-

ляя эти величины в (2.57), (2.58) и (2.59), получаем мак­ роскопические уравнения с точностью до <8+1)/.