В этом случае необходимо использовать для распозна вания формулу Бейеса [7]:
|
К |
|
|
p(Ra))\[pi(Xs/Ra>) |
|
р (Ra)/{xs})= |
------------ . |
(5.32) |
Ё/>(Я(Х)) П ^ ( ѵ я (Х)) |
|
1 |
s=1 |
|
где р {Rw /{xs}) — апостериорная вероятность |
гипотезы |
о принадлежности изделия 2-му классу; р(/?(Х)) —априор
ная вероятность принадлежности изделия |
по степени |
работоспособности к Я-му классу; |
условная |
вероятность предъявления для распознавания изделия А,-го класса, полученная по результатам контроля для s-го признака.
Критерием распознавания могут служить как макси мальные величины
К
S рМ |
max |
П М * ‘) |
Pmax(R(X)!{Xs}), |
s— \ |
5 = 1 |
_ max |
|
так и заданное превышение максимальной вероятности гипотезы по отношению к ближайшей к ней:
Ртах (RW/{xs})lРтах-1 (RW[{Xs}) = Л0,
где Л0 — порог сравнения, задаваемый для каждого класса. Соотношение вычисленного Л и Л0 позволяет отнести
изделие к соответствующему классу R ^ \
При решении поставленной задачи применительно к ферритовым изделиям возникают некоторые специфи ческие вопросы. Так, для описания класса и изделия желательно иметь достаточно большое количество па раметров, в данной же задаче имеется лишь один параметр (Др/р.)х. Для удовлетворительной характери
стики классов были взяты пять значений индуктивности
Рис. 5.26.
в пяти начальных временных сечениях: Lx= О, 1, 2, 3, 4
(месяца). Классы изделий определялись следующим об разом. Необходимо было осуществить прогноз стабиль ности ферритов марки 2000НМ1 после хранения их в отапливаемом складе в течение 3,5 лет, т. е. на момент времени т —3,5 года формируются классы с определен ной стабильностью индуктивности. Было сформировано три класса:
|
|
|
|
|
|
|
■Д<‘)[0,475 м Г н < А < 0,5 мГн], |
|
|
ЯЩ0,5 м Г н < 1 < 0,525 мГн], |
|
|
Я<3>[0,525 м Гн<Б <0,55 мГн], |
|
|
которые |
охватывают |
весь |
диапазон |
значений L(x) |
в этом промежутке |
времени. |
Функции |
распределения |
этих классов для т = 0, |
1, 2, |
3, |
4 месяцев приведены на |
рис. 5.26,а—д соответственно. |
|
|
|
Далее |
решение |
задачи прогнозирования проводится |
втри этапа:
1.Обучение и самообучение. На этом этапе строятся функции распределения классов в пяти начальных
временных сечениях f^(I)(x), f^{2)(x), fR{3)(x) и определя
ются статистические характеристики распределения клас сов.
2. Сопоставление образа изделия с априорной ин формацией о классах. Анализ априорных данных позво ляет выбрать алгоритм сравнения предъявляемого образа с образами классов. В результате реализации алгоритма определяется некоторая совокупность вели-
чин, характеризующих возможность отнесения предъяв ляемого изделия к каждому из классов (например, апостериорное распределение вероятностей гипотез).
3. Принятие решения. В основе принятия решения лежит использование коитериев или правил, по кото рым определяется принадлежность изделия (образа)
к тому или иному классу. В частности, такими крите риями являются пороги сравнения.
|
Для практических вычислений априорная вероятность |
в (5.32) определялась |
из отношения: |
p(Rw) = nJN, где |
|
— число |
изделий, |
попавших |
в |
Я-й класс |
при т = |
= |
3,5 года; |
N — общее число изделий. |
|
|
Апостериорные вероятности |
р (Rm/ {xs}) определялись |
из |
функций распределений |
параметров |
изделий |
(рис. 5.27) как ординаты, соответствующие значениям xs. Применение байесовского критерия позволяет пра вильно классифицировать по степени работоспособности до 90% изделий, что вполне удовлетворяет практические нужды производства. Рассмотренные методы можно использовать для решения широкого круга задач про гнозирования изменения параметров ферритовых из делий.
Глава 6
ПРОЕКТИРОВАНИЕ РАДИОЭЛЕКТРОННОЙ АППАРАТУРЫ С УЧЕТОМ НАДЕЖНОСТИ ФЕРРИТОВ
6.1. О Б Щ И Й П О Д Х О Д К З А Д А Ч Е П РО Е К Т И Р О В А Н И Я
В настоящее время существует множество типов радиоэлектронной аппаратуры, функциональное назна чение которой разнообразно. Но при всем многообразии требований, предъявляемых к работе подобных систем, одно из них универсально и сохраняется при проекти ровании подавляющего большинства систем — это обес печение заданной (или максимальной) долговечности.
На обеспечение необходимой долговечности направлены многие мероприятия на стадиях проектирования, изго товления и эксплуатации систем, причем на каждой из этих стадий целесообразно прогнозировать возможные изменения работоспособности систем и долговечность.
Применение математического аппарата прогнозиро вания на стадии проектирования позволяет решить мно гие задачи по обеспечению надежности систем: уточне ние характеристик надежности (в основном по посте пенным отказам),определение сроков профилактических работ, оценка необходимого количества ЗИПа и т. д. Практически при проектировании довольно часто про гнозирование долговечности или изменения запаса работоспособности *) заменяется расчетом надежности, интуицией и опытом проектировщика. Но такой подход к оценке долговечности не учитывает временные харак
теристики отдельных элементов и |
узлов системы, т. е. |
не учитывает изменения степени |
работоспособности |
системы в процессе эксплуатации. Кроме того, эти рас четы обычно не корректируются на стадиях изготовле ния и эксплуатации. Осуществляя прогнозирование при проектировании и уточняя полученные данные на по следующих стадиях, можно получить достаточно точные сведения об истинной долговечности и запасе работо способности системы.
*> Под запасом работоспособности понимается «степень разли чия» состояния объекта от его предельного (предшествующего отка зу) состояния.
Сформулируем в общем виде задачу прогнозирова ния изменения запаса работоспособности или долговеч ности при проектировании систем.
Пусть Xlt Хг, ..., Хи (6.1)—параметры, описываю щие состояния отдельных элементов или узлов проек
тируемой |
системы. |
С течением времени (в |
процессе |
эксплуатации) в результате |
старения элементов узлов |
их параметры будут изменяться, т. е. |
|
|
Хі (х),Х2( х ) , . . . , Х к(х), |
( 6 . 2 ) |
где т — текущее время. |
W (X) системы будет так |
Тогда |
функция |
состояния |
же изменяться во времени: |
|
|
|
Щ В Д ] = Щ В Д , |
Х2(х)........ Х*(т)]. |
(6.3) |
Для определения долговечности проектируемого устрой ства необходимо:
—выделить совокупность К параметров (6.1), наи более полно определяющих с точки зрения запаса работоспособности и долговечности состояние проекти руемой системы;
—определить на основе априорной информации наиболее типичные траектории изменения временных
функций (6.2) для каждого ЙГДт), і —1, 2........ k\
— вычислить момент тж (время жизни), когда функ ция состояния (6.3) достигает значения 1ГД0П, соответ ствующего допустимому запасу (степени) работоспособ ности системы *1.
Для обеспечения тж= тжтаЛ; следует применять раз личные методы оптимизации проектирования систем по критерию надежности. Одним из таких методов явля ется экстраполяция временных зависимостей (6.2)
и (6.3).
Решение поставленной задачи можно осуществлять по трем основным направлениям; в каждом случае используется специальный математический аппарат. Но при оценке характеристик работоспособности проекти руемой системы следует сочетать все эти методы. Исполь зование первого направления связано с получением зависимостей (6.2) и последующей аппроксимацией их аналитическими выражениями, которые можно принять
*> Под степенями работоспособности понимаются различные со стояния объекта, при которых он способен выполнять заданные функции, но с различной вероятностью безотказной работы.
за математические модели Мх изменения параметров Х{. В настоящее время для многих комплектующих изделий зависимости (6.2) известны. Отсюда, зная функцио
нальные связи узлов |
системы, можно перейти от пара |
метров элементов к |
о б о б щ е н н ы м параметрам вы |
сокой степени обобщения, характеризующим состояние узлов и подсистем, и, наконец, к функции состояния системы (6.3). Естественно, характер аппроксимирую щих выражений изменяется от микромоделей вида (5.20) до макромоделей высокого порядка типа (5.23).
Учитывая, что математические модели на практике не являются строго детерминированными, а также при нимая во внимание всевозможные воздействующие фак торы, «деградация» (старение) проектируемой системы, т. е. ухудшение ее характеристик, не будет изменяться по какой-то определенной, заранее вычисленной траек тории.
Применение математических моделей на стадии про ектирования позволяет определить эталонные траекто рии Aw функции состояния для того или иного класса систем. Для конкретной проектируемой системы опре деляется конкретная функция A w , которая уточняется в процессе изготовления и эксплуатации. Если при по лученной закономерности деградации (траектории A w ) системы тах, то необходимо принять меры по обеспечению требований по долговечности.
При вероятностной оценке запаса работоспособности и долговечности проектируемой системы поставленная задача решается методами второго направления. При этом для совокупности параметров (6.1) определяются плотности распределения вероятностей
h(X), Ш ) , ..., fk(X) |
(6.4) |
и исследуются по априорной информации их временные деформации и изменения.
Изменения плотности распределения (6.4) во време ни могут быть учтены, если будут известны временные изменения статистических характеристик распределений. Тогда изменения этих характеристик можно аппрокси мировать математическими моделями вида (5.20) и (5.23). Также могут быть определены эталонные траек тории изменения функций распределения. Точки пере сечения эталонных траекторий и допустимого уровня работоспособности 1ЕД0П соответствуют плотностям рас
пределения, аргументами которых является время жиз ни системы f(t-ж). Отношения правдоподобия позволяют оценить прогнозируемую долговечность проектируемой системы, которая уточняется на стадии эксплуатации.
Третье направление решения поставленной задачи связано с использованием математического аппарата теории распознавания образов. Как известно, теория распознавания образов позволяет на основе априорной информации установить связь между численными зна чениями параметров совокупности (6.1) или функции состояния (6.3), запасом работоспособности и долго вечностью этой системы. Подобные связи используются в качестве критериев при проектировании. Обеспечение определенной совокупности (6.1) или «образа» системы гарантирует необходимую надежность системы.
При решении поставленной задачи для системы в целом необходимо изучить вопросы, имеющие отно шение к определению приращений функции состояния системы через приращения изменяющихся параметров отдельных изделий. Рассмотрим в связи с этим некото рые вопросы прогнозирования изменения работоспособ ности на стадии проектирования. Пусть функция состоя ния (6.3) зависит от изменения параметров элементов или узлов, которые рассматриваются как независимые переменные. Приращения функции состояния будут за висеть от приращений параметров бхі- Зависимость
8W=f(6Xu 6Х2, ..., 8Xh) |
(6.5) |
можно выразить через элементарные математические функции. Любую сложную функцию W=f(Xi, Хг, ..., Хи) можно представить в виде ряда функций:
W = fi (Yl), yi = f2(y2), Yz= fs(Y3), ... |
|
.... Ym= fm(Xit X2, ..., Xh), |
(6.6) |
где fi, f2, ..., fm — элементарные функции. |
функ |
Для наиболее употребительных элементарных |
ций можно определить зависимость приращений функ ций от приращений независимых переменных. Представ ляя исходную функцию рядом неявных функций и при меняя к ним поочередно теоремы приращений элемен тарных функций, можно достаточно просто (минуя опе рации дифференцирования) и точно определить при
зм
ращения исходной функции при вариации независимых переменных [85].
Если функция состояния представлена в виде
то ее относительное приращение при любой величине изменений X и Y равно
6 Г = (6 Х -6 У )/(1 + 6У), |
(6.8) |
где bW = (Wü— W^)/Wq (Wü, |
— начальное |
и текущее |
значения функции состояния).
Аналогичным образом определяются 6А и 6У. Если принять в (6.8) относительные изменения ЬХ, SУ за единицу времени, то это выражение будет представлять собой не что иное, как коэффициент старения системы
по параметрам Х и У. Тогда время жизни проектируе мой системы может быть определено из следующих со отношений
Тж=(^0-№ доп)/Ш '. |
(6.9) |
Если функция состояния представлена |
в виде про |
изведения параметров, т. е. |
|
W ^ l l X i , |
(6.10) |
і=1 |
|
то ее относительное приращение при изменении пара метров равно сумме сочетаний из k относительных при
ращений параметров бАі, öX2, ..., |
öXk по і, |
где і при |
нимает все значения от 1 до k, т. е. |
|
|
k |
|
|
|
b W = % C i(b X lt |
6Х2...... ЬХь). |
(6.11) |
i=I |
|
|
|
Для малых приращений, |
когда |
|8Х|<СІ, |
сочетанием |
элементов ЬХи ЬХ2........bXk по два, по три и т. д. можно пренебречь. Тогда (6.11) перепишется так:
£ б Х г-, ( | 8 Х | < 1). |
(6.12) |
;=i |
|
И наконец, когда функция состояния представлена как сумма:
k |
|
1 Г = Ц Х г-, |
(6.13) |
і |
|
І= I |
|
при любом изменении параметров X относительное при ращение
k |
|
b W = '£ (X ilW )b X i. |
(6.14) |
i=i |
|
Поскольку обычно функции состояния (коэффициен |
ты передачи) представлены в виде дроби |
(6.7), произве |
дения (6.10) или суммы (6.13), то в большинстве слу чаев приращение функции состояния можно выразить через приращения параметров системы.
Необходимо отметить, что при постановке задачи должны быть оговорены условия работоспособности {см. (5.16)], описаны степени работоспособности и опре делена область работоспособности проектируемой си стемы. Изменения функции состояния W должны по стоянно оцениваться при помощи критериев работоспо собности системы.
При учете всех изменений 6Хі, г=1, 2, ..., k расчеты получаются достаточно громоздкими, причем зачастую невидно, какие параметры в первую очередь определяют состояние системы. Для ограничения числа k и оценки
|
влияния параметра Л,- на |
изменение функции |
состоя |
|
ния W обычно используют |
чувствительность или коэф |
|
фициент влияния Zi [85]: |
|
|
|
7 _ \dW X t |
(6.15) |
|
— d X t ' W ' |
|
|
|
Параметры с малыми 2 { |
не учитываются при опреде |
|
лении 6W. Кроме того, влияние Хі может быть опреде |
|
лено с помощью весовых коэффициентов щ: |
|
|
хі= б Г і№ , |
(6.16) |
которые определяют приращение функции состояния, вызванное изменением і-го параметра. Параметры, ото бранные по значениям Z2- и щ, должны достаточно пол но характеризовать состояния проектируемой системы.
Выражение (6.16) позволяет записать более целе сообразную форму зависимости (6.5):
6И7= %ідХі + X2 ÖX2 + ... |
(6.17) |
Приращение 8Х{ характеризует собственное измене ние параметра узла, вследствие разброса параметров элементов, временных изменений параметров элементов
