книги из ГПНТБ / Стабильность свойств ферритов. (Анализ физических свойств при внешних воздействиях, прогнозирование. Элементы проектирования)

реализация полученного решения. Все это относится и к задаче прогнозирования.

Рассмотрим наиболее общую постановку задачи про­ гнозирования, к которой могут быть сведены формули­ ровки многих реальных задач. При рассмотрении от­

5

Рис. 5.23.

<Tn+j< ... Cxn+m, Tn+jeQ 2, где Пг — область значений времени в будущем.

В частном случае, при контроле параметров магни­ томягких ферритов постановка задачи упрощается, так как контролю и прогнозированию подвергается не мно­ жество k параметров, а один — магнитная проницае-

297

мостъ ja, значение которой полностью определяет состоя­ ние феррита. В этом есть определенные преимущества с точки зрения объема контроля, удобства обработки информации и т. п. Однако, с другой стороны, это су­ щественно ограничивает количество текущей информа­ ции и при контроле с низкой точностью возможны боль­ шие погрешности при прогнозировании. В более общем случае, когда контролируется несколько параметров, прогнозирование можно осуществлять по каждому пара­ метру или использовать методы прогнозирования много­ мерных процессов [14].

Рассмотрим методы прогнозирования изменения со­ стояния ферритов, приведенные в схеме-классификации (рис. 5.23,6), составленной по принципу прогнозирова­ ния или по типу используемого математического аппа­ рата. Эта классификация соответствует той, которая при­ водится в работе [14], где выделены три основные мето­ да прогнозирования: аналитическое прогнозирование,

в том числе и методы, использующие математические модели; вероятностное прогнозирование, включающее ве­ роятностные методы, и теория распознавания образов.

Регрессионные модели можно рассматривать как соче­ тание аналитического (имеется конкретная модель) и вероятностного (коэффициенты модели вычисляются ста­ тистическими методами) прогнозирования.

Прогнозирование с помощью математической модели изменения Др/ji. Формулировка задачи сохраняется прежней с учетом лишь того, что контролируется и осу­ ществляется прогноз только одного параметра. Суть ме­ тода заключается в том, что по предшествующему вре­ менному ряду контролируемого параметра X(t) опреде­ ляются последующие значения этого параметра. В осно­ ве определения будущих значений лежит экстраполяция известного временного ряда. В качестве экстраполирую­ щего выражения взята математическая модель измене­ ния магнитной проницаемости (5.23):

обходимо, чтобы аргумент т в (5.24) принимал значения з области Й2 . В тех случаях, когда осуществляется про-

2 9 8

где A = a(b + кі2) .

При предварительной статистической обработке по­ лученной информации коэффициенты экстраполяционной модели вычисляются как функции соответствующих зна­ чений параметра с помощью различных операторов:

Тг.

ный оператор.

Но не всегда для решения задачи требуется опреде­ лять величину прогнозируемого параметра, довольно часто необходимо лишь узнать, через какой промежуток времени параметр достигнет допустимого значения. Обо­ значив этот промежуток как «время жизни» изделия —- тж, определим его из выражения (5.24) при условии

(Д^),==(ДрМдоп.

где (Дц/ц)доп — допустимое значение Др/р. Преимуществом данного метода является то, что уда­

ется осуществлять прогнозирование индивидуальной реализации параметра при весьма ограниченной обла­ сти йі. В качестве примера можно привести результаты прогнозирования уходов величин параметров ферритов марки 2000НМ1 за период хранения (10—12 лет). Из­ вестно математическое ожидание изменения магнитной проницаемости партии изделий в течение 3,5 лет хране­ ния (табл. 49). В качестве модели для прогнозирования Использовалось выражение (5.25). При заданной темпе-

299

ратуре хранения по известным (Лц/ц) были вычислены коэффициенты А и q; (ДрУр)т= — 5,3-х0’25.

В табл. 50 приведены значения Др/р, вычисленные аналитически. С увеличением времени хранения данные контроля подтверждают вполне приемлемую точность прогнозирования.

корреляции между значениями параметра в различные дискретные моменты времени, можно воспользоваться элементами регрессионного анализа.

Пусть X— текущее, а у — предсказываемое значения контролируемого параметра изделия и соотношение

300

между ними определяется их распределением. Тогда связь между прогнозируемыми значениями параметров X и У отличается от функциональной. И пусть средние значения одной величины обнаруживают известную за­ висимость от соответствующих значений другой величи­ ны. Тогда можно построить эмпирическую формулу вида

Y=a + bX,

которая называется уравнением регрессии [144].

Непосредственно уравнение регрессии для решения задачи прогнозирования записывается как

где п — число изделий в прогнозируемой партии.

Как видно из (5.27), конечный результат существен­ но зависит от количества известной информации, по­ этому для малого п, очевидно, при вычислении коэффи­ циента ірегрессии погрешности 'будут значительными. Для устранения этого недостатка следует определять р предложенным ранее способом. Кроме того, для прогно­ зирования необходимо знать заранее коэффициент ре­ грессии. С помощью полученных по ограниченной информации уравнений регрессии осуществляется про­ гнозирование значений индуктивности ферритовых сер­ дечников во временном промежутке 0—т, для которого вычислен коэффициент регрессии.

301

Так, для конкретного случая для ферритов марки 2000НМ1 были ‘получены уравнения

= 1 000 ч и т = 2 000 ч.

На рис. 5.24 построены интегральные функции рас­ пределения экспериментальных Тэксі/, Тэксп" и прогно­ зируемых Т ’п р о п / , Т ’п р о п / ' значений индуктивности (а —

прогноз на 1 000 ч; б —прогноз на 2 000 ч). Точность прогноза достаточно высокая. Среднеквадрэтическое от­ клонение экспериментальной функции распределения от полученной путем прогнозирования для т=1 000 ч равно 0,0190, для т = 2 000 ч равно 0,0262. Преимуществом ме­ тода является возможность прогнозирования значений параметра при известном коэффициенте регрессии по единственному нулевому распределению.

Прогнозирование при известном законе распределения. Задача прогнозирования может отличаться от ранее рассмотренной принципом определения прогнозируемой величины, когда требуется определить вероятность невы­ хода за допустимые пределы значений параметра в бу­ дущие моменты времени. В этом случае сформулируем задачу следующим образом.

3 0 2

нение х(т) в области Й2 .

Такое решение задачи прогнозирования иногда назы­ вают в е р о я т н о с т н ы м [14].

Пусть известны законы распределения х в каждом временном сечении x(fz(x) и Fz(x)); эти законы харак­

теризуются математическим ожиданием тх и диспер­ сией Dx. Поскольку па­

раметры изделий являют­

также функциями време­ ни; тх(т) и Dx(т), т. е.

руемых параметров х(х)

вданном случае сводится

копределению момента

вбудущем, когда нару­

стимая вероятность. Это можно выполнить, экстраполи­ руя тх с помощью математической модели (5.24) при условии, что Dx= const.

Учитывая это, нормальный закон, которому подчи­ нено распределение параметров ферритов, для случаев одностороннего предела примет вид:

где еДоп —Ядоп—>пх\ Хдоп — допустимое значение контро­ лируемого параметра; Ф — функции Лапласа, для кото­ рых составлены таблицы [19].

При осуществлении вероятностного прогнозирования весьма ценной является возможность решения обратной задачи. При этом определяется, через какой интервал времени (время жизни тж) вероятность выхода за до­ пустимые пределы достигнет значения Рхяоп. Выражение (5.28) можно переписать

Преимущество этого метода состоит в том, что ве­ роятность нахождения параметра в допустимых преде­ лах характеризует надежность изделий, а прогнозиро­ вание этой величины во многих случаях крайне необ­ ходимо.

Если вернуться к примеру прогнозирования норм ухода параметров ферритов на стадии хранения, то можно отметить, что значения параметров партии изде­ лий обладают определенной дисперсией. Поэтому нор­ мы ухода целесообразно прогнозировать вероятностны­ ми методами.

Воспользуемся выражением (5.29); пусть РДОп=0,99. Тогда аргумент функции Лапласа 2доп=1,85 и выраже­ ние для норм ухода (Ац/[х)ДОп примет вид:

Прогнозирование при неизвестном законе распреде­ ления. На практике часто текущая информация не опре­ деляет однозначно закон распределения контролируемо­ го параметра. Тогда для решения поставленной задачи могут быть использованы вероятностные неравенства, в частности наиболее распространенное из них неравен­ ство Чебышева [14], которое для задачи прогнозирова-

304

ния параметров ферритов имеет вид:

значение Хдоп, Вдоп= -^доп м-х- Время жизни в данном случае вычисляется по фор­

муле:

(5.31)

В(5.30), (5.31) предполагается, что Dx= ox2= const.

Неравенство Чебышева дает сравнительно грубую

тем, что получается результат, наихудший из возможных при любом законе распределения.

Прогнозирование с помощью математических мето­ дов теории распознавания образов. В этом случае зада­ ча прогнозирования сводится к задаче статистической классификации, т. е. по изменениям параметров в огра­ ниченной области £2 или по их значениям в единствен­ ном временном сечении необходимо отнести изделия к тому или иному классу. Классы объединяют группы изделий, которые характеризуются определенной общ­ ностью или сходством.

Если можно достаточно точно (в виде конкретных признаков — параметров) сформулировать то общее, что объединяет изделия в классы, то задача распознавания сводится к сравнению признаков предъявляемых изде­ лий с заранее известными, эталонными. При геометри­ ческом представлении каждому изделию соответствует точка в многомерном пространстве параметров. Очевид­ но, что сходным изделиям соответствуют близкие точки и классы легко различимы, если точки, принадлежащие им, располагаются кучно. Иными словами, эти методы основываются на том, что изделия, имеющие в среднем равную долговечность или одинаковую степень работо­

мощью различных критериев отнести изделие по долго-

вечности к тому или иному классу. Сформулировать задачу прогнозирования в этом случае можно следую­ щим образом.

Пусть в процессе контроля в момент [г0 определя­ ются значения параметров х,, xs, ... ,x K. Необходимо по

т. д., причем г определяется исходя из условий эксплуа­ тации изделия.

Решение поставленной задачи зависит прежде всего от выбора способа распознавания, которые можно под­ разделить на две группы: детерминированные и вероят­ ностные способы. Детерминированную классификацию целесообразно использовать при непересекающихся или мало пересекающихся совокупностях параметров изде­ лий, принадлежащих к различным классам. При сильно

ности совокупности {xs} к. Я-му классу для s-ro при­ знака.

Однако способы классификации по сумме и произве­ дению вероятностей являются способами оперативной проверки гипотез; они не учитывают априорную ве­ роятность появления каждого класса из всей совокуп­ ности классов, без использования которой невозможно обойтись в некоторых сложных задачах классификации.

306