книги из ГПНТБ / Стабильность свойств ферритов. (Анализ физических свойств при внешних воздействиях, прогнозирование. Элементы проектирования)

277

ния % для величины L0. Строка (2) и столбец II заполняются после вычисления столбца V и строки (5).

Числовая матрица, ограниченная столбцом III и строкой (3), представляет корреляционную таблицу типа В [144]. Она получается подсчетом суммарных площадей вкладов в интервалах, соответствую­ щих каждой клетке распределений L0 и т. е. площадь в клетке

распределение той же величины в условных единицах, т. е. величины

лировать с помощью сложения всех площадей, записанных в строке или столбце; сумма должна равняться общей площади, ограниченной кривой распределения. Поэтому в таблице число 2 2 s yx пишется дважды: под столбцом V и на продолжении строки (5). После за­ полнения столбца V нужно выбрать место условного нуля для ве­ личины L%. Наиболее часто за условный нуль принимается интер­

вал, содержащий наибольшее значение суммарной площади s q. Сле­ дует отметить, что неудачный выбор условного нуля не имеет суще­ ственного значения, так как в этом случае вычисления усложняются лишь незначительно.

Далее осуществляются вычисления, позволяющие построить ре­ грессионные уравнения.

1.Прежде всего производится подготовка к вычислению сред­

каждое число, приведенное в столбце V, умножается на стоящее рядом число столбца IV и записывается в столбец VI (этот столбец и последующие столбцы, а также соответствующие им строки в таб­ лице не указаны). Полученные числа складываются:

278

В столбце ѴІ, полученные для каждой строчки матрицы в предыду­

щей операции (п. 1), т. е. y q ^ S q x , умножаются на числа в анало-

k

гичных строках столбца IV: */<?P82 s9*- Аналогичные операции про-

k

изводятся с величиной x(Lo) (числа строки (6) умножаются на числа строки (4)). В результате получаются суммы, необходимые для вы­ числения средпеквадратических отклонений величии La и А,:

Суммирование сначала производится по одному аргументу, затем по другому. Изменяя порядок аргументов, можно получить двойную сумму вторично: так как формально все операции производятся точно (мет приближенных действий), то вторая сумма должна точно равняться первой, что обеспечивает падежный контроль правильно­ сти вычислений.

эмпирического распределения совокупности двух величин (при усло­ вии, что достаточно рассматривать линейные уравнения регрессии). После этого можно перейти к вычислениям коэффициентов регрес­ сии, выводу уравнений регрессии и к вычислению коэффициента кор­ реляции. Если необходимо сравнивать эмпирическую регрессию с теоретической, построенной нами, то производятся дополнительные вычисления (пп. 5, 6).

Тогда сумма ^ Slihx^ sq« представляют собой средние значения ху при

k

279

Последовательных у, а эію значит, что получена эмпирическая регрес­

сия X на у (столбец X). Аналогично суммы Sqhyq/Soh дают эмпири-

6.Далее по полученным уравнениям регрессии вычисляются

значения средних х для последовательных значений y q (столбец XI) и средних у для разных значений хк (строка (И )).

Д2ооо—До), где эмпирическая связь представлена ломаными (пунк­ тирными) линиями, проведенными через точки, построенные по зна­

чениям 2 (% А /5Зо)-

к

По полученной таблице, заполненной числовыми значениями распределения малых выборок, можно определить величины, позво­ ляющие вычислить коэффициент корреляции г и составить уравнение регрессии.

Рассмотрим порядок вычисления г при ограниченной информа­

ции:

С помощью деления сумм, записанных в VI и (6) на общую сумму определяются средние значения:

280

З д е с ь

где k и I — порядковые индексы интервалов по оси у и х , Alo = tok—

-----/offt + i)-

Среднеквадратические отклонения определяются с помощью де­

где Vo2 , v2o — начальные моменты порядка ноль-два и два-ноль, т. е.

начальные моменты второго порядка величин у и х соответственно. Далее определяется коэффициент корреляции:

г=№п/оувх = ( ѵ ц —ух)ІОуОх,

X-

2 2 '

k q

0 5»

72 X 2 1

2 2 .

k q

28i

их части следует подставить последовательно значения х и у из строки (4) и столбца IV соответственно. Перевод в основные едини­ цы измерений осуществляется способом, изложенным в [144].

Таким образом, рассмотренная методикапозволяет вычислять коэффициент корреляцииисоставлять урав­ нения регрессии по малым выборкам, что, безусловно, повышает информативность малых выборок.

Построение функции распределения времени безот­ казной работы по малым выборкам. Возможность по­ строения функции распределения по ограниченной ин­ формации с помощью вкладов позволяет определить плотность распределения времени безотказной работы при испытании на надежность малой выборки изделий.

Принцип построения экспериментального распределе­ ния времени безотказной работы с помощью прямоуголь­ ных вкладов остается целиком тем же, необходимо толь-

282

ко отметить две особенности. Во-первых, так как справа по оси абсцисс нет ограничений временного интервала, то первый (базовый) вклад можно продолжить до конца испытаний, а при необходимости и дальше. Во-вторых, если части вкладов первых отказов распространяются левее ординаты т = 0 , то необходимо ту часть вклада, ко­ торая приходится на область т < 0 , надстраивать на вкла­ ды в областит>0,начиная с ординаты т = 0 (рис. 5.19,а). Оптимальная ширина вклада dopt в подобном случае соответствует среднему времени безотказной работы тСр

илежит в диапазоне (0*5 ... 1,0) тСр.

Вкачестве примера можно привести результаты построения за­ кона распределения времени безотказной работы СВЧ ферритовых циркуляторов. При аппроксимации экспериментального распределе­ ния ’известными теоретическими законами были выбраны две наи­ более близкие модели: показательное распределение и распределе­ ние Вейбулла (рис. 5.19,6). Гамма-распределение также дает при­ емлемую ошибку приближения, однако оно более сложно и довольно часто без особого ущерба может быть заменено распределением Вей­ булла.

Показательное или экспоненциальное распределение при аппрок­ симации экспериментальных данных получило вид:

вать экспериментальные кривые, чем экспоненциальное распределе­ ние, при следующих значениях параметров:

/ ( т) = v&XoT'1- 1exp[A,oT2'18,t];

где А =0,46 — характеризует «остроту» и асимметрию распределения;

>.о = 5,5- ІО-5.

Другой тип СВЧ ферритовых устройств — вентили — отличается большей стабильностью параметров. Отказы в основном наступают за счет постепенных уходов параметров за допустимые пределы. Распределение времени безотказной работы в данном случае под­ чиняется нормальному закону, для которого

283

метра аир, который характери­ зует прямые потери в вентиле. Знание закона распределения времени безотказной работы позволяет вычислить основные

характеристики надежности. Очевидно, описанный математический аппарат обработки ограничений информации существенно повышает возможности решения различных задач, возникающих при испыта­ нии на надежность, в том числе и задач прогнозирования.

5.3. М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Е О П И С А Н И Е И З М Е Н Е Н И Й П А Р А М Е Т Р О В Ф ЕРРИТО В

Математические методы сейчас настолько широко используются в экспериментальных исследованиях, что появилась возможность создания общей математической теории планирования эксперимента. Если раньше мате­ матические методы использовались лишь на последнем этапе исследования — при обработке результатов наблю­ дений, то теперь они применяются на всех этапах: при формализации априорных сведений перед постановкой опыта (испытанием или прогнозированием), при плани­ ровании испытаний, обработке их результатов и приня­ тии решения. Планирование эксперимента — это поста­ новка опыта по некоторому, заранее составленному алгоритму, обладающему какими-то оптимальными свой­ ствами. Разработка таких алгоритмов представляет со­ бой сложную математическую задачу. Процесс исследо­ вания обычно разбивается на отдельные этапы, после каждого из которых полученная информация позволяет изменить дальнейшую стратегию исследования. Методы математического моделирования поведения параметров изделий относятся к подобным методам и позволяют оптимизировать испытания по многим критериям.

Наиболее ответственные этапы эксперимента состоят в сборе данных, упорядочении их, вычислении некоторых количественных показателей, необходимых для принятия

284

решений относительно различных аспектов эксперимента. При этом очень важно построить математическую мо­ дель исследуемого в эксперименте процесса, характери­ зующего поведение изделия. При решении задач контро­ ля и управления необходимо в той или иной мере знать поведение изделия (прибора) в период выполнения воз­ ложенных на него функций, что позволит оперативно принять соответствующие меры, направленные на выпол­ нение поставленных задач. Особенно важно знать мате­ матическое описание поведения изделия, когда рассма­ триваются такие вопросы эксплуатационной надежности, как контроль состояния работоспособности изделий, поиск неисправностей и прогнозирование изменения со­ стояния изделий. Поскольку указанные задачи можно решить только на основании анализа изменений пара­ метров изделий, то описание изменений параметров во времени, иногда при воздействии различных факторов, существенно облегчает их решение. При этом предпочте­ ние необходимо отдать экспериментально-статистическим методам математического описания результатов испы­ таний.

Применение этих методов позволит подойти к реше­ нию задач исследования и управления различными слож­ ными процессами. Математическая модель процесса ищется не в виде уравнений кинетики, термодинамики, материального баланса и т. д., а в виде некоторых фор­ мальных уравнений, найденных статистическими мето­ дами на базе информации, полученной непосредственно при испытании изделия. Оба эти направления следует не противопоставлять друг другу, а по возможности рас­ сматривать совместно. Если сведения о механизме про­ цесса позволяют получить уравнения связи определенно­ го вида, роль экспериментально-статистических методов ограничивается отысканием численных значений коэффи­ циентов уравнения. В то же время экспериментально­ статистическое обследование позволяет получить некото­ рые теоретические представления о механизме процесса и расширить теоретические исследования.

Математические описания изменений процессов в -большинстве случаев можно свести к полиномиальной форме. Математическая модель в полиномиальной форме позволяет эффективно решать те или иные конкретные задачи (как технологические, так и конструктивные). Могут возникнуть опасения, что при таком подходе

285

теряется информация эвристического характера, так как полиномиальная форма представления изменения про­ цессов настолько абстрактна, что ее трудно будет использовать для объяснения сущности явлений. Меха­ низм изменения параметров изделий, конечно, нельзя однозначно интерпретировать по результатам исследова­ ния, представленным в полиномиальной форме. Но это позволяет сформулировать определенные предположения, для проверки которых потребуются дополнительные ис­ следования [82].

Исследователи, занимающиеся точными науками, привыкли описывать элементарные процессы в терминах дифференциальных уравнений. Процесс считается понят­ ным, если он описан дифференциальным, интегральным либо интегро-дифференциальным уравнением. При пере­ ходе к изучению сложных процессов изменяются не только методы исследования, но и способы представле­ ния результатов исследования. Приходится пользоваться алгебраическими категориями и геометрическим пред­ ставлением результатов исследования.

Процессы, обусловливающие изменения параметров широкого класса приборов и изделий, сложны, многооб­ разны и недостаточно изучены. Поэтому отыскание ка­ ких-либо математических закономерностей весьма за­ труднительно. Отсюда целесообразны поиски приближен­ ных математических методов, при использовании которых знание механизма изменения параметров в некото­ рых случаях становится необязательным. При этом не­ обходимо отметить следующие особенности, присущие большинству эксплуатируемых ферритовых приборов:

—непрерывность изменения параметров во времени;

—наличие параметров, определяющих состояние прибора, их сложная взаимосвязь;

—наличие внешних и внутренних возмущающих воз­ действий, не поддающихся контролю и изучению.

Таким образом, параметры приборов Х\, Х2, ..., Хк в общем случае могут рассматриваться как функция не­ скольких аргументов

где S — состояние внутренних связей; Q, С — соответ­ ственно влияние нагрузки и внешней среды; т — фактор времени.

286