книги из ГПНТБ / Стабильность свойств ферритов. (Анализ физических свойств при внешних воздействиях, прогнозирование. Элементы проектирования)

ность, то данные эксперимента можно представить ß виде матрицы:

изделий (объем выборки).

Анализируя матрицу (5.2), можно выявить способы обработки текущей информации. Анализ (обработка) данных производится обычно по строкам и по столбцам. Анализ по строкам представляет собой анализ изменения состояния отдельного изделия во времени в период испы­

изделий выборки в отдельном временном сечении. В обо­ их случаях используются специальные методы матема­ тической обработки.

Математическая обработка отдельных временных функций. Отдельно рассматриваемая строка в (5.2) пред­ ставляет собой дискретные значения временной функции Х(т). Основная цель обработки в этом случае состоит в обнаружении характера или тенденции изменения кон­ тролируемого параметра, что является обязательным условием, например, при решении задачи прогнозирова­ ния. Поскольку в общем случае контролируемый пара­ метр А(т) можно представить в виде (5.1), то очевидно, что тенденцию изменения X (т) определяет составляю­ щая £(т), а [т>(т) +х,(т)] препятствуют обнаружению и определению |(т ). Для обнаружения £(т) необходимо подавить составляющую помехи. Для этого используется тот или иной математической оператор, воздействие ко­ торого на Х(т) выделяет |(т).

Пусть распределения гДт) и х(х) подчинены гауссо­ ву закону с нулевым средним. Рассмотрим несколько ва­ риантов операторов, которые позволяют обнаруживать тенденцию и закономерность изменения Х(т).

247

Применяя оператор математическое ожидание М, най­ дем М[Х (%)]■.

М[Х (%)]-■= МЦ(х) +т](т) + х(т)];

раскроем скобки:

учитывая предположение о нормальности распределений,

получим М[ц (t)]=AJ[x (t)]=0.

Для составляющей |(т) можно предположить в пер­ вом приближении, что для каждого дискретного значения времени |( ті) —неслучайная величина, отсюда М[Х(т)] = = -Щ £(т)}=1;(т), т. е. необратимая составляющая в зна­ чительной степени определяет закономерность изменения

*(т).

Принцип действия непрерывного интегрального опе­ ратора состоит в том, что интегрируется функция Х(%), причем нижний предел Ті — начальное значение аргумен­ та, а верхний т — текущее время, т. е.

Для симметрично распределенных случайных значе­ ний справедливо равенство

X

Следовательно, применение непрерывного интеграль­ ного оператора позволяет устранить влияние помехи и в интегральном масштабе оценить тенденцию изменения

Х(х).

Дискретный интегральный оператор отличается от не­ прерывного способом взятия верхних и нижних пределов.

248

Весь период [хі, тп] реализации контролируемой функции Х(т) разбивается на к интервалов [хи Ті+ і], которые являются пределами интегрирования.

Выражения (5.3), (5.4) в этом случае примут вид

что и для непрерывного интегрального оператора. Стро­ гость же равенства, аналогичного (5.5), зависит от интер­ вала интегрирования Гт,-, Ті+і )- Следует заметить, что при использовании интегральных операторов в качестве до­ пустимых Хдоп, номинальных ХНОм и т. д. значений исполь­ зуются их интегральные эквиваленты

На рис. 5.2 приведена кривая изменения A |i/p= f(t) для ферритов марки 1500 НМЗ, а на рис. 5.3—5.5 эта же кривая построена после обработки данных при помо­ щи операторов. В качестве операторов использовались: математическое ожидание (рис. 5.3), дискретный инте­ гральный (рис. 5.4) и непрерывный интегральный (рис. 5.5) операторы.

Математическая обработка множества значений функ­ ций в отдельном временном сечении. Столбец в (5.2) представляет собой значения одного итого же параметра {Х8(ті)} для всех изделий выборки объемом N в отдель­ но взятом временном сечении Хі. Вообще говоря, в иде­ альном случае все значения Xs(t,), s = 1 , 2, ..., N равны между собой, так как изделия идентичны. Однако в силу отклонений различного характера в технологических и производственных операциях изготовления изделий раз­ брос значений Х3(хі) носит случайный характер и зна­ чения Xs необходимо рассматривать как случайные. Та­ ким образом, обработку множества {Х,(т,)} нужно вести вероятностно-статистическими методами (в дальнейшем

549

для простоты изложения величина Xs(x,-) будет рассма­ триваться без аргумента т,).

Поскольку методы анализа совокупности случайных величин подробно изложены в фундаментальных рабо­ тах по теории вероятностей и математической статисти­ ки, например в [19], рассмотрим лишь некоторые аспекты статистической обработки множества {Xs}.

Пусть имеется совокупность значений параметров Хи Х2, ..., Xs, ..., XN, принадлежащих N однотипным изде­ лиям испытуемой партии. Смысл обработки заключается

втом, чтобы оценить, как распределены значения Ха, определить математическое ожидание и дисперсию, т. е.

вконечном счете оценить качество производства изде­ лий. В количественном отношении эта оценка заключа­ ется в определении местонахождения {Xs} на отрезке оси X, ограниченном величинами [ХДОп, Х+доп] (при двухсто­ ронних допустимых пределах) или [ХНОм, Хдоп] (при одно­ стороннем допустимом пределе), установленными раз­

личными техническими требованиями. Очевидно, чем больше разность Xs—Хдоп, тем выше надежность изде­ лия, т. е. тем выше качество производства и наоборот.

На первом этапе обработки диапазон допустимых зна­ чений параметров на оси X разбивается на к одинаковых интервалов: (Х0, Хі), (Хи Х2), ..., (Хк_,, ХД. Величина и

количество интервалов зависят от конкретной задачи

250

(5:g;/c<c: 15). Подсчитывается количество значений, по­ павших в каждый интервал, в результате получается сле­

вероятность попадания значений параметра в і-й интер­

251

функции распределения (закона распределения) или плотности распределения /(X). На рис. 5.7 показана функция распределения изделий (а) и вероятностей (б).

На практике довольно часто целесообразно знать,

пределении, т. е. устойчивые стороны в технологии и в производстве изделий). Эти статистические характери­ стики можно разбить на две группы [108]. Одна группа характеристик описывает «центр группирования» {Xs}, другая — меру их рассеяния.

Характеристики, описывающие центр распределения. Центр группирования характеризует общий технический уровень или состояние работоспособности изделия. По­ ложение его на поле допуска позволяет судить о запасе работоспособности испытуемых изделий. Среди характе­ ристик, описывающих центр группирования, можно выде­

Заметим, что m x ^ G i x ^ G i j c .

4. Мода Мо характеризует наиболее вероятное зна­ чение X. Поскольку мода соответствует максимуму диф­ ференциальной кривой плотности распределения, то рас­ пределения, имеющие один максимум, называются одно­ модальными, имеющие несколько максимумов — полимо­ дальными. Если центру распределения соответствует — экстремум — минимум, то распределение называют антимодальным.

5.Медиана Me хорошо поясняется соотношением

Р(Х< М е)= Р (Х> М е),

252

т. е. число параметров (изделий), принявших значения, меньшие Me, равно числу параметров, принявших зна­ чения, большие Me.

Характеристики, описывающие рассеяние распределе­ ния. Нетрудно заметить, что чем больше рассеяние пара­ метров изделий, тем более неустановившимся является их производство. И наоборот, при отработанной техноло­ гии и автоматизированном производственном процессе разброс и рассеяние наблюдаются в меньшей степени. Характеристиками, описывающими рассеяние, являются:

S — I

Этот коэффициент характеризует вершину распределе­ ния: насколько она является плоской или заостренной.

В качестве примера в табл. 34 приведены вычислен­ ные характеристики обеих групп для распределения, представленного на рис. 5.6.

253

Использование закона распределения для практиче­ ских расчетов затруднено, так как он известен только в ограниченном числе дискретных точек. Преодолеть эту трудность можно с помощью аппроксимации эксперимен­ тально полученной функции распределения какой-либо известной теоретической функцией. Существует достаточ­ ное количество теоретических законов распределения. Точность аппроксимации экспериментального распреде­ ления оценивается с помощью критериев согласия, наи­ более распространенными из которых являются крите­ рии Пирсона и Колмогорова >[19]. При удовлетворитель­ ном значении критерия согласия принимается выбранный теоретический закон распределения, математический аппарат которого используется в дальнейшем для веро­ ятностных расчетов.

Как уже было установлено выше (гл. 2), распреде­ ление значений параметров ферритов во временных се­ чениях подчинены нормальному закону:

f W = (1/** Ѵ Ы ) exp [ - (X . - т х )ЧЪ%\.

На рис. 5.8 показаны плотность и функция распреде­ ления для нормального закона. Вследствие симметрич­ ности закона частоты ps по мере удаления от математи­ ческого ожидания в обе стороны уменьшаются по иден­ тичному закону. Это распределение является одномо­ дальным, так как справедливы равенства:

Ha практике условия (5.7) не всегда соблюдаются, однако часть экспериментального распределения хорошо аппроксимируется нормальным законом. Это объясняет­ ся воздействием множества факторов, которые деформи­ руют функцию распределения, а также зачастую недо­ статочной представительностью выборки. В табл. 34 при­ ведены значения параметров распределения при наруше­ нии условий (5.7). Максимальная ордината функции

ше ордината h, тем больше изделий группируется около тх и, следовательно, партия изделий является более ка­ чественной. Влияние временных изменений статистиче­ ских характеристик тх и ох на дифференциальную функцию распределения показано на рис. 5.9. Симмет-

254

6

Рис. 5.8.

Рис. 5.9.

255

ричность нормального закона позволяет проградуировать кривую распределения в долях среднеквадратического отклонения а или в нормированных величинах Z = = (X—mx)UУх- Такая градуировка на зоны удобна для

изделия воздействуют два доминирующих фактора, под действием которых пара­ метры изменяются и группируются вокруг двух центров. Плотность распределения, соответствующая нормально­ му закону для двумерного случая, при независимости этих факторов записывается в виде:

где Ш\, т%— центры группирования; щ, ог— соответству­ ющие им среднеквадратические отклонения.

Нормальный закон часто применяется при аппрокси­ мации экспериментально полученных распределений кон­ тролируемых параметров в отдельных временных сече­ ниях. Однако рассмотренную статистическую обработку столбцов в (5.2) в полной мере можно применить и к об­ работке строк. Особенно это относится к определению закона распределения времени безотказной работы, ког­ да информация о наступлении отказов располагается в виде временного ряда. При этом наиболее распрост­ раненными для аппроксимации являются экспоненциаль­ ный, логарифмически нормальный законы, а также закон Вейбулла [71]. При обработке результатов испытаний на надежность и особенно при решении задачи прогнозиро­ вания важно оценить скоростные характеристики вре­ менного ряда в (5.2).

Скоростные характеристики временного ряда. Вычис­ ление статистических характеристик и функций распре-

256