книги из ГПНТБ / Иноземцев, Г. Г. Незатылованные шлицевые червячные фрезы-1
.pdfдифференциальное сечение по энергии рассеянного фотона;
с с (Еу) = ml |
тс* |
2тс2 |
(Еу + |
тс2) |
|
|
Е2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2Е |
|
Атс2 |
|
(тс2)2 |
X 1 п [ 1 + - 4 |
|
|
|
(2.48) |
|
|
|
|
|
2(тс2+2Е7у |
|
полное сечение рассеяния. |
|
|
|
||
Полное сечение |
комптоновского рассеяния |
падает при увеличе |
|||
нии энергии фотона |
(рис. 16). При малых энергиях фотона сечение |
,комптон-эффекта близко к томсоновскому:
|
|
|
|
a c ( £ v |
) ^ 0 T ( l |
2£„, |
|
|
|
|
|
тс* |
(2.49) |
||
|
|
|
|
|
Еу < ^ тс2; |
|
|
|
|
|
|
при больших энергиях |
сечение |
||
|
|
|
|
быстро |
уменьшается: |
|
|
|
|
|
|
|
ос(Еу)ж |
|
|
0fi1Qfi2 |
0,05 0,1 0,2 |
0,5 1,0 2 |
5 10 20Е//ПС |
|
тс* |
2Е, |
|
Рис. 16. |
Полное |
сечение |
комптонов |
8 |
|
|
|
|
ского |
рассеяния. |
|
Еу > |
тс2. |
(2.50) |
|
|
|
|
|
|
|
Средняя потеря энергии фотоном в процессе комптоновского рас сеяния
<Л£7 > = - 1+ -2Е» |
|
(2.51) |
|
* c ( £ v ) |
|
при малых энергиях невелика: |
|
|
< A £ V > « Еу2/тс2; |
Еу < тс2. |
(2.52) |
но при больших энергиях электрону передается большая часть на чальной энергии фотона:
<Д £ г> |
(2.53) |
|
1п тс*
Еу > тс2.
78
Обратный комптон-эффект. Рассмотрим теорию классического рассеяния электромагнитного излучения на ультрарелятивистских электронах*.
Основную особенность обратного комптон-эффекта — резкое увеличение частоты излучения в процессе рассеяния — легко объяс нить, исходя из кинематики рассеяния. Предположим, что на элект рон, движущийся со скоростью v, близкой к скорости света, дейст вует импульс электрического поля. Продолжительность импульса равна At. Под действием поля электрон получает ускорение и излу чает. Продолжительность импульса излучения At', регистрируемая неподвижным наблюдателем, короче длительности импульса поля из-за допплеровского сокращения:
At' ~ At (1 — vie). |
(2.54) |
Если перейти к частотам, получим соотношение |
|
с о ' ~ ( 1 / Д Г ) ~ й ) Г | »со . |
(2.55) |
Рассчитаем основные характеристики обратного комптон-эф- фекта в рамках классической электродинамики. Энергетические по тери электрона, движущегося со скоростью v в плоской волне с на правлением распространения п, равны
dEe |
(1—vn/c)2 |
/ r , r c , |
— 7 7 = c a r w r - ] |
77T' |
( 2 ' 5 6 |
где wr — плотность энергии излучения в плоской волне. В поле изотропного излучения энергетические потери определяются усред ненным по направлениям вектора п выражением (2.56)
dEe |
1 + v2/3c2 |
,„ , . . |
|
^f-=caTwr |
/ |
' . |
(2.57 |
dt |
1—t>2 |
/c2 |
|
Для ультрарелятивистских электронов в изотропном поле излуче ния энергетические потери равны
—dEjdt= |
~coTwrTl |
= l,0-10-2 5 ay,£f эв/сек. |
(2.58) |
Время жизни ультрарелятивистских электронов относительно энер гетических потерь на обратный комптон-эффект быстро падает с увеличением энергии электрона:
, |
Ее |
|
3 ( т с 2 ) 2 |
|
1,0-1025 |
сек. |
/ 0 |
_ п . |
|
tc= |
|
— = —-—— = —'• |
Ее |
|
(2.59) |
||||
|
—dEe/dt |
4ссгТ wr |
Ее |
wr |
|
|
|
Например, время жизни электронов с энергией порядка 100 Мэв относительно энергетических потерь на реликтовом излучении (с плотностью энергии, равной 0,25 эв/см3, см. § 1.4) сравнимо с хаб-
* При очень высоких энергиях электронов квантовые поправки к клас сической теории обратного комптон-эффекта становятся существенными. Этот вопрос рассмотрен в § 2.5.
79
бловским возрастом Вселенной (tH |
~ 1/Я0 ~ 1010 лет), в то время |
как электроны с энергией, большей |
10 Гэв, теряют свою энергию за |
время, меньшее времени удержания космических лучей в магнитном поле Галактики (tCT ~ 107 лет, см. также гл. 5).
Используя условие сохранения числа фотонов в процессе рассея ния, записываем соотношение между средними энергиями первич ных и рассеянных фотонов:
<s v> = |
( — dEeidt) |
^ 2 щ |
<е> |
cwr стт |
|
или |
|
|
<е;> = 5 , Ы 0 - 1 2 < е > £ ! эв. |
(2.61) |
Аналогия между свойствами синхротронного излучения и обрат ного комптон-эффекта очевидна [сравним соотношения (2.17) и (2.58); (2.22) и (2.61)]. Физическая причина этой аналогии проста: и синхротронное излучение, и рассеянное на быстрых электронах обрат ное комптоновское излучение генерируются при колебаниях ульт рарелятивистских электронов во внешних электромагнитных полях. Формальная причина аналогии — это возможность трактовки син хротронного излучения как обратного комптон-эффекта виртуаль ных гирофотонов магнитного поля с частотой со^ на ультрареляти вистских электронах [21].
Спектральное распределение интенсивности излучения ультра релятивистского электрона, колеблющегося в поле электромагнит ной волны, запишем в виде [25] (см. § 77)
^ - |
= л |
, [ 1 + 0 - * ) 2 |
] эрг/(сек-гц), |
(2.62) |
dv |
8 v r ( l — cos |
ф) |
|
|
где v r — частота волны; wr |
— плотность энергии в волне; |
|
||
|
Vo Те |
( 1 — cosqp) |
|
|
Ф — угол между вектором скорости электрона и направлением рас пространения первичной волны.
Спектр обратного комптоновского излучения электрона, движу
щегося в изотропном поле излучения, получим из выражения |
(2.62) |
|
усреднением по углам ср: |
|
|
~ |
= ^ ^ - у { 1 + у-2у2 + 2у\пу}, |
(2.64) |
dv |
vr |
|
где |
z/ = v/4H. |
(2.65) |
|
80
Дифференциальное сечение обратного комптон-эффекта по энер гиям рассеянных фотонов
|
|
da |
Зат |
|
|
(2.66) |
|
|
|
dE V |
|
|
|
||
|
|
ут |
|
|
|
||
где Е.ут |
AhvrT\ |
Зависимость сечения от энергии фотона показана |
|||||
на рис. 17. |
|
|
|
|
|
||
Теперь получим выражение для светимости единицы объема, за |
|||||||
полненного ультрарелятивистскими |
электронами со |
степенным |
|||||
|
|
Т А Б Л И Ц А 9 |
|
|
|
||
Зависимость |
коэффициентов |
|
|
|
|||
/ O J . |
g(Ve) |
" т(Уе) |
от |
|
|
|
|
показателя |
спектра |
уе |
|
|
|
||
Уе |
f(ve > |
8<Ve) |
|
|
|
|
|
1 |
0,50 |
2,4 |
0,56 |
|
|
|
|
2 |
0,53 |
3,7 |
2,6 |
|
|
|
|
3 |
0,67 |
6,5 |
6,4 |
Рис. |
17. Дифференциальное се |
||
4 |
0,94 |
12,3 |
12,7 |
чение |
обратного |
комптон- |
|
5 |
1,40 |
24,8 |
22,0 |
||||
|
эффекта. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
спектром (2.29), на которых рассеивается монохроматическое изо тропное излучение с частотой vr и плотностью энергии wT:
|
|
v (тс2)2: - j - ( V e - » > / 2 |
|||||
|
|
|
|
Vr |
|
|
|
1,06- ю - м - г ке |
6 , 7 - Ю - " |
v x - ( Y e |
- l ) / 2 |
/(Ye) |
эрг/(см3-стер-гц-сек), |
||
Vr |
|
|
|
|
|
|
(2.67) |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( « ) = |
3-2v «(y? |
+ |
4ya + |
ll ) |
(2.68) |
|
|
(Ye + 3) 2 (Y e |
+ l ) ( 7 |
e + 5) |
||||
|
|
Численные значения коэффициента / (уе) приведены в табл. 9. Сле
дует отметить, что показатели спектров фотонов а |
и электронов уе |
связаны соотношением |
|
« = (Y. - 1)/2, |
(2.69) |
общим для синхротронного и обратного комптоновского механизмов. После открытия реликтового излучения процесс обратного комп тоновского рассеяния на равновесном тепловом излучении с план-
ковским спектром
/ ( v ) = - ^ . |
, „ L . . |
(2.70) |
exp (hv/kT) — l
81
приобрел исключительно большое значение. Приведем только один пример. Радиоастрономические наблюдения протяженных радиога лактик (например, Центавра A-NGC 5128) указывают на существо вание огромных, в десятки раз больших, чем оптическая галактика, облаков релятивистских частиц, удерживаемых магнитными поля ми. Однако радиоастрономические наблюдения не позволяют опре делить ни величину напряженности магнитного поля в облаке, ни плотность энергии космических электронов высоких энергий. Но вследствие обратного комптон-эффекта на реликтовом излучении те же самые электроны будут излучать в рентгеновском диапазоне. Сравнивая интенсивность источника в радио- и рентгеновском диа пазонах, можно определить величину напряженности магнитного поля в области генерации излучения ([101], см. также (2.73)).
Светимость единицы объема, заполненного электронами со сте пенным спектром (2.29) и равновесным тепловым излучением с тем пературой Т, равна
|
/с (V) = \ |
(kTlftc)3 |
0 Т Кв |
g (Ye) ( m c T ^ - '> X |
|
||
|
X (2nhv/kT)~(ve-l)/2 |
=:8,9-lO-s,iTs |
x |
|
|||
|
X ^ e g ( T e ) ( 3 , 2 . 1 0 - 2 3 v / r r ^ - I |
) / 2 |
эрг/(см3 |
• стер-гц-сек), |
(2.71) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
g (Уе) = |
f (Уе) Г |
1(ув + |
5)/2] £ [ ( Т в + |
5)/2] |
(2.72) |
|
и |
£ — дзета-функция |
Римана. Численные значения коэффициента |
|||||
h |
(уе) даны в табл. 9. |
|
|
|
объема, |
обусловленных син- |
|
|
Отношение светимостей единицы |
хротронным излучением в хаотическом магнитном поле Н и обрат ным комптон-эффектом на равновесном тепловом излучении с темпе ратурой Т, равно
' c ( V c ) = 2 , 0 . l O - ' m W ^ — - № |
. (2.73) |
||
/в (V.) |
H(Ve+D/2 \ |
V c |
|
Значения коэффициента можно найти по формуле (см. табл. 9) |
|||
m{ye) |
= g{ye)/b{ye). |
(2.74) |
|
Отношение частот синхротронного и обратного комптоновского |
|||
излучений не зависит от энергии электрона: |
|
||
^-=-2,0-104 |
— . |
(2.75) |
|
<vs> |
|
Н |
' |
При описании обратного комптон-эффекта классическую электро динамику можно использовать до тех пор, пока энергия излучаемого фотона мала по сравнению с начальной энергией электрона:
Ey(Ee)<tEe |
(2.76) |
82'
или |
Ee<tEt |
= (mc2)2/<e> = 2,6- 10"/<е> |
эв. |
(2.77> |
||
|
||||||
Распространение |
электронов |
с энергиями, большими |
критической |
|||
Et, |
описывается |
квантовой |
теорией обратного |
комптон-эффекта |
||
(см. |
§ 2.5). |
|
|
|
|
|
§ 2.3.
ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Введение. Тормозное излучение образуется при столкновениях электронов с заряженными частицами. Все процессы, происходящие в ионизованных газах, обязательно сопровождаются генерацией тормозного излучения. Поскольку большая часть вещества Вселен ной находится в ионизованном состоянии, важная роль тормозного излучения как механизма генерации электромагнитных волн не вы зывает сомнений.
Чаще всего тормозное излучение проявляется как тепловое излу чение нагретой плазмы. Последнее наблюдается во всех диапазонах электромагнитных волн, начиная от радиодиапазона (тепловое из-
Рис. 18. Траектория электрона, сталкивающегося с ионом.
лучение солнечной короны, излучение областей НИ •— облаков меж звездного ионизованного водорода) и кончая диапазоном рентге новского излучения (мягкое рентгеновское излучение солнечных вспышек, излучение нагретого газа в остатках сверхновых звезд).
Классическая теория тормозного излучения. Приведем основные формулы теории тормозного излучения. Согласно классической тео рии, электрон, сталкивающийся с ионом заряда -\-Ze, движется по гиперболе, в фокусе которой находится ион (рис. 18). Движение электрона можно считать классическим до тех пор, пока минимальное расстояние сближения электрона с ионом
Ь0 = 2Ze2/mu2 |
(2.78) |
8»
не станет сравнимым с дебройлевской длиной волны электрона
Я, = %lmv |
(2.79) |
или |
|
Ее < 13,6Z2 эв. |
(2.80) |
Тормозное излучение электрона подчиняется законам классической электродинамики в том случае, если выполняется дополнительное условие:
hv С тиЧ2. |
(2.81) |
Классическое выражение для интенсивности тормозного излуче ния электрона (его вывод можно найти в монографиях [24] и [25])
|
|
<Ш |
32л е 2 |
(Ze2Y |
|
щ |
, |
0,18/от 3 |
/о ооч |
|||
|
|
" Г |
="7 |
Г |
— |
|
— 1 |
п |
— |
. |
( 2 - ^ ) |
|
|
|
av |
|
3 |
с* |
\ т |
J |
v |
|
ZeL |
v |
|
где щ — концентрация |
ионов в газе, справедливо в области |
малых |
||||||||||
частот (v < EJh) |
для |
|
небольших |
энергий |
электронов |
(Ее <^ |
||||||
« |
13,6 Z2 эв). |
|
|
|
|
|
нагретого газа с температурой Т |
|||||
Светимость |
единицы |
объема |
||||||||||
и концентрацией электронов пе |
связана |
с интенсивностью |
излуче |
|||||||||
ния |
соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ ( v ) = |
— Г dvf(v)dWv^ |
dv |
|
эргПсм3-сек-стер-гц), |
(2.83) |
||||||
|
|
4я J |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ ( 0 |
) ^ |
4 |
» 1 , |
о Ч |
^ ) |
1 » |
е |
х р |
( - ^ ) |
(2.84) |
максвелловская функция распределения электронов газа по скорос тям. После интегрирования выражения (2.83) по скорости электрона v получаем:
. , . |
16 е 2 |
|
/ Z e 2 \ 2 |
|
/ ( v ) = |
- |
-7 |
— ) |
|
|
3 |
с |
3 |
\ m / |
/ |
m |
\ l / 2 . |
( f e T ) 3 / 2 |
|
/ Г ) о с ч |
|
Щпе |
— - |
|
In |
' |
w i 1 / 2 |
(2.85) |
|
V 2яйГУ |
|
Ze2 |
|
Квантовая теория тормозного излучения. При больших частотах излучения (v — EJh) и высоких энергиях электронов (Ее >, > , 13,6 Z2 эв) становятся существенными квантовые поправки к клас сической теории. Учет квантовых поправок проводится с помощью факторов Гаунта a (v, v) и a (Т, v) [102]:
dW
a (v, v) =-- |
- И . |
^ |
(2.86) |
' |
я |
32л е 2 / Ze2 |
|
84
о (г, v) = J - i - |
£ М |
/ от у / 2 |
(2 87) |
J6_ |
е2_ / Z e ^ y |
3 с» 1 от J Л г ' Л е Ы г ]
Точное выражение для фактора Гаунта а (у, v) получено в работе 11031; подробные таблицы численных значений факторов Гаунта мож но найти в работах [104—106].
При высоких энергиях электронов (Ее > 13,6Z2 эв) для расчета интенсивности тормозного излучения электронов можно использо вать так называемое борновское приближение [42, 107]. Для нере лятивистских электронов интенсивность тормозного излучения в бор-
новском приближении |
|
dW , |
da |
— = hvni |
v — = |
dv |
d\ |
= Л я £ ? £ . п ZVgln (VEe + V Ee-hv)2 |
{ h v < E g ) y |
(2 .88) |
||
3 |
v |
hv |
|
|
где do/dv — дифференциальное |
сечение тормозного излучения по |
частотам фотонов v. В этом случае интегрирование по энергиям в вы
ражении |
(2.83) можно провести аналитически, |
тогда |
|
|
|||||||||
. , ч |
16 е 2 |
/ Z e 2 \ 2 |
/ т у / 2 |
|
/ |
Av N v |
I hv \ , 0 |
o n . |
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь Ко — функция |
|
Макдональда. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
При высоких энергиях фотонов спектр тормозного излучения на |
|||||||||||||
гретого газа экспоненциально обрезается: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
. . . |
8 / 2 я о т \ 1 / 2 |
|
/ 2 е 2 \ 2 е 2 |
|
/ |
Av \ |
|
|
||||
|
/ (У) = — ( |
|
) |
"1 пее |
— |
I |
- 3 |
ехр |
г - |
— |
= |
|
|
|
|
|
ZkT ) |
' " |
\ т |
с |
~~~ |
\ |
kT J |
|
|
||
= 5,4-10-3 9 я ^ £ . ' ехр ^ ~4'8'Ю~ |
|
— j |
эрг/(см3-сек-стер-гц). |
|
(2.91) |
Скорость охлаждения единицы объема нагретой плазмы из-за тормозного излучения можно найти, интегрируя выражение (2.89)
по энергиям фотонов: |
|
|
|
|
= |
1,58-10"" л, л, Z* Г»/2 |
эрг/(см3-сек), |
(2.92) |
|
dt |
|
|
|
|
где п—концентрации |
частиц, см~г. Характерное время |
охлаждения |
||
нагретой плазмы |
|
|
|
|
t = |
^ |
= 2,6• 10" |
сек. |
(2.93) |
|
(— dwT/dt) |
|
пе |
|
85
Тормозное излучение нетепловых электронов. Получим выраже ние для светимости единицы объема, заполненного нетепловыми электронами со степенным энергетическим спектром:
Р(Ек) |
= КеЕк |
Уе электрон/(см3-сек-стер-эв), |
(2.94) |
|||||
где Ек—кинетическая |
|
энергия электрона. Перепишем это выраже |
||||||
ние так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ ( v ) = JdE £Р K( Е^к ) |
Ш |
( Е к |
v ) |
(2.95) |
|||
|
|
|
/IV |
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя по энергиям электронов, получаем: |
|
|||||||
/ ( |
V ) = |
^-.^П.тС^КеСАУе) |
|
|
(ПчГУе, |
(2.96) |
||
где |
|
3 |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
l n x + |
21 |
|
|
(2.97) |
|
|
|
.УР+ |
|
|
|||
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Численные значения |
коэффициента |
Сх |
(уе) |
приведены |
в табл. 10. |
Показатели степенных спектров фотонов а и нерелятивистских элект
ронов уе связаны соотношением |
|
а = уе. |
(2.98) |
Сечение тормозного излучения электронов с произвольной энер гией приведено в работе [107]. Обзор теории и сводку формул можно найти в статье [108].
Используя выражение для дифференциального сечения тормоз ного излучения ультрарелятивистских электронов по энергиям фо тонов
|
|
1 + |
1 |
V \ ' _ _ 2 / i _ _ V |
X |
|||
dEy |
Еу |
Ее) |
3 { |
Ев |
||||
|
|
|
||||||
X |
2 £ „ |
Е ы |
_V |
1 |
|
|
(2.99) |
|
r-2V |
еF. |
|
а = |
he ~~ 137 |
||||
|
тс* |
|
|
|
|
можно рассчитать светимость единицы объема, заполненного ультра релятивистскими электронами со степенным спектром (2.29):
/(£v) = iarl 2 2 n t |
E~(Ve~l) |
Ke |
[C2 (ye) In |
mc* |
-C8 (ve )J,(2.100) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.101) |
C2 (Ye ) = 2(2 Y 2 |
+ |
|
l ) / 3 Y e ( T f - l ) |
|
|||||
|
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
C , ( Y . ) = |
J |
f Уе- |
T - f |
1 2 |
— |
T - f l I n |
^ ^ |
-1)]- |
(2.102) |
|
х |
L |
x |
|
3xJ |
|
|
|
86
Т А Б Л И Ц А 10
Зависимость коэффициентов
Cl(Ve)> |
С2<Уе) |
" Сз(Уе) |
От |
|
|
показателя |
спектра |
уе |
|
Уе |
|
С,(ve) |
C2(Ve) |
c3 (ve ) |
2 |
|
0,27 |
1,00 |
0,78 |
2,5 |
|
0,20 |
0,58 |
—0,13 |
3 |
* |
0,15 |
0,53 |
—0,39 |
4 |
|
0,10 |
0,37 |
—0,50 |
|
Т А Б Л И Ц А |
11 |
||
Характеристики |
тормозного |
|||
излучения |
релятивистских |
|||
электронов |
|
|
||
|
Радиацион |
Критичес |
||
В е щ е с т в о |
ная |
д л и н а , |
кая |
э н е р |
|
е/смг |
г и я , |
Мэа |
|
Водород |
58 |
340 |
|
|
Гелий |
85 |
220 |
||
Железо |
24 |
24 |
||
Свинец |
|
5,8 |
6,9 |
|
Воздух |
37 |
83 |
Численные значения коэффициентов С3 (уе) и С3 (уе) также приве дены в табл. 10.
Подчеркнем, что тормозное излучение может быть поляризовано только в том случае, если угловое распределение электронов в излу чающей области анизотропно [109, ПО]. По-видимому, тормозное излучение пучков нетепловых электронов ответственно за генера цию поляризованного рентгеновского излучения солнечных вспышек 1111, 112].
Энергетические потери ультрарелятивистских электронов на тормозное излучение приблизительно пропорциональны энергии электрона:
dt |
> |
о |
> |
2£„ |
1 |
Ее- |
|
тс* |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
= 1,37 • Ю - 1 6 |
/г4 |
Z 2 |
£ е (In — + 0,2 эв/см3 |
(2.103) |
Здесь проявляется важное отличие от квадратического закона по терь энергии на магнитотормозное излучение и обратный комптонэффект [см. формулы (2.17) и (2.58)].
Соотношение (2.103) описывает энергетические потери электро нов в полностью ионизованном газе. В газе нейтральных атомов вы ражение для энергетических потерь несколько изменяется:
—dEe/dt = cEJX0. |
(2.104) |
Это небольшое изменение обусловлено влиянием экранирования по ля иона атомными электронами. Величина Х0 называется радиа ционной длиной и обычно измеряется в граммах на квадратный сан тиметр. Время пробега электрона в межзвездном газе с плотностью р
6,8.10 |
7 |
, 0 1 Г . С Ч |
|
лет. |
(2.105) |
р / 1 0 - 2 4 |
|
В табл. 11 приведены численные значения ионизационных длин для различных веществ. Там же приведены значения критических энер гий электрона Еек, при которых сравниваются величины энергети ческих потерь на тормозное излучение и ионизационных потерь {см. также § 3.3).
87