5. Механічні коливання і пружні хвилі

Аналітичний запис

Що означає

де – зміщення частинки, яка коливається, від положення рівноваги;– амплітуда коливань;– початкова фаза.

Диференціальне рівняння незгасаючих гармонічних коливань (рівняння гармонічного осцилятора) та його розв’язок. (– колова (циклічна) частота;– лінійна частота;– період коливань).

Експоненціальна форма запису гармонічних коливань. .– уявна одиниця,– циклічна частота коливань.

або

Диференціальне рівняння та період коливань пружинного маятника. (– маса пружинного маятника,– жорсткість пружини,– циклічна частота).

Диференціальне рівняння та період коливань математичного маятника (– довжина маятника;– прискорення вільного падіння).

Диференціальне рівняння та період коливань фізичного маятника. (– момент інерції маятника відносно осі коливань;

–відстань між точкою підвісу і центром мас маятника; – зведена довжина фізичного маятника;– прискорення вільного падіння).

Кінетична,

потенціальна

та повна енергія

гармонічного осцилятора.

Амплітуда А та початкова фаза результуючих коливань, які утворюються при додаванні двох гармонічних коливань однакового напрямку і однакової частоти.

.

Рівняння траєкторії точки, яка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях однакової частоти. (і– амплітуди коливань, що додаються;– різниця між фазами коливань).

або

де – зміщення тіла, що коливається, з положення рівноваги;– коефіцієнт опору середовища;– маса точки;

–коефіцієнт жорсткості пружини.

Диференціальне рівняння вільних згасаючих коливань та його розв’язок. (– власна частота коливальної системи;– коефіцієнт згасання;– частота згасаючих коливань;– амплітуда згасаючих коливань).

Визначення логарифмічного декремента згасання. (і– амплітуди двох послідовних коливань, які відповідають моментам часу, що відрізняються на період згасаючих коливань).

.

Визначення добротності коливальної системи.

Диференціальне рівняння вимушених механічних коливань та його розв’язок для усталених коливань.

–амплітуда вимушувальної сили; – амплітуда вимушених коливань;– зсув фаз між силою та зміщенням.

Резонансна частота і резонансна амплітуда.

, де

–зміщення точок пружного середовища з координатою у момент часу;

–амплітуда хвилі;

–циклічна (колова) частота;

–хвильове число.

Рівняння плоскої гармонічної хвилі, яка поширюється вздовж додатного напрямку осі .. Тут– довжина хвилі..– швидкість поширення коливань у середовищі (фазова швидкість),

–період коливань.

,

де – розмірна стала, що чисельно дорівнює амплітуді коливань на відстані 1 м від джерела хвилі.

Рівняння сферичної хвилі.

–зміщення точок середовища на відстані від центра хвилі у момент часу.

.

Рівняння циліндричної хвилі.

.

Хвильове рівняння. (– оператор Лапласа;– фазова швидкість).

.

Хвильове рівняння для плоскої хвилі, яка поширюється вздовж осі .

.

Фазова швидкість поздовжніх хвиль у суцільному пружному середовищі. – модуль Юнга.

.

Фазова швидкість поперечних хвиль у суцільному пружному середовищі. – модуль зсуву.

,

де – різниця ходу хвиль від їх джерела до точки спостереження.

–довжина хвилі;

Умови утворення максимумів і мінімумів при інтерференції гармонічних хвиль.

.

Рівняння стоячої гармонічної хвилі, що виникає у разі накладання двох плоских хвиль з однаковою амплітудою, які поширюються у протилежних напрямках вздовж осі .

Координати пучностей та вузлів стоячої хвилі. – довжина стоячої хвилі;