§. Признак Коши сходимости знакопостоянных рядов.

Не ограничивая общности, можно считать знакопостоянный ряд знакоположительным. Рассмотрим ряд .Последовательность для ряда называется последовательностью Коши.

Признак Коши: Для ряда если , то ряд сходится, а если , то ряд расходится. При q = 1 признак Коши на вопрос о сходимости не отвечает.

Предельная форма признака Коши: Если , то при ряд сходится, при ряд расходится, при ответа на вопрос о сходимости нет.

Δ. Пусть , тогда с некоторого номера  , ряд – сходится (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия), следовательно также сходится. Если же , тогда при достаточно больших n

и общий член ряда не стремится к нулю. Ряд расходится. ▲

§. Признак дАламбера и его предельная форма.

Последовательность для ряда называется последовательностью Даламбера.

Признак Даламбера: Если для ряда существует , то при ряд сходится, при ряд расходится, а при вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Предельная форма признака Даламбера: Если для ряда существует , то при ряд сходится, при ряд расходится, а при вопрос о сходимости ряда с помощью признака Даламбера не может быть решен..

Δ    . Последнее неравенство говорит о том, что исходный ряд мажорируется бесконечно убывающей геометрическойц прогрессией и, следовательно, сходится. Если  , и ряд расходится т. к. нестремится к нулю. ▲

§. Примеры

а). . ПризнакДаламбера. Ряд расходится.

б). Признак Даламбера. Ряд сходится.

в). Признак Коши.

=  

. Ряд сходится.

г). . Признак Коши. Ряд сходится.

д). Признак Даламбера.

е). . И признак Коши, и признак Даламбера ответа на вопрос о сходимости ряда ответа не дают. Нужны более сильные признаки. Расходимость этого (гармонического) ряда ранее была показана с помощью критерия Коши.

§. Признак РаАбе.

Последовательность для ряда называется последовательностью Раабе.

Признак Раабе: Если при достаточно больших n выполняется неравенство , то ряд сходится, а в случае ряд расходится.

Предельная форма признака Раабе: Если существует (конечный или нет), то при ряд сходится, а при расходится.

Δ Пусть  .

Выберем S, такое, что 1< S < r. Тогда т.к. , то 

и, следовательно, . Тогда : из признака Даламбера для сходящегося ряда (при S >1), следует, что . Значит и, по признаку Даламбера, ряд – сходится.

Если  и, так как ряд расходится, то и ряд расходится. ▲

• Для примера рассмотрим ряд: .

Для него: – ряд сходится.

§. Признак Куммера.

Признак Куммера – весьма общий признак. Это скорее не признак, а схема для получения различных, конкретных признаков. Пусть – произвольная последовательность положительных чисел таких, что - расходится. Последовательностью Куммера для ряда назовем последовательность .

Признак Куммера:

Если , то ряд сходится, а если , то ряд - расходится.

Предельная форма признака Куммера: Если , то приряд сходится, а при ряд расходится.

Δ. Пусть   .

Значит последовательность монотонно убывает и ограничена т. е. имеет предел. Тогда ряд сходится, т. к. его частная сумма: имеет предел.

Но из неравенства следует, что ряд сходится. ▲

Теперь: а). Положим . Тогда:  Для сходимости ряда необходимо, чтобы . Получен признак Даламбера.

б). Положим . Тогда  Для сходимости ряда необходимо, чтобы . Получен признак Раабе.

в). Положим . Тогда: = = . Здесь – последовательность Бертрана, и мы получаем

Признак Бертрана : Если (конечный или нет) и , то при b >1 ряд сходится, а при b <1 ряд расходится.

Из признаков Даламбера, Раабе, Бертрана следует признак Гаусса:

Если для ряда верно, что , где λ, μ – постоянные, а – ограниченная величина, то тогда: ряд сходится если λ > 1 или λ = 1, μ > 1,

ряд расходится если λ < 1 или λ=1 μ1.