- •Раздел 2. Применение определенного интеграла в геометрических и физических задачах.
- •§. Вычисление площадей плоских фигур.
- •§. Вычисление длин дуг плоских кривых.
- •1). .
- •§. Криволинейные интегралы I-го рода.
- •Вычисление объёмов.
- •§. Вычисление моментов и координат центра масс.
- •§. Теоремы Гульдина.
- •Раздел 3. Несобственные интегралы. §. ОпределениЯ
- •§. Основные свойства несобственного интеграла.
- •§. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла.
- •§. Абсолютная сходимость.
- •§. ПризнакИ сравнения сходимости интегралов от знакопостоянных функций. Мажорантный признак.
- •§. Условная сходимость.
- •§. ПризнакИ Абеля и Дирихле (для функций вида ).
- •§. Поведение функции, стоящей под знаком сходящегося интеграла, на бесконечности.
- •§. Интегралы Фрулани.
- •§. Главное значение интеграла по Коши.
- •Раздел 4. Численное интегрирование §. Формулы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона)
- •§. Остаточный член формулы прямоугольников.
- •§. Остаточные члены формул трапеций и парабол.
- •§. Пример применения.
- •Раздел 5. Ряды. §. Определения.
- •§. Критерий Коши сходимости ряда.
- •§. Абсолютная сходимость.
- •§. Признаки сходимости знакопостоянных рядов.
- •§. Интегральный признак Коши – Маклорена.
- •§. Признак Коши сходимости знакопостоянных рядов.
- •§. Признак дАламбера и его предельная форма.
- •§. Примеры
- •§. Признак РаАбе.
- •§. Признак Куммера.
- •§. Признаки сходимости знакопеременных рядов. А). Признак Лейбница для знакопеременных рядов.
- •Б). Признаки Абеля и Дирихле.
- •§. Несколько замечаний о перестановочности членов сходящихся – расходящихся рядов.
- •§. Функциональные ряды.
Вычисление объёмов.
На рисунках проиллюстрированы формулы
б) для нахождения объёма тела с известной площадью поперечного сечения: ;
а) для нахождения объема тела, полученного вращением плоской кривой вокруг оси:;
в) для нахождения площади поверхности тела, полученного вращением плоской кривой вокруг оси:.
§. Вычисление моментов и координат центра масс.
Вспомним что, статический момент конечной системы материальных точек с массами и радиус-вектораминаходится по формуле:. Радиус-вектор центра масс будет равен
, где .
Тогда, если (x, y, z) – декартовы координаты , а - статические моменты системы материальных точек относительно координатных плоскостейсоответственно, то,,.
А для координат центра масс имеем : ;;.
Для точек лежащих в одной плоскости с декартовыми координатами (x, y), если обозначить статические моменты относительно осейOx и Oy получим формулы:
; .
И для центра масс, соответственно: ;.
Для системы точек, лежащих в плоскости можно говорить и о моментах kго порядка
, .
При этом ясно, что масса системы точек это момент нулевого порядка, а статические моменты это моменты первого порядка. Моменты второго порядка называются моментами инерции.
Момент инерции системы материальных точек относительно некоторой оси определяется равенством: , где– расстояния от точек системы до соответствующих осей.
При применении определенного интеграла к вычислению моментов тела разбиваются на тонкие слои из точек «равноудаленных» от соответствующих плоскостей (или осей), и каждый такой слой рассматривается как единое целое и…
Примеры:
1 .Найти статический момент эллипса относительно касательной к эллипсу в его «вершине», если эллипс однороден (плотностью ). Уравнение эллипса:(рис. б)
Разрежем эллипс на элементарные полоски параллельные оси ординат. Т.к. полоски достаточно узкие, можно считать, что все точки элементарной полоски находятся на одинаковом расстоянии от оси ординат. Площадь элементарной полоски, в таком предположении, равна. Умножая площадь на плотность, получим массу элементарной полоски; Расстояние от элементарной полости до осиOy: .
Тогда для статического момента эллиптической пластинки относительно прямой, проходящей через его вершину, параллельно одной из осей (в нашем случае – оси ординат) получаем:
.
Примечание: плотность может даже зависеть от х : ρ=ρ(х), но не от y.
2.Найти момент инерции однородного цилиндра относительно его оси (рис. а).
Разобьём цилиндр на отдельные тонкостенные цилиндры. Объём и масса такого тонкостенного цилиндра (кстати, ρ – может зависеть от расстояния до оси) и соответственно момент инерции.
3.Найти момент инерции однородного витка винтовой линии относительно его оси (рис. в).
Уравнение винтовой линии: . Если взять элементарный отрезок винтовой линии, то его длина равна, масса, соответственнои, учитывая, что расстояние до оси равно, получим формулу для момента инерции:=
= ==.