§. ПризнакИ сравнения сходимости интегралов от знакопостоянных функций. Мажорантный признак.

а). Мажорантный признак.

Пусть . Тогда:

*. Если сходится интеграл , то сходится и интеграл;

*. Если расходится интеграл , то расходится и интеграл.

 Пусть . Тогда(из свойств определенного интеграла). Перейдем к точной верхней границе дляв правой и левой части неравенства

. ▲

б). Асимптотическая форма мажорантного признака. Если из двух неотрицательных функций собственно интегрируемым по всем замкнутым промежуткам и одна ограничивает другую в окрестности особой точки:при, то

*. Если сходится, то исходится

*. Если расходится , то ирасходится.

 Пусть в окрестности точки выполнено. Тогдаиограничена при. Значит. Значит

сходится  также сходится. ▲

в). Предельная форма мажорантного признака.

Если отношение двух неотрицательных функций, собственно интегрируемых на любом замкнутом промежутке , имеет конечный предел в особой точке, то два интеграла сходятся или расходятся одновременно.

Т.е. если , то из сходимости сходимость , и из расходимости расходимость . Если же, то

сходимость  сходимости .

г). Асимптотический признак одновременной сходимости – расходимости несобственных интегралов.

и с – одного порядка при. Тогда интегралыисходятся или расходятся одновременно.

 с – одного порядка при . ▲

д). Предельная форма признака одновременной сходимости – расходимости интегралов.

Если и, тогдаисходятся или расходятся одновременно.

Примеры.

1. .При . Интеграл от мажорирующей функции сходится, следовательно исходный интеграл также сходится.

2. , а такой интеграл на расходится.

3. .Вывод исходный интеграл сходится при и расходится при .

4. .Вывод исходный интеграл сходится при и расходится при .

5. .Особая точка . Прии, следовательно, исходный интеграл сходится (см.3).

§. Условная сходимость.

Def: Если – сходится, но - расходится, то называется сходящимся условно.

Пример. Условно сходящиеся интегралы существуют. Рассмотрим . Особая точка у этого интеграла только. Точкаособой точкой не является, т.к. подынтегральная функция в окрестности этой точки ограничена.

*. При после интегрирование по частям, получаем .

Интеграл, стоящий справа сходится, даже абсолютно т.к.. Однако не забывая о том, что абсолютная сходимость не инвариантна относительно интегрирования по частям, можем утверждать только, что исходный интеграл сходится.

*. Исследуем интеграл нана абсолютную сходимость.

. Первый из интегралов в правой части неравенства расходится, а второй сходится. Из этого можно заключить, что исходный интеграл является сходящимся но, при этом, не сходится абсолютно. Следовательно, интеграл является условно сходящимся интегралом.

§. ПризнакИ Абеля и Дирихле (для функций вида ).

Т. Интеграл от произведения двух функций сходится, в общем случае, условно, если:

*. Абель: ,монотонна и ограничена на;

*. Дирихле: Для функции т.е. интегралы отпо всем промежуткам, вложенным вограничены в совокупности (т.е.имеет ограниченную первообразную) имонотонно стремится к 0 при.

 Т.к. функция монотонна то

= .

Абель: Т.к. то .

И, следовательно, для выполнен критерий Коши. Интеграл сходится.

Дирихле: ипри. Следовательно

. Интеграл сходится. ▲

Пример:

Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл: .

Особые точки: и.

1) Функция знакопостоянна иа интеграл от этой функции сходится прии расходится при.

2) Функциямонотонно убывает и стремится к нулю, а функцияимеет интегралы, ограниченные нав совокупности.

Т.е. при интеграл сходится по Дирихле, вообще говоря, условно.

3) интеграл расходится.

4) А абсолютная сходимость?

. При интеграл сходится абсолютно.