Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
2MA_Lekc_5.doc
Скачиваний:
12
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
2 Mб
Скачать

Раздел 10. Кратные интегралы. §. Начальные понятия и определения

Def.Пусть , , .

Множество называется замкнутым промежутком или замкнутым брусом в.

Множество называется открытым промежутком

или открытым брусом в .

Def.Мерой промежуткови называется величина:

( Точнее ).

Def.Еслитакое, чтото промежутокназывается вырожденным и.

Свойства меры промежутка:

а). Положительность: , причемтогда и только тогда, когда – вырожден.

б). Положительная однородность: .

в). Аддитивность:

* для таких, что;

* для и.

г). Монотонность меры: .

Def.Диаметром бруса (промежутка) называется величина:

Отметим, что и– это не одно и тоже. Например, если – вырожден, то,a(вообще говоря).

При этом: * ;

* ;* .

Def.Совокупностьподпромежутков промежутканазывается разбиением промежутка, если: *;

* ; *; *; *.

Величина называется параметром разбиенияP(при этом).

Def.Разбиениеназывается измельчением разбиения, если все элементы разбиенияполучены разбиением элементов разбиения.

Обозначается: . Читается:мельчеиликрупнее.

Для отношения “ крупнее – мельче” справедливо:

*. транзитивность – ; *.;

*. ; *.|.

§. Определение кратного интеграла

Пусть – брус (промежуток) в,– разбиение промежуткаI. На каждом из промежутков разбиенияотметим точку.

Получим разбиение с отмеченными точками для .

Величина называется интегральной суммой Римана для функцииf (x) на промежуткеI по разбиению с отмеченными точками.

Def:==.

Обозначая – множество функций интегрируемых на брусеI запишем:

Def: ε > 0δ>0<.

Если для функции f(x) наIи разбиения– обозначить через – наибольшее и наименьшее значение функцииf(x) наIk то величины=и=называются нижней и верхней суммами Дарбу.

§. Критерий Дарбу существования кратного интеграла.

Т0. Чтобы функциябыла интегрируема на брусе(т.е.) необходимо и достаточно, чтобы . Δ▲.

Определено интегрирование функции по брусу в евклидовом пространстве. А как функцию проинтегрировать по произвольному ограниченному множеству из евклидового пространства?

Определим интеграл от функции f по множеству .

Def:Пустьи– ограничено, т.е.. Функцию назовём характеристической функцией множестваM.

Тогда: .

Определение интеграла по множеству не зависит от того, какой брус, содержащий Мвыбран, т.е. .

Это обозначает, что определение интеграла по множеству корректно.

Необходимое условие интегрируемости. Чтобы функцияf(x) наМбыла интегрируемой необходимо, чтобыf(x) была ограниченной наМ. Δ▲.

§. Свойства кратных интегралов.

1.Линейность: МножествоRMфункций интегрируемых на множествеМ –линейное

пространство, а – линейный функционал.

.

2.Условие нормировки:. Другая форма записипо сути дела определяет меру произвольного множества из евклидового пространства.

3.Если интеграл по множеству Лебеговой меры ноль существует, то он

равен нулю.

Примечание:МножествоМназывается множеством Лебеговой меры ноль,

если такие, чтои.

4.а.;б. ;

в.еслии– отделена от нуля наМ, то

5. иf=gп.в. (почти всюду) наМ, то.

6.Аддитивность: Еслиито

,

В общем случае: .

Δ. Следует из равенства:

7.Монотонность:ито.

8.Интегрирование неравенств: если ито

.

9.Пусть. Для того чтобы, необходимо и достаточно чтобы существовала внутренняя точка множестваМ, в которойf (x) > 0 и непрерывна.

10.Интегрируемость модуля интегрируемой функции:.

11.Теорема о среднем:,наМсохраняет знак и, то

.

Если множество М– связно иf(x) – непрерывна натотакое, что.

12.Для того чтобы интеграл от неотрицательной функции был равен 0

необходимо и достаточно, чтобы f(x) = 0 почти всюду наМ.

13.Теорема Фубини.Для двойного интеграла:

Пусть область – прямоугольник:. Тогда, при условии существования внутренних однократных интегралов, для нахождения двойного интеграла можно перейти к повторному интегрированию (см. рис. а):

, или

.

Е

сли область интегрирования не прямоугольник, теорема Фубини все равно справедлива и имеет вид (см. рис. б): . (*)

Примечание: Внешние пределы интегрирования должны быть константами, внутренние пределы интегрирования могут зависеть от переменной, по которой интегрирование ещё предстоит.

Формула (*) может быть получена с использованием характеристической функции множества D.

Для многократного интеграла:

Пусть инекоторые подмножества евклидовых пространстви. Определим декартово произведение этих множеств, являющееся подмножеством евклидового пространства:.

Тогда теорема Фубини для имеет вид: .

Теорема справедлива и для брусов XиY, и для более сложных конфигураций.

Примеры:

10.Вычислить , если граница областизадана уравнениями:

. Находя точки пересечения кривых определяющих границу области, получаем две точки : и. Тогда возможная расстановка пределов интегрирования при переходе к повторным интегралам дает:

а). ;

б). .

2

0. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:.

.

Рецепт:При расстановке пределов интегрирования в двойном интеграле рекомендуется начинать с внешних пределов интегрирования .

3

0.Вычислить:, если

Переход к повторным интегралам даёт: .

При этом, в тройном интеграле расстановку пределов надо начинать с внутренних пределов интегрирования. Затем спроецировать область Vна плоскостьxOy

расставив пределы в области D– лежащей в плоскостиxOy.

40.Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:.

а). ;

б). .

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]