§. Замена переменных в кратных интегралах.
10.
В одинарном интеграле:
.
20. В двойном интеграле:
.
30.
В тройном интеграле:
=
=
.
40.
В кратном интеграле: если
,
,
и
,
то
.
Примеры:
10.Вычислить двойной интеграл:
.
Область интегрирования – круг единичного радиуса с центром в начале координат.
a).В декартовой системе координат:
.
Недостатки: пределы интегрирования не красивые и, кроме того, интеграл не выражается через элементарные функции.
б).В полярной системе координат:
.
При
переходе в полярную систему координат
не только получился повторный интеграл
с удобными пределами интегрирования,
но, с учетом того, что внутренний интеграл
не зависит от
получилось даже произведение двух
интегралов Римана.
20.Вычислить
,
если областьD–
замкнутая часть плоскости ограниченная
кривыми: {y= 2x;y= 4x;xy= 1;xy= 3}.
a
расставлять очень не удобно. Поэтому сделаем по другому.
б).
Сделаем замену переменных: u=xy,v=
; 1 ≤u ≤ 3, 2 ≤v≤ 4.
Для
выполнения замены переменных необходимо
найти якобиан
.
Однако находить его неудобно. Поэтому
воспользуемся соотношением:
.
Тогда
.
Якобиан положителен, следовательно,
ориентация двух систем координат
совпадает. И далее:
=…
30.Вычислить интеграл
.
I=
.
Для нахождения полученного двойного
интеграла перейдем в полярную систему
координат.
=
.
Тогда:
.
Пример показывает что не только двойной
интеграл вычисляется с помощью перехода
к повторным, но и наоборот.
§. Криволинейные интегралы 1го рода.
Def
:Если вЕ3задана
вектор-функция
,
и при этомx(t),y(t),z(t)
C[a,b],C1[a,b], то говорят, что вЕ3задана
гладкая криваяL.
Пусть на кривой Lзадана скалярная функцияf(x,y,z).
З
t1,t2
такие, что
x(t1)
= x(t2),
y(t1)
= y(t2),
z(t1)
= z(t2),
то криваяLимеет
самопересечение, но, при этомf
(x(t1),
y(t1),
z(t1))
не обязательно
совпадает с
f (x(t2),
y(t2),
z(t2)),
поэтому, записываяf(x,y,z)
мы будем иметь в видуf
(x(t),
y(t),
z(t)).
Рассмотрим промежуток [a,b] изменения параметраt , и на [a,b] зададим разбиениеPс отмеченными точками ξ, т.е. зададим (P,ξ).
Разбиение (Р,ξ) отрезка [a,b] индуцирует разбиение кривойLс отмеченными точками.
Рассмотрим:
,
где
– длина хорды, соединяющей концы
соответствующего участка кривой. Если
такой предел существует и конечен, то
он называется криволинейным интегралом
1города , и обозначается
.
Физический смысл криволинейного интеграла 1города – масса кривойLс линейной плотностью массf(x,y,z).
Для
нахождения элемента длины дуги
будут полезны следующие формулы:
10.Для плоской кривой, заданной в декартовых координатах:
dl=
(по теореме Пифагора, см. рис. а).
В частных случаях различных способов задания кривой L получаем:
1а.
Еслиy
= y(x),
то dl
=
;
1б.
Если x
= x(y),
то dl
=
;
1в.
Если x
= x(t),
y = y(t),
то dl =
;
20. Для плоской кривой, заданной в полярных координатах x = ρcosφ, y = ρsinφ:
dl
=
.
Формула эта может быть получена и
непосредственно из криволинейного
треугольника (см. рис. б).
2а.
Если
,
то dl
=
;
2б.
Если
,
то dl
=
;
2в.
Если
,
то dl =
;
30.Для пространственной кривой, заданной в декартовых координатах:
dl=
.
3а.
Если
,
то dl =
;
40.
Еслиf(x,y,z)
= 1 то криволинейный интеграл 1города численно равен длине кривой
и кривая называется спрямляемой.
50. Криволинейный интеграл
1города может быть сведен к
обычному интегралу Римана. Пусть
.
Тогда
.
При этом
.
Формула следует из определения.
40.Криволинейный интеграл 1города не зависит от направления интегрирования:
.
Примеры:
10.
Вычислить:
J=
,
где кривая L:
.
Параметрическое
уравнение эллипса:
dl
=
.
Эллипс пробегается против часовой стрелки, хотя это указывать не обязательно.
И тогда:
J
=
=
=
=
.
20.
Найти массу кривойL
: y = ln
xдля
,
если ρ =x2 линейная
плотность кривой .
M
=
=
=
=
.
30.
Найти силу притяжения точкиАмассыm однородной
полуокружностью радиусаR
с центром в точкеА. (
).
,
который из соображений симметрии
направлен вверх. НайдемFy(т.к.Fx= 0).
dFy
=
,гдеG– гравитационная
постоянная,dl=Rdφ; Следовательно:Fy
=
.