Если u(X, y, z) такая, что,

то ,;

 ;  ^.

Замечание 3.В случае независимости криволинейного интеграла от пути

интегрирования, U(x,y,z) такая что:

.

Физики называют функциюU(x,y,z) потенциалом векторного поля, а полеF– потенциальным – “ Работа равна разности потенциалов”.

Математикиназывают функциюU(x,y,z) первообразной дляPdx+Qdy+Rdz –

интеграл равен разности первообразных в конце и начале пути.

Примеры:

1⁰. Вычислитьдля различных контуров γ.

а). Пусть контур γ ограничивающий область Gтаков, чтоне содержит т. (0,0). Для вычисления интеграла воспользуемся формулой Грина.

где,

, ,,.

б). Пусть контур γ⁺окружает точку (0,0). В этом случае нельзя применить формулу Грина ибоив точке (0,0) не существуют.

Отметим, что все интегралы по таким контурам совпадают между собой.

И

ллюстрация :

.

в). Тогда достаточно вычислить скажем, по окружности. .

г). Легко видеть, что .

Следовательно, , если контур не проходит через точку (0,0) т.к. начальная и конечная точки замкнутого контура совпадают.

2⁰. Найти первообразную, если:

.

Проверка показывает, что условия ; ; выполняются.

Таким образом, задача о нахождении первообразной поставлена корректно. Тогда,

1). и интегрирование подает:.

Отсюда . Ноиз условия задачи.

2). Тогда .

Интегрирование по дает.

Значит: .

Отсюда . Но из условия задачи.

3) Тогда .

Итог:. Первообразная найдена с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Большего и желать не приходится.

§. Элементы теории поверхностей.

1⁰.Пусть в областиGЕ₃ задана функцияF(x,y,z) = 0 и.

Тогда выполняются условия теоремы о неявных функциях и говорят, что в области

Gнеявно задана поверхностьz=z(x,y).

2⁰.Если нам удается разрешить уравнениеF(x,y,z) = 0 относительноz, то

получаем поверхность, заданную явно: z=z(x,y).

3

⁰.Если и, то говорят, что взадана гладкая поверхностьS, а– называют носителем этой поверхности.

При этом, если итакие, что

,

то поверхность называется поверхностью с самопересечениями, в противном случае – поверхность называется простой.

Проведя в области Dкоординатные линиимы, тем самым, индуцируем на поверхностиSлинии:и, которые называются координатными линиями поверхности.

Векторы: иявляются векторами, касательными к координатным

линиям. Из соображений простоты штрих в дальнейшем не будем писать т.е. будем писать:

, .

Рассмотрев в точке векторы и , можно найти векторперпендикулярный поверхности:

,

Если ввести обозначения ,,, то единичный вектор нормали можно записать так:

.

Можно построить и еще один вектор нормали .

Величины являются направляющими косинусами нормали и поверхности.

В точке (x₀,y₀,z₀) : – уравнение прямой, перпендикулярной к поверхности, а– уравнение плоскости касательной к поверхности .

Def.Если на поверхностиSсуществует непрерывный замкнутый контур γ

такой, что при движении по этому контуру (с непрерывным изменением нормали) мы возвращаемся в исходную точку с нормалью имеющей противоположное исходному направлению, то поверхность называется односторонней.

Пример:Лист Мебиуса.

Def.Если для того , чтобы вернуться в исходную точку с направлением

нормали, противоположным исходному, необходимо пересечь край

поверхности, то поверхность называется двухсторонней.

*

).Краем поверхности называется образ границыDв представлении.

Выбрав на двусторонней поверхности контур γ, зададим на нем ориентацию, указав направление его обхода.

Теперь сориентируем поверхность выбрав на ней направление нормали так, чтобы , если смотреть с конца вектора, движение по контуру γ было против часовой стрелки. Ясно, что такая договоренность означает, что ориентация контура автоматически задает ориентацию (сторону) поверхности и наоборот.