Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
2MA_Lekc_2.doc
Скачиваний:
198
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
1.88 Mб
Скачать

§. Теоремы Гульдина.

Т. (Первая теорема Гульдина). Площадь поверхности, которую описывает кусочно-гладкая плоская кривая, вращаясь вокруг оси лежащей в той же плоскости (причем кривая не пересекает ось вращения) равна длине кривой умноженной на длину окружности, которую описывает геометрический центр масс кривой.

(рис. а) – масса кривой численно совпадает с длиной кривой при плотности, статический момент кривой равен, ордината геометрического центра масс находится по формуле. Так как кривая лежит по одну сторону от оси вращения, её ординаты все одного знака, тот же знак имеетМ, то есть и, следовательно,, что и тр. док. ▲

Т. (Вторая теорема Гульдина). Объём тела, описанного плоской фигурой с кусочно-гладкой границей при вращении вокруг оси, которая лежит в одной плоскости с фигурой, по одну сторону от неё равен площади фигуры умноженной на длину окружности, которую описывает геометрический центр масс фигуры.

 (рис. б). Масса численно совпадает с площадью – , статический момент относительно оси ординат равен. Здесь– ордината геометрического центра масс элементарной полоски, которая имеет ширинуи площадь. Тогда ордината центра масс равна. Поскольку ординаты всех точек фигуры положительны и положительны соответствующие моменты, получаем:

. ▲

Пример применения теорем Гульдина:

Рассмотрим тор, т.е. тело, полученное вращением круга вокруг прямой, лежащей в той же плоскости, что и круг. Причем прямая не имеет с кругом общих точек и находится на расстоянии а от центра круга радиуса ,. Тогда применяя первую и вторую теоремы Гульдина, получаем:и.

Можно рассмотреть объём и площадь поверхности обобщенного тора, т.е. тела полученного вращением не окружности а, например, ромба или квадрата или каких либо других фигур.

Раздел 3. Несобственные интегралы. §. ОпределениЯ

В предыдущих разделах введено понятие определенного интеграла от ограниченной функции по ограниченному промежутку. В настоящем разделе обобщается понятие определенного интеграла на случаи, когда

*. если функция неограниченна на промежутке

*. если промежуток интегрирования – неограничен;

А. 1). Пусть функция определена в промежуткеи интегрируема в любой конечной его части, так что интегралимеет смысл при любом.

.

Def Конечный или бесконечный предел называется несобственным интегралом от функции на промежутке, и обозначается.

Аналогично определяется и несобственный интеграл .

2). Def Пусть задан конечный промежуток и функциянеограниченна в окрестности точкипромежутка интегрирования ( в частности, еслипри). Конечный или бесконечный предел называется несобственным интегралом от неограниченной функции по промежутку и обозначается.

Аналогично определяется и несобственный интеграл .

Если рассмотренные пределы существуют, то говорят, что интегрируема в несобственном смысле, соответствующий интеграл называется несобственным и говорят, что он сходится к соответствующему пределу. Если предела не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Б. Понятие несобственного интеграла может быть расширено и на случай, когда функция неограниченна в окрестности точекпромежутка интегрирования и, кроме того, промежуток интегрирования неограничен. Как определить такой несобственный интеграл, для простоты, покажем на конкретном примере:

.

Все интегралы в правой части являются несобственными в смысле данных выше определений. Если все эти интегралы сходятся (и только в этом случае), то несобственный интеграл в левой части называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

В. Если функция интегрируема в собственном смысле по замкнутому промежутку, то определенный интеграл по замкнутому промежутку и несобственный интеграл по полуоткрытому промежутку совпадает.

и , причем в последнем равенстве в левой части стоит несобственный интеграл, а в правой части – интеграл Римана. В дальнейшем такое замечание, для сходящихся несобственных интегралов, становится излишним именно в связи с данным утверждением.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]