§. Функциональные ряды.

Ряд , у которого слагаемыми являются функции, называется функциональным рядом. Областью определения функционального ряда является пересечение областей определения отдельных его слагаемых.

Для функциональных рядов рассматривается поточечная сходимость (т.е. ряд называется сходящимся в точке , если при подстановке вместо x получается сходящийся числовой ряд) . Множество x, для которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

Рассмотрим степенной ряд .

Исследуем абсолютную сходимость ряда с помощью признака Коши:

Для сходимости необходимо, чтобы , т.е. степенной ряд сходится абсолютно в круге радиуса . R – называется радиусом сходимости степенного ряда. Этот круг называется кругом сходимости степенного ряда. На границе круга сходимости ряд может, как сходиться, так и расходиться. Абель установил, что на границе круга сходимости (в комплексной плоскости) существует, по крайней мере одна точка, в которой ряд сходится абсолютно.