- •Раздел 2. Применение определенного интеграла в геометрических и физических задачах.
- •§. Вычисление площадей плоских фигур.
- •§. Вычисление длин дуг плоских кривых.
- •1). .
- •§. Криволинейные интегралы I-го рода.
- •Вычисление объёмов.
- •§. Вычисление моментов и координат центра масс.
- •§. Теоремы Гульдина.
- •Раздел 3. Несобственные интегралы. §. ОпределениЯ
- •§. Основные свойства несобственного интеграла.
- •§. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла.
- •§. Абсолютная сходимость.
- •§. ПризнакИ сравнения сходимости интегралов от знакопостоянных функций. Мажорантный признак.
- •§. Условная сходимость.
- •§. ПризнакИ Абеля и Дирихле (для функций вида ).
- •§. Поведение функции, стоящей под знаком сходящегося интеграла, на бесконечности.
- •§. Интегралы Фрулани.
- •§. Главное значение интеграла по Коши.
- •Раздел 4. Численное интегрирование §. Формулы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона)
- •§. Остаточный член формулы прямоугольников.
- •§. Остаточные члены формул трапеций и парабол.
- •§. Пример применения.
- •Раздел 5. Ряды. §. Определения.
- •§. Критерий Коши сходимости ряда.
- •§. Абсолютная сходимость.
- •§. Признаки сходимости знакопостоянных рядов.
- •§. Интегральный признак Коши – Маклорена.
- •§. Признак Коши сходимости знакопостоянных рядов.
- •§. Признак дАламбера и его предельная форма.
- •§. Примеры
- •§. Признак РаАбе.
- •§. Признак Куммера.
- •§. Признаки сходимости знакопеременных рядов. А). Признак Лейбница для знакопеременных рядов.
- •Б). Признаки Абеля и Дирихле.
- •§. Несколько замечаний о перестановочности членов сходящихся – расходящихся рядов.
- •§. Функциональные ряды.
§. Основные свойства несобственного интеграла.
А. Множество функций, интегрируемых на промежутке в несобственном смысле, образуют линейное пространство со стандартно введенными операциями сложения функций и умножения функции на число, а несобственный интеграл по этому промежутку является линейным функционалом на указанном линейном пространстве. Это значит, что
1).
2). , где значокозначает если интегралы стоящие в правой части существуют (сходятся) и конечны, то интеграл стоящий в левой части существует, конечен и равен указанной в левой части линейной комбинации.
Б. Монотонность. Несобственный интеграл есть монотонный функционал на ;
Т. Несобственный интеграл от неотрицательной функции неотрицателен, т.е.
.
. ▲
Отсюда следует собственно монотонность несобственного интеграла
.
В. Интегрируемость по подпромежутку. .
Г. Аддитивность. .
Д. Формула Ньютона–Лейбница. Рассмотрим функцию . Тогда
1) F – непрерывна на .2) F – дифференцируема п. в. на .
3) , исключая не более чем счетное множество точек.
Тогда для несобственного интеграла справедлива формула, аналогичная формуле Ньютона–Лейбница для определенного интеграла .
Е. Формула интегрирования по частям. Пусть дифференцируемы на, причем, хотя бы одна из них непрерывно дифференцируема, то:.
Ж. Замена переменной в несобственном интеграле. Если функция непрерывно дифференцируема и строго монотонна, то
.
З. Необходимое, но недостаточное условие сходимости несобственного интеграла.
Для сходимости интеграла необходимо, чтобы интегралы по всем конечным подпромежуткам промежутка интегрирования существовали и были конечны. Однако выполнение такого условия недостаточно для сходимости интеграла. Если ввести в рассмотрение функцию , то сходимость интеграла означает.
Пример. существует для любого конечного промежутка, но=
= ==. Однако последний предел не существует и, следовательно,.
И. Несобственно интегрируемая функция должна быть непрерывна п. в. на .
Если , то она непрерывна напочти всюду.
К. Если п.в. наисуществует, то он равен нулю.
§. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла.
Рассмотрим несобственный интеграл с одной особой точкой ω на конце промежутка интегрирования. Интеграл сходится, тогда и только тогда, когда
.
Это, собственно говоря, критерий Коши для того, чтобы существовал предел . ▲
§. Абсолютная сходимость.
Def: Несобственный интеграл называется сходящимся абсолютно, если сходится интеграл от модуля подынтегральной функции.
Т0. Абсолютно сходящийся интеграл сходится.
Пусть интеграл сходится (по критерию Коши)
, но и,
следовательно, . ▲
Т0. Для интегралов от неотрицательных функций сходимость эквивалентна ограниченности в совокупности интегралов по всем замкнутым промежуткам и, при этом, если
.
Пусть . Кроме того, функцияне убывает
. Поэтому . ▲
Т0. Замена переменной со строго монотонной функцией. Если строго монотонная функция, то заменасохраняет абсолютную сходимость интеграла.
. Если функция не убывающая, тои, следовательно,
.
Крайние члены этой цепочки одновременно сходятся или расходятся. ▲
Замечание:Интегрирование по частям в общем случае не сохраняет абсолютную сходимость.
Пример: Рассмотрим . При этом, интеграл справа сходится абсолютно, а интеграл слева не сходится абсолютно. Мы это установим несколько позже.