§. Признаки сходимости знакопеременных рядов. А). Признак Лейбница для знакопеременных рядов.

Рассмотрим ряд: , . Если для указанного знакочередующегося ряда и монотонно, то ряд сходится, вообще говоря, условно.

Δ Для ряда рассмотрим четные частные суммы ряда: . Если сгруппировать отдельные слагаемые по два начиная с первого, то получим , а при группировке отдельных слагаемых по два начиная со второго, получим . Таким образом последовательность четных частных сумм возрастающая и ограничена сверху. Тогда .

Рассмотрим нечетные частные суммы того же ряда и, переходя к пределу при , получим, чтои, следовательно, т. е. ряд сходится. ▲

Пример: сходится по Лейбницу, а – расходится, ибо это гармонический ряд. Следовательно, исходный ряд сходится условно .

Б). Признаки Абеля и Дирихле.

Изучается сходимость рядов вида . Обозначая =, проделаем следующее преобразование, которое принято называть преобразованием Лапласа.

= = =

= = .

Проделав такое преобразование, запишем:

(*)

Признаки Абеля и Дирихле сходимости рядов вида :

Пусть:

Абеля: Последовательность {b_n} монотонна и ограничена, а ряд сходится.

Дирихле: Последовательность {b_n} монотонно стремится к нулю, а частные суммы ряда ограничены в совокупность.

Тогда: ряд сходится, вообще говоря, условно.

Δ. +

+ . Внизу, на месте индексов, в выражениях написаны оценки, следующие из условий признака Дирихле. Ряд сходится. Признак Дирихле доказан.

Запишем ряд в виде , где , т.к. – монотонна и ограничена, из условий признака Абеля. Тогда сходится по условию, а сходится по Дирихле. Ряд сходится. Признак Абеля доказан. ▲

Интересная особенность Признак Дирихле доказан с помощью преобразования Абеля, а признак Абеля доказан с помощью признака Дирихле.

Пример: а). Исследовать ряд на сходимость: .

Последовательность и монотонна. = =

= = =

= . Тогда , т.е. частные суммы ряда ограничены. Ряд сходится по Дирихле, вообще говоря, условно.

Самое время поставить вопрос о абсолютной сходимости ряда.

Рассмотрим .

Первый из полученных рядов расходится по мажорантному признаку, т.к. . Второй из полученных рядов сходится по Дирихле (аналогично исходному ряду). Таким образом, ряд – расходится. Исходный ряд не сходится абсолютно, но сходится. Следовательно, ряд условно.

б). Исследовать на сходимость ряд .

Прежде всего, обратим внимание на следующее ошибочное рассуждение: Т.к. при , то. По асимптотическому признаку одновременной сходимости – расходимости рядов, ряды с эквивалентными членами сходятся или расходятся одновременно. В предыдущем примере показана сходимость ряда . Следовательно, сходится и ряд . Ошибочность этого рассуждения заключается в том, что асимптотический признак одновременной сходимости –

расходимости рядов применим только к знакопостоянным рядам, а исходный ряд таковым не является.

И, тем не менее, исходный ряд сходится, что легко установить. Ряд сходится, как было установлено в предыдущем примере. А последовательность ограничена и монотонно стремится к единице. Ряд сходится по признаку Абеля.

§. Несколько замечаний о перестановочности членов сходящихся – расходящихся рядов.

1. Если ряд сходится абсолютно, то сходится абсолютно и ряд, полученный любой перестановкой членов исходного ряда.

Т°. Пусть дан ряд (1) с неотрицательными членами, а ряд (2) получается из него перестановкой его членов. Тогда, если ряд (1) сходится, то ряд (2) также сходится и имеет ту же сумму.

∆ Пусть ряд (1) сходится и его сумма равна S. Рассмотрим частичную умму ряда (2) . Каждое из слагаемых этой суммы входит в ряд (1). Возьмем в ряде (1) столь большое числоm первых членов, чтобы среди них оказались все слагаемые из , и составим из нихm-ю частичную сумму ряда (1): . Так как все слагаемыевходят в, а остальные слагаемые(если такие есть) неотрицательны, то. Но частичные суммы ряда (1), ввиду не отрицательности членов ряда, не превосходят его суммы:и, следовательно,. Так как это неравенство для любого n, то все частичные суммы ряда (2) ограничены.

Поэтому ряд (2) сходится и для его суммы Т справедливо .

Проводя аналогичные рассуждения не для рядов (1) и (2), а для рядов (2) и (1) получим, что . Из двух последних неравенств следует, что▲

2) Члены условно сходящегося ряда (не абсолютно) можно переставлять так, что сумма преобразованного ряда будет равна любому, наперёд заданному элементу числовой прямой.

Изложить идею доказательства и

привести конкретный пример, например с рядом Лейбница

3) Переставить члены условно сходящегося ряда так, чтобы получился ряд сходящийся абсолютно, нельзя.

4) Если знакопостоянный ряд сходится, то он сходится абсолютно и к сумме того же знака.

5) Если ряд, у которого число членов определенного знака конечно, сходится, то он сходится абсолютно.

6) Если у ряда число положительных и отрицательных слагаемых бесконечно и он сходится абсолютно, то ряды из и сходятся.