Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
2MA_Lekc_2.doc
Скачиваний:
198
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
1.88 Mб
Скачать

§. Критерий Коши сходимости ряда.

Критерий Коши для сходимости ряда следует из критерия Коши для сходимости последовательности частных сумм :

  • .

Если ряд сходится то, из критерия Коши при m = n + 1 следует, что т.е. необходимое условие сходимости ряда:

  • Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при n  .

Из критерия Коши также следует:

  • Сходимость ряда не изменится, если в нем изменить, добавить, или изъять любое конечное количество слагаемых. ()

  • Сходимость ряда не изменится, если изъять конечное или нет число нулевых элементов.

Для ряда величина называется частной (или частичной) суммой, а величина называется остатком после n-го члена.

Для сходящегося ряда остаток после n-го члена необходимо стремится к нулю.

Примеры:

а). . При

=

= .

т.е. несмотря на то, что общий член ряда стремится к нулю, ряд расходится. Стремление общего члена ряда к нулю это только необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное.

б). ; рассмотрим

Т.е. для ряда не выполнен критерий Коши. Ряд расходится. Этот ряд называется гармоническим.

в). ; . При .

Общий член ряда не стремится к нулю. Не выполнено необходимое условие сходимости. Ряд расходится.

г). ; .

Общий член ряда не стремится к 0. Ряд расходится.

д). ; не стремится к 0. Ряд расходится.

е). ; Ряд представляет собой сумму геометрической прогрессии.

. – получена формула для нахождения частичной суммы ряда. существует, если |q| < 1. Тогда .

Ряд сходится.

§. Абсолютная сходимость.

Def: Ряд называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд .

Т. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

  • –сходится .

Учитывая, что получаем

Т.е. исходный ряд сходится.

  • Ряд, который сходится, но не сходится абсолютно, называется сходящимся условно.

Замечание:

Если для ряда все его члены не отрицательны, то есть ( ), то последовательность его частичных сумм не убывает и, следовательно, для сходящегося ряда его сумма – это верхняя грань его частичных сумм.

§. Признаки сходимости знакопостоянных рядов.

а). Мажорантный признак.

Пусть имеется два ряда с положительными членами (знакоположительных) и и

Nn>N . Тогда: если ряд сходится  – сходится;

если ряд расходится  – расходится.

▲.

б).Асимптотическая форма мажорантного признака.

Пусть n и, при n, . Тогда: сходится  сходится ;

расходится  расходится.

в).Асимптотический признак одновременной сходимости – расходимости рядов.

Пусть n при n . Тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно.

г).Предельная форма асимптотического признака одновременной сходимости – расходимости рядов

Пусть n и существует, конечен и не равен нулю , то ряды и сходятся – расходятся одновременно.

§. Интегральный признак Коши – Маклорена.

Т. Если для знакоположительного ряда с монотонно убывающими членами, существует интегрируемая по Риману на замкнутых подпромежутках положительной полуоси, невозрастающая неотрицательная функция, совпадающая при целых значениях аргумента со значениями соответствующих членов ряда, то ряд и несобственный интеграл сходятся и расходятся одновременно. При этом разность между остатком ряда после n-го члена и интегралом по не превышает n +1 члена ряда.

Δ Рассмотрим на оси абсцисс точки 1, 2, 3, …, n1, n, n +1. И построим …..

П

режде всего, отметим что. Здесь – площадь криволинейной трапеции «по недостатку», а – площадь криволинейной трапеции «по избытку».

Пусть такая, что и, кроме того, .

Тогда

. Из этого неравенства, ясно что, если ряд сходится, то сходится и интеграл , и наоборот.

(?). Рассмотрим цепочку неравенств:

. Перейдем к пределу при . ....... ▲

Пример 1:

, и здесь знак эквивалентности означает, что ряды и интегралы, стоящие по разные стороны этого знака сходятся или расходятся одновременно. Тогда ряд сходится при р >1 и расходится при р 1.

Пример 2: Дзета-функция Римана ζ(z).

Def: ; . Если ,

а ряд сходится или расходится одновременно с интегралом .

т. е. ряд сходится, если Re z > 1 и расходится при Re z 1.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]