Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
2MA_Lekc_2.doc
Скачиваний:
198
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
1.88 Mб
Скачать

§. Поведение функции, стоящей под знаком сходящегося интеграла, на бесконечности.

Замечание: Убывание подынтегральной функции ее стремление к нулю не является необходимым условием сходимости интеграла на бесконечности.

Пример. 1. Рассмотрим .

Особые точки: .

а). x = 0. – интеграл сходится  по признаку сравнения.

b). x = +. Сходится, вообще говоря (в.г.), условно по признаку Дирихле ибо – монотонно стремится к нулю, а функция имеет ограниченную первообразную.

c). x = 1. Тоже применим мажорантный признак: , т.е. сходится абсолютно при. Таким образом, исходный интеграл сходится в.г. условно для.

С

трого монотонная заменаприводит к выводу о том, что также сходится условно при , хотя его подынтегральная функция для неограниченна.

Происходит это за счет взаимного погашения площадей (см.Рис.).

Чтобы не создавалось впечатление, что сходимость появляется только за счет взаимного погашения площадей, приведем другой пример.

2. Построим функцию , которая равна нулю при всех положительных значениях аргумента, кроме промежутков, где она равна единице.

Тогда, интеграл есть площадь и . Таким образом, неотрицательная функция на бесконечности не стремится к нулю и, тем не менее, интеграл от нее сходится.

Можно на этой идее построить и f (x) которая будет неограниченной, а интеграл будет сходиться.

Таким образом, сходимость не означает, что f (x)  0 при x  .

Но...

Т. Если существует и конечен, то в случае сходимости интеграла на бесконечности

этот предел необходимо равен нулю.

Более того, если существует и конечен, то он также равен нулю.

§. Интегралы Фрулани.

Пусть функция таких, что и .

Рассмотрим интеграл: . Интегралы такого типа называются интегралами Фрулани. Для них:

= . Тогда:

= ===

= ==.

И, следовательно ==.

Выполняя предельный переход при и получаем:

.

Примеры:

  1. .

§. Главное значение интеграла по Коши.

Рассматривается промежуток [a,b]. Пусть и при.

Тогда:

  • Если оба предела существуют и конечны, то интеграл сходится.

  • Если один из пределов существует и конечен, а другой равен бесконечности, то интеграл расходится.

  • Если оба предела есть , то интеграл расходится, но…

Рассмотрим Полученное значение, если оно существует и конечно, называется главным значением интеграла (principal value). И говорят, что расходящийся интеграл сходится в смысле главного значения.

Пример:

.

Раздел 4. Численное интегрирование §. Формулы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона)

З

а) б) в)

адача 1. Получить формулы приближенного вычисления:

а) Заменим f(x) для x[–, ] постоянной величиной по значению равной значению f(x) в средней точке. Тогда .

б) Заменим f(x) для x[–, ] многочленом первой степени, который на концах промежутка совпадает со значениями интегрируемой функции. Тогда .

в) Заменим f (x) для x[–, ] многочленом второй степени, совпадающим с интегрируемой функцией на концах и в середине промежутка интегрирования:

Ищем .

Т.е. ;

И получаем: .

.

Задача 2. Получить формулы для вычисления .

Р

азобьем промежуток интегрирования наn

равных частей, точками х0, х1, х2, … , хn. Обозначим уk = f(xk), k = 0, 1, 2, …, n; . Error: Reference source not foundНа каждом отдельном промежутке воспользуемся полученными выше формулами для S1, S2, S3 и просуммируем по всем промежуткам. Получим:

;

;

.

Полученные формулы носят название формул:

а) прямоугольников; б) трапеций; в) парабол (Симпсона).

Эти формулы, естественно, являются приближенными и, возникает вопрос: каким должно быть выбрано n, чтобы обеспечить необходимую точность вычисленного значения интеграла?

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]