Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика Часть 2

.pdf

Скачиваний:

458

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

4.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

г). Длины сторон найдем по формуле расстояния между двумя точками:

AB = c = 102 +52 = 5 5, BC = a = 4 5,

AC =b = 3 5.

д). Биссектрисой треугольника называется лежащий в треугольнике отрезок прямой, которая делит его внутренний угол пополам.

Укажем два способа нахождения уравнения биссектрисы треугольника.

1). Биссектриса делит противолежащую сторону в отношении, пропорциональном прилежащим сторонам.

Если С3 – точка пересечения биссектрисы lC = CC3 со стороной АС, то

АС3 = АС = b = 3 .

С3 В СВ a 4

Координаты точки С3 находим по формулам деления отрезка в данном отношении λ = 3/4:

С3 (23/7, - 1/7).

Уравнение биссектрисы lC = CC3 получается как

уравнение прямой,

проходящей

через

точки С3 и

С (5, 5):

y −5

x −5

или 3х – у – 10 = 0.

−1 7 −5

23 7 −5

2). Найдем направляющий вектор биссектрисы

lC = CC3: l =

−

Таким образом, в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор {−1, −3} и уравнение

биссектрисы принимает вид: x−−15 = y−−35 .

Уравнения lВ: х+у – 6 = 0 и lА: у = 2

могут быть найдены одним из двух способов.

ж). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис lС и lА треугольника.

Система уравнений, составленная из уравнений биссектрис:

3х− у−10 = 0,

у = 2,

имеет решение х = 4, у = 2.

Следовательно, центр вписанной окружности находится в точке О1 (4, 2).

Радиус вписанной окружности найдем как расстояние

от точки О до стороны АС: δ		АС	= − x0 −2 y0			+5 , где х =
1		АС			5	0
4, у0 = 2.					5
4, у0 = 2.				4 − 4 +5
Таким образом, r = dAC =
	δAC	=	−		=	5.
	δAC	=	−		=	5.
				5

з). Центр описанной окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров. Для прямоугольного треугольника он лежит на середине гипотенузы.

уС

BB2 2

А
А						A2		х
						A2


O0		O2
		O2
			R				B
			R
R =	1	AB		=	5 5			.
	1				5 5

	2				2
	2				2

и). Центр тяжести треугольника находится в точке пересечения медиан.

1). Из пункта в) имеем систему уравнений для определения координат центра тяжести как точки

11x −2 y − 45 = 0,

пересечения медиан mС и mB :

−13x −14 y + 75 = 0.

Система имеет решение х = 4,35, у = 1,45. Следовательно, центр тяжести треугольника находится

в точке О3 (4,35; 1,45).

2). Укажем, что медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Таким образом, координаты центра тяжести могут быть найдены как координаты точки О3, делящей медиану в

отношении λ = СО3 = 2 .

С3С2 1

Если воспользоваться формулами деления отрезка в данном отношении, то координаты точки:

x	=	xC + 2xC2		=	5 + 2 4			= 4,33;

O		3			3
3

	y	=	yC + 2 yC2			=	5 + 2 (−1 2)		=1,33.

	O	3			3
	3

к). Внутренние углы.

Например, внутренний угол при вершине А треугольника может быть найден следующим образом:

cos A =

AC AB

1−4

= −

5 5

A = arccos

−

л). По формуле площади треугольника имеем

1) S∆ =	1	−1	2	1		1
		−1	2	1
		9	−3 1		=		60 = 30 (кв. ед.).
	2	5	5	1		2
		5	5	1

2). Площадь треугольника может быть вычислена по формуле:

S∆ = p r,
где p – полупериметр треугольника; r – радиус
вписанной окружности.
Поскольку p = 3 5 +5 5 + 4 5 = 6 5, a r =	5,
5
то S∆ =30 (кв. ед.).
Найдите проекцию точки Р (4, 9) на прямую,
проходящую через точки А (3, 1) и В (5, 2).	(7,3)
2 РЕШЕНИЕ:	(7,3)
Искомую точку М(x, y) найдем, решая совместно
уравнение прямой АВ с уравнением перпендикуляра,

проведенного к этой прямой из точки Р.

АВ:

х−3

у −1

→ у =

х−

Уравнение перпендикуляра из точки Р на прямую АВ

ищем в виде у – 9 = k (x – 4);

k 1 = −1 → k = −2.

из условия перпендикулярности

x −

x = 7,

y =

→

М(x, y)=(7,3)

y = 3.

y = −2x +17,

Постройте прямую 3х – 5у + 15 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Уравнение

прямой

в отрезках

имеет вид:

=1,

−5

прямая отсекает на осях отрезки (-5) и 3.

Даны две прямые 2х + 3у – 5 = 0, 7х +15у +1 = 0,

пересекающиеся в точке М. Составьте уравнение

прямой, которая проходит через точку М

перпендикулярно к прямой 12х – 5у – 1 = 0.

РЕШЕНИЕ 1:

Прямые L : 2x + 3y −5 = 0, k

L : 7x +15y +1 = 0, k2 =

пересекаются, так как они

5x +12 y +6 = 0

имеют разные угловые коэффициенты. Составим

уравнение пучка прямых, проходящих через точку их

пересечения М:

2х + 3у – 5 + λ (7х + 15у +1) = 0,

(2 + 7λ) х + (3 + 15λ) у + (-5 + λ) = 0.

Выделим в этом пучке искомую прямую L : y = kx +b.

По условию искомая прямая перпендикулярна прямой

L :

12х – 5у – 1 = 0, для которой k3 =

. Угловой

коэффициент

искомой

кривой

k = −

2 + 7λ

−

= −

λ = −1

уравнение

искомой

3 +15λ

прямой принимает вид: 5х + 12у + 6 = 0.

РЕШЕНИЕ 2:

2x +3y −5 = 0,

найдем точку пересе-

Решая систему

7x +15y +1 = 0,

чения прямых

, −

. Каноническое уравнение

x −

y +

прямой имеет вид:

или

−5

5x +12 y +6 = 0 .

Напишите уравнение прямой L, проходящей через точку

М (2, 1) под углом 45° к прямой

L1: 2х + 3у +4 = 0.

РЕШЕНИЕ:

′

+b, k

′

= tgα , L1: 2х + 3у +4 = 0,

L : y = k x

у = − 2 x − 4 k = − 2 ..

α = 450

, tg α =

k′−k1

k′+ 2 3

=1 k1′,2 = 15 , М

x −5y +3 = 0,

1−(2 3) k′

5x + y −11 = 0

1−k′ k1

−5.

(2,1) L,

′

+b ,

y = k x

b1,2

L :

y = k2′x +b2

11.

y =

x +

x −5 y +3 = 0,

L :

5x + y −11 = 0.

y = −5x +11

Составьте уравнение прямой L, параллельной прямым

L1: х + 2у – 1 = 0

х+2у+1/2=0

и L2: х + 2у +2 = 0 и проходящей посередине между

ними.

РЕШЕНИЕ:

Уравнение прямой

будем искать

в виде

А(х – х0) + В(у + у0) = 0. В качестве нормального

вектора

n ={A, B}

можно выбрать нормальный вектор

прямых L1 и L2, равный {1, 2}.

Найдем какую-нибудь точку М0 (х0, у0) L. Точка

М0 будет делить пополам отрезок, соединяющий две

любые точки, лежащие на L1 и L2. Например, М1 (1, 0)

L1 и М2 (-2, 0) L2, тогда точка М0 имеет координаты (-

1/2, 0), и уравнение прямой L принимает вид:

х + 2у + 1/2 = 0.

2. Кривые второго порядка

Найдите точки пересечения следующих линий:

1) (x – 1)2 + (y – 3)2 = 4 и (x – 3)2 + (y – 5)2 = 4;

2) (x – 5)2 + y2 = 1 и x + y = 0.

РЕШЕНИЕ:

+ y

− 2x − 6 y + 6 = 0,

вычитая

из

первого

1). x

x2 + y2 −6x −10 y +30 = 0,

1) (1, 5)

уравнения второе,

(3, 3).

получим систему

+ y

− 2x −

6 y + 6 = 0,

y = −x + 6,

решая

которую,

получаем

две точки

пересечения

(1, 5) и (3, 3);

2). Линии (x – 5)2 + y2 = 1

и x + y = 0

не

пересекаются,

так

как

система

уравнений

(х−5)

+ у

=1,

не имеет действительных решений.

х+ у = 0

Составьте уравнение эллипса, фокусы которого лежат

х2

у2

на оси

абсцисс,

симметрично

относительно

начала

169

координат,

зная,

что

малая

ось равна

10,

эксцентриситет равен 12/13. РЕШЕНИЕ:

Из условия имеем b = 5, е = 12/13. Поскольку

е = с/а и а2 = b2 + c2, то a2 = b2 + е2 a2 или

a2 =		b2	. Подставляя числовые значения, получим
a2 =	1	−e2	. Подставляя числовые значения, получим
	1	−e2	а2 = 169.
			а2 = 169.

Следовательно, уравнение эллипса имеет вид:

х2

у2

=1.

169

Составьте уравнение эллипса, фокусы которого лежат

на оси абсцисс, симметрично относительно начала

координат, зная, что его большая ось равна 10, а

расстояние между фокусами равно 8.

РЕШЕНИЕ:

х2

у2

Из условия имеем а = 5, с = 4. Вычислим малую

полуось

b = a2 −c2 = 25 −16 = 3.

Следовательно,

уравнение

эллипса

имеет

вид:

х2

у2

=1.

Фокусы гиперболы совпадают с фокусами

эллипса

=1. Составьте уравнение гиперболы, если ее

эксцентриситет равен 2.

РЕШЕНИЕ:

Из уравнения

эллипса

находим: a2

= 25 ,

= 9 . c2

= a2

−b2

=16 , c = 4.

элл

−

По условию c

= c

и e

= 2 .

элл

гип

aгип

Таким образом, a

= 2 и

= c2 − a2

гип

=16 − 4 =12 .

гип

Уравнение искомой гиперболы имеет вид:

−

=1.

Составьте уравнение параболы, если известны ее

фокус F(-7, 0) и уравнение директрисы

x – 7 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Из уравнения директрисы имеем x = -p/2 = 7 или p = -

14.

Таким образом, уравнение искомой параболы имеет

y2 = -28x

вид:

y2 = -28x.

Установите,

какую

линию

определяет

уравнение

y = 7 −

x2 −6x +13, y < 7, x R. Нарисуйте ее график.

РЕШЕНИЕ:

При

y < 7

возведем

обе

части

уравнения

y −7 = − 3

x2 −6x +13 в квадрат:

или 94 (y −7)2 = (x2 −6x +13).

(y −7)2 = 94 (x2 −6x +13)

Выделяем в правой части полный квадрат:

4 (y −

7)2 = (x −3)2 + 4 или

( y −7)2

−

(x −3)2

=1.

Это уравнение сопряженной гиперболы с центром в

Нижняя

точке О′(3, 7) и полуосями а = 2, b = 3.

ветвь

Исходное уравнение

= 7 −

−6x +13,

определяет

сопряженной

y < 7

гиперболы

нижнюю

ветвь

сопряженной

гиперболы,

расположенную под прямой y=7.

Установите,

какую

линию

определяет уравнение

x =1− 1

y +1

Нарисуйте ее график.

РЕШЕНИЕ:

Область допустимых значений (х, у) определяется

условиями:

y +1

≥ 0,

≥ −1,

→

≤1.

1− x ≥ 0,

Часть пара-

(y + 1)/2 = 4 (1 – x)2

→ y + 1 = 8 (1

– x)2.

болы

Искомая кривая – часть параболы с вершиной в точке

(1, -1).

	Установите, какую линию определяет	уравнение
	y = −2 − 9 − x2 +8x. Нарисуйте ее график.
	РЕШЕНИЕ:
	Искомая кривая – часть окружности:
14	(y + 2)2 + (x – 4)2 = 52, y ≤ -2, x [-1, 9].	Часть ок-
14		ружности
		ружности

	Установите, какую линию определяет уравнение y2 –
	x2 = 0. Нарисуйте ее график.
	РЕШЕНИЕ:
	(y – x) (y + x) = 0 – две пересекающиеся прямые.
15	Две прямые

Какую линию определяет уравнение x2 + y2 = x?

	РЕШЕНИЕ:
	Запишем уравнение в виде x2 – x + y2 = 0.
	Выделим полный квадрат из слагаемых, содержащих
16	х:							Окружность
16	x2 – x = (x – 1/2)2 – 1/4.			2				Окружность
		−	1	2	+ y	2	=	1
	Уравнение принимает вид x	−	2		+ y		=	4
			2					4
	и определяет окружность с центром в точке (1/2, 0) и
	радиусом 1/2.

3. Преобразования координат

Преобразуйте уравнение гиперболы x2 – y2 = 1 поворотом осей на 45° против часовой стрелки.

РЕШЕНИЕ:

Так как α = -45°, то cosα = 22, sin α = − 22.

Отсюда преобразование поворота принимает вид:

		′		′	),
	x =
17		2 2 (x		+ y
		2 2 (y	′	′
	y =			− x ).

Подстановка в исходное уравнение дает х′у′ = 1/2. Так выглядит уравнение гиперболы в новой системе координат и дает график обратно-пропорциональной зависимости, знакомой из курса школьной математики.

	Установите, какую линию определяет уравнение
	x2 + y2 + xy – 2x + 3y = 0.
	РЕШЕНИЕ:
	1). Перенесем начало координат в такую точку О1(х0, у0), чтобы
	уравнение не содержало х′ и у′ в первой степени.
	Это соответствует преобразованию координат:
18	x = x′+ x0 ,
18
	y = y′+ y0.
	Подстановка в исходное уравнение дает
	(x′+ x0)2 + (x′+ x0)(y′+ y0) + (y′+ y0)2 – 2(x′+ x0) + 3(y′+ y0) = 0 или
	x′2 + x′y′+ y′2 + (2x0 + y0 - 2)x′+ (x0 + 2y0 + 3)y′+ x02 +
	+ x0y0 + y02 - 2x0 + 3y0 =0.
	Положим 2x0 + y0 – 2 = 0, x0 + 2y0 + 3 = 0.
	Решение полученной системы уравнений: x0 = 7/3 и y0 = -8/3 дает

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.02.201533.44 Кб65Выполнение заданий по истории.docx
#
10.12.2018137.22 Кб2Выполнение программ_для конспекта.doc
#
01.09.2019264.7 Кб3Выполнение реферата, метод. указания.doc
#
15.11.2019440.97 Кб1Выполняла.docx
#
11.07.201925.86 Кб3выразительные средства.docx
#
23.02.20154.52 Mб458Высшая математика Часть 2.pdf
#
13.08.201969.66 Кб2Высшие органы законодательной власти.docx
#
22.02.20151.41 Mб36Вычмат.doc
#
22.02.2015252.69 Кб4вэд.docx
#
13.03.201635.57 Mб95Вэриан Микроэкономика.pdf
#
09.11.20181.89 Mб3Г.М.Андреева Социальная психология.doc