Высшая математика Часть 2

Выражение смешанного произведения в декартовых координатах

Если три вектора a , b и c заданы своими декартовыми прямоугольными координатами a ={ax ,ay ,az }, b ={bx ,by ,bz }, c ={cx ,cy ,cz }, то смешанное про-

изведение a b c равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, т.е.,

ax ay az

a b c = bx by bz . cx cy cz

Доказательство. Вычислим ( a ×b c ).

(последнее равенство очевидно, если разложить определитель по элементам третьей строки).

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором простейшие геометрические образы (прямые, плоскости, линии и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры на основе метода координат.

Основная идея метода координат состоит в том, что геометрические свойства образов выясняются путем изучения аналитическими и алгебраическими средствами свойств уравнений геометрических объектов.

2.1. Уравнения поверхностей и линий

Уравнением поверхности называется такое уравнение, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на ней:

F(x, y, z) = 0.

Геометрическим образом этой зависимости служит поверхность.

13

Одну из координат в этом уравнении, например z, можно рассматривать как неявную функцию двух других.

Возможно другое, параметрическое выражение функциональной зависимости между несколькими переменными с помощью вспомогательных переменных – параметров. В этом случае говорят, что поверхность задана параметрически. Так, чтобы определить положение точки на поверхности, нужны два параметра, например, широта θ и долгота ϕ точки, лежащей на сфере. Тогда

декартовы координаты точки на сфере: x = R cosθ cosϕ , y = R cosθ sinϕ,

z = R sinθ , где R – радиус сферы.

Если уравнения F1(x, y, z) = 0 и F2(x, y, z) = 0 являются уравнениями двух поверхностей, пересекающихся по линии L, то линия L есть геометрическое место общих точек этих поверхностей, координаты которых удовлетворяют системе уравнений:

L: F1 (x, y, z) = 0,F2 (x, y, z) = 0.

Вслучае двух переменных зависимость между ними F (x, y) = 0 может

быть геометрически истолкована как уравнение плоской кривой. Любую величину t, определяющую положение точки (x, y) на этой кривой, можно принять за параметр. Тогда x = x (t ), y = y (t ) дадут параметрические уравнения кривой.

2.2. Плоскость в пространстве

Плоскость – одно из исходных понятий геометрии, определяется аксиомами и характеризуется свойствами:

1)плоскость есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые ее точки;

2)плоскость есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.

Для решения задач аналитической геометрии используют различные, наиболее подходящие к каждому случаю виды уравнений плоскости.

Общее уравнение плоскости (поверхность первого порядка)

Теорема. В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени, и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Доказательство

Возьмем на плоскости P произвольную точку

M0 (x0 , y0 , z0 ) .

Выберем вектор n ={A, B,C}, перпендикулярный плоскости.

Пусть M (x, y, z ) – произвольная точка, она лежит на плоскости P , если M0M n , то уравнение плоскости определяется условием (M0M n) = 0 .

14

4. A = 0, B = 0, D = 0: Cz = 0. A = 0, C = 0, D = 0: By = 0. B = 0, C = 0, D = 0: Ax = 0.

Эти уравнения определяют координатные плоскости XOY, XOZ,YOZ.

Уравнение плоскости «в отрезках»

Пусть коэффициенты в общем уравнении плоскости отличны от нуля. Преобразуем общее уравнение плоскости:

Ax + By +Cz + D = 0 Ax + By +Cz = −D, −AD x + −BD y + −CD z =1.

Если обозначить a = −AD ,b = −BD , c = −CD , получим уравнение плоскости «в отрезках»:

ax + by + cz =1 ,

где a,b, c представляют собой отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.

ПРИМЕР: Какие отрезки отсекает на осях координат плоскость

2x – 4y + 6z –12 = 0 ?

Приведем общее уравнение плоскости к виду уравнения «в отрезках»

Нормальное уравнение плоскости

Пусть дана плоскость. Проведем через начало координат прямую, перпендикулярную к плоскости (нормаль), и обозначим через P точку пересечения плоскости и нормали. На нормали введем положительное направление, обозначим углы, которые составляет нормаль с осями координат через α, β,γ , тогда

n0 ={cosα, cos β cos γ} - единичный вектор в направлении n . На плоскости возьмем произвольную точку M(x, y, z),

OM ={x, y, z} .

Проекция вектора OM на нормаль равна

прn OM = OM n0 = x cosα + y cos β + z cosγ .

Если известна длина отрезка OP = p, то уравнение

x cosα + y cos β + z cos γ = p задает нормальное уравнение плоскости в виде x cosα + y cos β + z cos γ − p = 0 ,

16

где cosα, cos β,cosγ - направляющие косинусы нормали к плоскости, а p – расстояние от плоскости до начала координат.

Приведем общее уравнение плоскости Ax + By +Cz + D = 0 к нормально-

му виду.

Так как эти уравнения определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны: cosα = µA, cos β = µB, cosγ = µC, − p = µD .

Из условия cos2 α +cos2 β +cos2 γ =1 , которому удовлетворяют направляющие

ловия µD < 0 , то есть должен быть противоположен знаку свободного члена нормируемого уравнения. Умножением на нормирующий множитель µ общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду:

Расстояние от точки до плоскости

Отклонением точки M1 (x1 , y1 , z1 ) от плоскости называется число, равное длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость, взятое со знаком «-» или «+» в зависимости от того, по одну или по разные стороны от плоскости находится начало координат и точка M1 .

Пусть M1 (x1 , y1 , z1 ) . Спроектируем точку M1 на нормаль к плоскости n. Отклонение δ = PQ = OQ −OP.

O Q = прn O M 1 , O P = p ,δ = прn O M 1 − p ,

прn OM1 = x1 cosα + y1 cos β + z1 cosγ δ = x1 cosα + y1 cos β + z1 cosγ − p ,

то есть чтобы найти отклонение какой-либо точки от плоскости, нужно в левую часть нормального уравнения этой плоскости подставить координаты точки.

динат лежат по разные стороны от плоскости, и отрицательно, если по одну сторону.

Расстояние от точки M1 (x1 , y1 , z1 ) до плоскости вычисляется по формуле:

d = δ = Ax1 + By1 + Cz1 + D . A2 + B2 + C 2

17

ПРИМЕР: Найдите расстояние точки M(4, 3, 1) от плоскости 3x −4y +12z +14 =0 .

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

том и только в том случае, если эти векторы компланарны. Условие компланарности трех векторов определяет плоскость, проходящую через три дан-

ные точки:

Угол между двумя плоскостями

Пусть плоскости P1 и P2 заданы уравнениями:

A1x + B1 y +C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0.

Нормальные векторы этих плоскостей задаются координатами:

n1 ={A1, B1,C1}, n2 ={A2 , B2 , C2}, (n1 n2 ) = n1 n2 cosϕ .

Один из двугранных углов между плоскостями равен острому углу между их нормальными векторами и определяется из равенства

ПРИМЕР: Найдите угол между плоскостями x − y − 2z −6 = 0, y = 0. Нормальные векторы плоскостей n1 ={1,−1,− 2} , n2 ={0,1,0} .

18

Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей

0 (x −7) +1 ( y +2) −3 (z −3) = 0 → y −3z +11 = 0 .

ПРИМЕР: Составьте уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям:

x – y + 2z – 5 = 0, 2x + y – 3z + 1 = 0.

Нормальные векторы данных плоскостей: n1 ={1,−1,2}, n2 ={2,1,−3} . РЕШЕНИЕ 1:

Нормальный вектор искомой плоскости перпендикулярен к нормальным векторам данных плоскостей, т.е.

и уравнение искомой плоскости: x + 7y + 3z = 0. РЕШЕНИЕ 2:

Нормальный вектор искомой плоскости перпендикулярен к нормальным векторам данных плоскостей. Из условия перпендикулярности можно найти координаты вектора n ={A, B,C} из системы:

2.3. Прямая линия в пространстве Общие уравнения прямой

Прямая линия в общем виде определяется как линия пересечения двух плоскостей, то есть системой уравнений:

A1 x + B1 y +C1z + D1 = 0,A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0.

19

Канонические уравнения прямой

Любой ненулевой вектор a ={l, m, n}, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором прямой.

Пусть M (x, y, z) - текущая точка прямой, а

Вектор M 0 M ={x − x0 , y − y0 , z − z0 } коллинеарен вектору a , следовательно, их координаты пропорциональны.

Канонические уравнения прямой, проходящей через

Параметрические уравнения прямой

Обозначим отношения, входящие в канонические уравнения прямой, через t:

x −l x0 = y −my0 = z −nz0 = t .

Отсюда получаем параметрические уравнения прямой в виде:

Составьте канонические и параметрические уравнения прямой. Напишите ее уравнение в виде проекций на координатные плоскости.

Найдем координаты точки, лежащей на прямой. Положимx0 =1 , а две другие координаты найдем из системы (*):

В качестве направляющего вектора прямой выберем вектор, являющийся векторным произведением нормальных векторов плоскостей, линией пересечения которых будет искомая прямая.

20