Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика Часть 2

.pdf

Скачиваний:

458

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

4.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Вариант 1

JJG JJG

JJJG

Задан тетраэдр OABC . В базисе из ребер OA , OB и OC найдите

JJJG

координаты вектора DE , где D и E – середины ребер OA и BC .

Векторы

JJG

образуют

правую

тройку,

взаимно

a , a , a

JJG

JJG JJG

перпендикулярны, и

= 4,

= 2,

=3 . Вычислите (a1

, a2 , a3 ).

Даны точки M (3,5,0)

и K (4,2, −2). Найдите проекцию

JJJG

вектора MK

={6,3,2}.

на вектор a

4.Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если даны три его вершины A(0,0), B(10, −5), C (6, −3).

Постройте кривую y = −3 −

21 − 4x − x2 .

Приведите кривую

5 x

2 +

+ 7 y2 = 0 к каноническому виду.

Найдите точку, симметричную точке M (0, −3, −2) относительно

прямой L:

x −1

y +1,5

−1

Точка M (2, −1, −1) служит основанием перпендикуляра, опущенного

из начала координат на плоскость. Составьте уравнение этой

плоскости.

x = t +1,

y = t

+ 2,

Вычислите расстояние от точки P(2,3, −1) до прямой L :

+13.

z = 4t

10.

Докажите, что прямая

5x −3y + 2z −5 = 0,

лежит в плоскости

L :

− y − z −1 = 0

4x −3y + 7z −7 = 0.

11.Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра C (−1,2,0) и радиус R = 2 .

12.Найдите уравнения линий пересечения поверхности

x2 + y2 − z2 = −1 с координатными плоскостями.

16 9 4

121

Вариант 2

JJG JJJG JJJG

1. Задан тетраэдр OABC . В базисе из ребер OA, OB и OC найдите

JJJG

координаты вектора OF , где F – точка пересечения медиан основания

АВС.

2.Вычислите направляющие косинусы вектора a =(12,−15,−16).

			JJG	JJG	JJG	JJG			JJG		JJG		JJG JJG				2π
3.	Вычислите	a		+ 3a , 3a		− a		, если	a	=1,	a	= 2,		a , a		=		.
3.	Вычислите	a		+ 3a , 3a		− a		, если	a	=1,	a	= 2,		a , a		=	3	.
			1	2	1		2		1		2			1			3
			1	2	1		2		1		2			1	2

4.Найдите вершины и уравнения медиан треугольника, если даны уравнения трех его сторон

	AC : x − 2 y +1 = 0, AB : x + 2 y −3 = 0 и BC : 2x + y −18 = 0 .
5.	Постройте кривую	y = −7 +		2		16 + 6x − x2 .

			5
6.	Приведите кривую	5 x2 −	3		xy + 7 y2 +1 = 0 к каноническому виду.

		4	2			4

7.Найдите точку, симметричную точке M (2, −1,1) относительно прямой

L : x −4,5 = y +3 = z −2 . 1 −0,5 1

8.Укажите значение l , при котором плоскости P1 : 3x −5y +lz −3 = 0 и P2 : x +3y + 2z −5 = 0 будут перпендикулярны.

9.Составьте уравнения прямой, образованной пересечением плоскости P : 3x − y −7z +9 = 0 с плоскостью, проходящей через ось абсцисс и

точку A(3, 2, −5) .

10.Найдите точки пересечения прямой координатными плоскостями.

2x + y − z −3 = 0,		с
L :	x + y + z −1 = 0

11.Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра C (3, −2,1) и точки M (2, −1, −3) на сфере.

12.	Найдите уравнения линий пересечения поверхности	x2	+	y2	+	z2	=1
		9		4		25

с координатными плоскостями.

122

Вариант 3

В тетраэдре OABC медиана AL грани АВС делится точкой М в

отношении

JJJJG

JJJG

JJJJG

=3:7 . Найдите координаты вектора OM в

JJJG JJJG JJJG

базисе из ребер OA, OB, OC .

JJG

Заданы векторы a ={1,−1,3},

a ={−2,2,1},

a ={3, −2,5}. Вычислите

JJGJGJJG

JJGJJG

JG JG JJG

JJG JJG JJG

a a a . Какова ориентация троек: а)

a , a , a

; б) a , a , a ; в) a ,a ,a

1 2 3

2 3

2 1 3

1 3 2

Даны векторы a ={G5;−6;G−1},

b ={1;

−4;G−5},

c ={3;4;2}.

Найдите

проекцию вектора a − 2b на вектор b +c .

4.Найдите уравнения и длины сторон треугольника, если даны две его вершины А(-1, 1), В(9, -4) и точка пересечения его высот К(5, 4).

5.	Постройте кривую x = 9 − 2 y2 + 4 y +8 .

6.Приведите кривую 5x2 − 2 3 xy + 7 y2 − 4 = 0 к каноническому виду.

7.Найти точку, симметричную точке M (1,1,1) относительно прямой

L : x −1 2 = y +−21,5 = z 1−1.

8.Составьте уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям 2x − y +3z −1 = 0,

x+ 2 y + z = 0.

9.	2x −3y +5z −6 = 0,		пересекает ось
	Докажите, что прямая L :	= 0
	x +5y −7z +10
	ординат.
10.	Составьте уравнения прямых, образованных пересечением плоскости
	5x −7 y + 2z −3 = 0 с координатными плоскостями.
11.	Составьте уравнение сферы, если известно, что точки M1 (2, −3,5) и
	M2 (4,1, −3) – концы ее диаметра.

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности x2 + y2 − z2 = 0 81 36 9

с координатными плоскостями.

123

Вариант 4

Дан параллелепипед ABCDA B C D . Принимая за начало координат

JJG

1JJG1

1 1JJG

вершину A, а векторы AB

AD и AA1

за базисные, найдите

координаты:

а) вершин C, B1 ,C1 ;

JJJG

соответственно.

б) точек K и L – середин ребер A B и CC

JJG

JGJ

Определите, при каком значении α векторы a1 +αa2

и a1

−αa2 будут

перпендикулярны, если

=3,

JJG

=5.

JJG

Установите, образуют ли векторы

базис в множестве всех

a , a , a

−1},

JJG

={1;9;−11}.

векторов, если a1 ={2;3;

={1;−1;3},

4.Найдите координаты вершин треугольника, если даны уравнения двух его сторон AC : x − 2 y −3 = 0 , AB : x + 2 y +1 = 0 и двух его высот:

	6x −12 y −18 = 0, 2x − y −12 = 0.
5.	Постройте кривую x = −4 +3 y +5 .

6. Приведите кривую 14 x2 − 3 23 xy − 54 y2 −1 = 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M (1,2,3) относительно прямой

L :	x −0,5	=	y +1,5	=	z −1,5	.
			−1
0				1

8.Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку

M1 (2,−1,1) перпендикулярно к двум плоскостям: 2x − z +1 = 0, y = 0.

9.Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую

x2−1 = y−+32 = z −2 2 перпендикулярно к плоскости 3x + 2 y − z −5 = 0.

10.Докажите параллельность прямых L1 : x +3 2 = y−−21 = 1z и

	x + y − z = 0,
	L2 :
11.	x − y −5z −8 = 0.
11.	Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра
	C (−5,3,2) и то, что плоскость 2x − 2 y + z − 4 = 0 касается сферы.
12.	Найдите уравнения линий пересечения поверхности 2z = x	2	+	y2	с
12.	Найдите уравнения линий пересечения поверхности 2z = x		+	2	с
				2

координатными плоскостями.

124

Вариант 5

1. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Принимая за начало координат

JJG JJG JJG

вершину A, а за базисные векторы AB , AD , AA1 , найдите координаты:

а) точек M и N пересечения диагоналей граней A1B1C1D1 и ABB1 A1 ; б) точки О пересечения диагоналей параллелепипеда.

2.НайдитеG направляющиеG G G G GкосинусыG вектора aG − 2b , если aG = 2i +3 j + 4k , b = i + j + k .

3.	Найдите			G	площадь		параллелограмма,			построенного на	векторах
	G	G		G	G	G	G	, если	e и	e - единичные	векторы и
	a	= 2e	−e		и b	= e	+3e	, если	e и	e - единичные	векторы и
		1		2		1	2		1	2

(eG1 ,eG2 ) = −12 .

4.Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если даны две его вершины А(-1, -1), В(9, -6) и точка пересечения его медиан М(13/3; -5/3).

5.	Постройте кривую x = −5 + 40 −6 y − y2 .

6.Приведите кривую 14 x2 + 3 23 xy − 54 y2 = 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M (1,0, −1) относительно прямой

L :	x −3,5	=	y −1,5	=	z	.

2		2		0

8.Определите двугранный угол, образованный пересечением пары

плоскостей x − y 2 + z −1 = 0, x + y 2 − z + 3 = 0.

Вычислите кратчайшее расстояние между прямыми:

x +7

y + 4

z +3

−2

x - 21

y +5

z - 2

−4

−1

10.

5x − 4 y − 2z −5 = 0,

на

Составьте уравнения проекции прямой

x + 2z − 2 = 0,

плоскость 2x − y + z −1 = 0 .

11.Составьте уравнение сферы, если известно, что точки M1 (0,0,0),

M2 (2,0,0), M1 (1,1,0), M1 (1,0, −1) лежат на сфере.

12.	Найдите уравнения линий пересечения поверхности	x2	−	y2	= 6z	с
		5		4

координатными плоскостями.

125

Вариант 6

JJJG JJJG

1.В трапеции ABCD известно отношение длин оснований: AB : CD = λ .

								JJG	JJJG	JJJG
	Найдите координаты вектора CB в базисе из векторов AB и AD .
2.				JG	={3;−1;2},			JJG	−1}. Найдите:
2.	Заданы векторы a1				={3;−1;2},			a2 ={1;2;	−1}. Найдите:
	JG JJG
	а) [a , a ];		JJG
	1JG	2 JJG	JJG
	б) [2a1	+ a2	, a2 ];
	JG	JJG	JG	JJG
	с) [2a1	−a2 , 2a1		+ a2	] .			G	G
3.					G	−1}	,	G	G
3.	Даны три вектора a ={3,					−1}	,	b ={1,−2}	и c ={−1,7}. Найдите
					JG	G	G	G	G	G
	координаты вектора p = a +b							+ c в базисе из векторов a и b.

4.Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если даны

	три его вершины А(1, 1),	В(-9, 6), С(-5, -2).
5.	Постройте кривую y =1 −	4	−6x − x2 .
5.	Постройте кривую y =1 −	3	−6x − x2 .
		3
6.	Приведите кривую −x2 +6		3 xy +5 y2 + 4 = 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M (2,1,0) относительно прямой

L :	x − 2	=	y +1,5	=	z + 0,5	.
			−1
0				1

8.Точка M (−1,3,2) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составьте уравнение этой плоскости.

9.Найдите координаты проекции точки М (1,0,1) на плоскость

P : 4x + 6 y + 4z − 25 = 0 .

10. Докажите, что прямая L : x +1 2 = y−−24 = 1z лежит в плоскости

P : x + y + z − 2 = 0.

11.Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра

C (-3;-1;2) и радиус R = 3.

12.	Найдите уравнения линий пересечения поверхности	x2	−	y2	+	z2	=1
		9		16		25

с координатными плоскостями.

126

Вариант 7

1.В тетраэдре ABCD DM – медиана грани BCD и Q – центр масс этой грани. Найдите координаты векторов DM и AQ в базисе AB , AC , AD .

2.Определите координаты точки М, если ее радиус-вектор составляет с координатными осями одинаковые углы, а его модуль равен 3.

3.	Даны точки A(1, 2, 0), B(0, 1, 4) и С(-1, 1, 1). На плоскости XOZ
	найдите такую точку D, чтобы вектор	JJG	был коллинеарен вектору
	найдите такую точку D, чтобы вектор	AB	был коллинеарен вектору
	JJJG

CD .

4.Найдите вершины и уравнения медиан треугольника, если даны

	уравнения трех его сторон		АС: х-2у-3=0; АВ: х+2у+1=0; ВС:
	2х+у+14=0.
5.	Постройте кривую x = 5 −	3	y2 + 4 y −12.
		4

6.Приведите кривую 6x2 − 4 3 xy + 2 y2 + x −8 = 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M (−2, −3,0) относительно

прямой L :	x + 0,5	=	y +1,5	=	z −0,5	.

1		0		1

8.Укажите значение λ, при котором плоскости P1 : 3x – λy + 3 = 0 и P2 : x – 2y + 5z – 10 = 0 будут перпендикулярны.

9.Составьте уравнения прямой, образованной пересечением плоскости Р: -5x + 2y – z + 1 = 0 с плоскостью, проходящей через ось аппликат и

точку A(1,1,1).

10.	x + y + z − 2 = 0,		с
	Найдите точки пересечения прямой L :	= 0
	x − y −3z + 2

координатными плоскостями.

11.Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра

C (-3;2;-1) и точки M(-2;1;-3) на ней.

12.	Найдите уравнения линий пересечения поверхности	x2	+	y2	+		z2	=1
		25		9		16

с координатными плоскостями.

127

Вариант 8

1.ABCDEF – правильный шестиугольник, причем AB = p , BC = q . Выразите через p и q векторы CD , DE , EF , FA , AС , JGAD , AЕJG.

2.	Найдите угол, образованный единичными векторами e					и e , если
	JG	JG	G JG	JG	1	2
	известно, что векторы a = e1	+ 2e2	и b = 5e1	− 4e2	перпендикулярны.

3.Найдите тупой угол (в радианах) между диагоналями параллелограммаG G, построенного на векторах

={2, 3,1} и b ={6, −1,1} .a

4.Найдите уравнения и длины сторон треугольника, если заданы две его вершины А(-1, -1), В(-11, 4) и точка пересечения его высот К(-7, -4).

5.	Постройте кривую y = 3 − 4 x −1.

6.Приведите кривую 18x2 +12 3 xy + 6 y2 − y = 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M (−1,0, −1) относительно прямой L : −x1 = y −01,5 = z −1 2 .

8.Составьте уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям 2x +3y + z +3 = 0,

x−3y − 2z +3 = 0.

9.	x +3y − 2z +1 = 0,		пересекает ось
	Докажите, что прямая L :	= 0
	3x − 4 y + 7z +3

абсцисс.

10.Составьте уравнения прямых, образованных пересечением плоскости 8x + y − 2z +16 = 0 с координатными плоскостями.

11.	Составьте уравнение сферы, если известно, что точки M1 (3;-3;2) и
	M 2 (5;3;-6) являются концами диаметра сферы.
12.	Найдите уравнения линий пересечения поверхности −	x2	−	y2	+	z2	= 0
12.	Найдите уравнения линий пересечения поверхности −	4	−	16	+	4	= 0
		4		16		4

с координатными плоскостями.

128

		Вариант 9
1.	В пространстве заданы треугольники ABC и A' B 'C '. M и M ' – точки
		JJJJG	JJJG JJJJG
	пересечения их медиан. Выразите MM 'через векторы AA', CC 'и
	JJJG
	BB ' .	JG G G G G G G
2.		JG G G G G G G	перпендикулярен вектору a .
2.	Докажите, что вектор p =b(a,c)−c(a,b)		перпендикулярен вектору a .
3.	G
3.	Найдите вектор x , коллинеарный вектору a ={1,1,1}, если его
	G	={1,2,2} равна 5.
	проекция на вектор b	={1,2,2} равна 5.

4.Найдите координаты вершин треугольника, если даны уравнения двух его сторон AC : x − 2 y +1 = 0 , AB : x + 2 y −3 = 0 и двух его высот:

2x − 4 y + 2 = 0, 2x − y −19 = 0.

5.	Постройте кривую y = −2 −				10x − x2 .
6.	Приведите кривую	1 x2	+	3	xy +	3 y2	+ x +1 = 0 к каноническому виду.
				2
		4				4

7.Найдите точку, симметричную точке M (0,2,1) относительно прямой

L : x −21,5 = −y1 = z −1 2 .

8.Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку M1 (4, −2,3) перпендикулярно к двум плоскостям:

x + y + 2z −9 = 0, x = 0.

9.Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую

x2+1 = y−−43 = z 5+1 перпендикулярно к плоскости x + 2 y − z +5 = 0.

10. Проверьте параллельность прямых L :				x −5	=	y −3	=	z +1	и
				−4		−2
		x + y − z = 0,	1				5
L2			или найдите угол между ними.
	:
	x − y −5z −8 = 0

11.Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра С (1;-4;-1) и то, что плоскость 2x – y + 2z + 2 = 0 касается сферы.

12.Найдите уравнения линий пересечения поверхности 4z = x2 + 4 y2 с координатными плоскостями.

129

Вариант 10

1.Точки E и F – середины сторон AD и BC четырехугольника ABCD.

	Докажите, что	EF =	1	( AB + DC ).
	Докажите, что	EF =		( AB + DC ).
	G	2			G		G
2.	Для векторов a ={2;G0;G3},				b ={−3; 5; 4G},G		c ={3; 4;	−1} вычислите
	проекцию вектора [a, b] на вектор (a, b)c .						G G G
					G	G G G	G G G

3.Упростите выражение (a −b) ×(a −b −c) (a + 2b −c).

4.Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если даны две его вершины А (-1, 1), В(19, -9) и точка М (29/3; -1/3) пересечения медиан.

5.	Постройте кривую x = −2 −5 −6 y − y2 .

6.Приведите кривую 3x2 + 6 3 xy +9 y2 + y = 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M (3, −3, −1) относительно прямой

L :	x −6	=	y −3,5	=	z + 0,5	.

5		4		0

8.Определите двугранный угол, образованный пересечением плоскостей

y −3z +5 = 0, y + 2z −3 = 0.

9.Вычислите кратчайшее расстояние между прямыми:

x - 2

y - 3

z +1

x +1

y - 3

z +1

− 4

10.	y −3z +5 = 0,		на плоскость
	Составьте уравнения проекции прямой	= 0,
	y + 2z −3

6x + 2 y −3z +1 = 0 .

11.Составьте уравнение сферы, если известно, что точки

M1(1,2, −3), M2 (3,2, −1), M3 (1,4, −1), M4 (1,2,1) лежат на сфере.

12.	Найдите уравнения линий пересечения поверхности	x2	−	y2	= z
		3		9

с координатными плоскостями.

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.02.201533.44 Кб65Выполнение заданий по истории.docx
#
10.12.2018137.22 Кб2Выполнение программ_для конспекта.doc
#
01.09.2019264.7 Кб3Выполнение реферата, метод. указания.doc
#
15.11.2019440.97 Кб1Выполняла.docx
#
11.07.201925.86 Кб3выразительные средства.docx
#
23.02.20154.52 Mб458Высшая математика Часть 2.pdf
#
13.08.201969.66 Кб2Высшие органы законодательной власти.docx
#
22.02.20151.41 Mб36Вычмат.doc
#
22.02.2015252.69 Кб4вэд.docx
#
13.03.201635.57 Mб95Вэриан Микроэкономика.pdf
#
09.11.20181.89 Mб3Г.М.Андреева Социальная психология.doc