Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика Часть 2

.pdf

Скачиваний:

458

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

4.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>

Вариант 11

1.Дан произвольный треугольник ABC. Докажите, что существует треугольник A1B1C1 , стороны которого соответственно равны и

	параллельны медианам исходного треугольника ABC.
2.		G	G		G	JG	−1; 2}
2.	Для векторов a ={2;1;		−1}, b ={1; 2;1}, c ={2; −1; 3}, d ={3;				−1; 2}
				G		JG G
	вычислите проекцию вектора a +c на вектор [b					− d,c].
3.	Проверьте, компланарны ли векторы				G G
	G	G G G G G	G G G	G	G G

a= −2i + j + k, b = i −2 j +3k, c =14i −13 j +7k .

4.Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если

	заданы три его вершины А(1, -1),			В(21, -11) и С(13, 5).
5.	Постройте кривую y = −1 +	2	x2	− 4x −5 .
		3

6.Приведите кривую 4x2 +xy +4 y2 −4 = 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M (3,3,3) относительно прямой

L : x−−11 = y −01,5 = z 1−3.

8.Точка M (−1,−3,5) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составьте уравнение этой плоскости.

9.Найдите координаты проекции точки М(0;2;1) на плоскость

P : 2x + 4 y −3 = 0.

10.Докажите, что прямая L : x +9 4 = y−+22 = −12z лежит в плоскости

P: 2x −3y + 2z + 2 = 0.

11.Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра

C (0;-5;3) и радиус R = 5.

12.	Найдите уравнения линий пересечения поверхности	z2	−	x2	+	y2	=1
		25		9		16

с координатными плоскостями.

131

Вариант 12

1.Используя свойства векторов, докажите, что сумма квадратов медиан

треугольника относится к сумме квадратов его сторон, как 3:4.

		JG	G	−6}.
2.	Найдите единичный вектор a0 , параллельный вектору a ={6, 7,			−6}.
3.	Проверьте, компланарны ли векторы
	G G G G G G	G G G G	G G
	a = 2i + j −3k, b = 3i	− 2 j + 2k, c = i	− 4 j + k .

4.Найдите вершины треугольника и уравнения его медиан, если заданы уравнения трех его сторон AC : x − 2 y −1 = 0 ; AB : x + 2 y +3 = 0 ;

BC : 2x + y − 27 = 0 .

5. Постройте кривую x = 2 − 6 − 2 y.

6.Приведите кривую x2 +4xy + y2 −4 = 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M (−1,2,0) относительно прямой

L :	x + 0,5	=	y + 0,7	=	z − 2	.
			−0,2
1				2

8.Укажите значение λ, при котором плоскости P1 : x − y + λz −5 = 0 и

P2 : x + z −2 = 0 будут перпендикулярными.

9.Составьте уравнения прямой, образованной пересечением плоскости

x+3y − 2z −1 = 0 с плоскостью, проходящей через ось ординат и

точку A(7,6, −1).

10.	x − 2 y + 2z − 4 = 0,		с
	Найдите точки пересечения прямой L :	= 0
	2x + 2 y − 2z −8

координатными плоскостями.

11.Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра

C (2;-1;3) и точки M(4;1;2) на ней.

12.Найдите уравнения линий пересечения поверхности 4x2 + y2 − 4z2 = 0

скоординатными плоскостями.

132

			Вариант 13
1.	AD, BE и CF – медианы треугольника ABC. Докажите равенство
	JJJG JJJG	JJJG
	AD + BE	+CFG= 0 .	G	G
2.	Даны векторы a ={2; 0;1}, b ={−1;1; 0}, cG={0;1; −3} . Вычислите
3.	направляющие косинусы вектора aG+G2b .
3.	При каком значении λ векторы a, b, c			будут компланарны, если
	G	G	G

a={λ; 3;1}, b ={5; −1; 2}, c ={−1; 5; 4}.

4.Найдите уравнения и длины сторон треугольника, если даны две его вершины А(-1, 1), В(-21, 11) и точка пересечения высот К(-13, -5).

5.	Постройте кривую y = −3 + 21 − 4x − x2 .

6.Привести кривую 4x2 −xy +4 y2 −4 = 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M (2, −2, −3) относительно прямой L : x−−11 = y +00,5 = z +01,5.

8.Составьте уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям x + y − z − 4 = 0 ,

x− y + 2z = 0.

9.	x − 2 y + 2z − 4 = 0		пересекает ось
	Докажите, что прямая L :	= 0
	2x + 2 y + 2z −8

абсцисс.

10.Составьте уравнения прямых, образованных пересечением плоскости 2x − 4 y + z = 0 с координатными плоскостями.

11.Составьте уравнение сферы, если известно, что точки M1 (−3;−1;4) и M2 (1;1;2) являются концами его диаметра.

12.Найдите уравнения линий пересечения поверхности

x2 − y2 − z2 = −1 с координатными плоскостями.

81 36 4

133

Вариант 14

JG JJJG	G	JJJJG
1. Векторы p = AK	и q = BM являются медианами треугольника ABC.
	JJJG	JJJG JJJG	G
Выразите векторы AB, BC, CA через			pи q .

2.Проверьте, что точки А(2; 4; 1), В(3; 7; 5), С(4; 10; 9) лежат на одной

прямой.

			G G	G G	G G		G		G		G G
3.	Вычислите	4	a, b	− 2 (a,b)+	a + b	, где	a	=	b	=1,	a b =π / 6.

4.Найдите координаты вершин треугольника, если заданы уравнения двух его сторон AC : x − 2 y −3 = 0 , AB : x + 2 y +1 = 0 и двух его высот: x − 2 y −3 = 0 , 2x − y +15 = 0.

5.	Постройте кривую x = 3 −	12		29 + y2 − 4 y .
			5

6.Приведите кривую 2x2 −xy + 2 y2 −6 = 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M (−1,0,1) относительно прямой

	L :	x + 0,5	=	y −1	=	z − 4	.

	0		0		2
8.	Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку
	M1 (1,2,3)		перпендикулярно к двум плоскостям: x + y +2z −9 =0, z =0.

9.Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую

x2−1 = y 4+5 = z 2−1 перпендикулярно к плоскости x −3y + z −8 = 0.

10.Докажите параллельность прямых L1 : x0.5+1 = 7y = 3z и

4x + y −3z + 4 = 0,

L2 : 2x − y + 2z + 2 = 0.

11. Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра C (-1;1;3) и то, что плоскость 4x – 3y + 6 = 0 касается сферы.

12.	Найдите уравнения линий пересечения поверхности	x =	y2	+	z2
			4		2

с координатными плоскостями.

134

Вариант 15

JJG

JJJG G

В параллелограмме ABCD известны векторы AB

= a, AD =b . Выразите

JJJG

JJJG JJJJG

через них векторы MA, MB, MC и MD , если М - точка пересечения

диагоналей параллелограмма.

вычислите прG (2a −

Для заданных векторов a, b иc

3b) , если

G G G G G G

а) a = −i + 2 j + k, b =3i

+ j + k ,

c = 4i

+3 j

G G

б) a =i

− 2 j

+ 3kG, b = −3i + 2 jG− k, c

6i +

2 j

+ 3k

Даны векторы a ={2,1}

b ={−4, 3}. В базисе из этих векторов

найдите координаты вектора c ={−16;12}.

4.Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если даны

две вершины треугольника А (-1, -1), В (-21, 9) и точка пересечения его медиан М (35/3; 1/3).

5.	Постройте кривую x = −5 +	2	8 + 2 y − y2 .
		3

6.Приведите кривую x2 − 2 xy + y2 − 2x −6 = 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M (0, −3, −2) относительно

прямой L :	x −0,5	=	y +1,5	=	z −1,5	.
			−1
0				1

8.Определите двугранный угол, образованный пересечением плоскостей

x − y + z 2 −5 = 0, x + y − z 2 + 7 = 0.

9.Вычислите кратчайшее расстояние между прямыми

x -1

y +5

z -1

x -1

z +3

3x + 2 y −4z −1 = 0,

на

10. Составьте уравнения проекции прямой

= 0

9z +3y −6x −4

плоскость x − y + 2z −5 = 0.

11.Составьте уравнение сферы, если известно, что точки

M1 (−1; −2;3), M2 (−1; −2; −3), M3 (2; −2;0), M4 (−1;1;0) лежат на сфере.

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности −	x2	+	y2	= z	с
	4		4

координатными плоскостями.

135

Вариант 16

1. В равнобедренной трапеции ОВСА угол ВОА = 60°,

JJJG

= 2, M и N – середины сторон ВС и АС. Выразите

JJJG

JJJJG

JJJG

JJJJG

JJG

- единичные векторы

векторы AC, OM , ON и MN через m0 и n0

JJJG

направлений OA иOB .

JG JG

2. Вычислите

, если a

= 2e1

+ e2 , где

=1,

= 2,

e1 e2 =150°.

3.Найдите координаты четвертой вершины тетраэдра АВСD, если известно, что она лежит на оси ординат, объём тетраэдра равен 2,

А (0;1;1), В (4;3;-3), С (2;-1;1).

4.Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если даны три его вершины А (1, 2), В (11, -3), С (7, 5).

5.	Постройте кривую y = −5 +	−3x − 21.
6.	Приведите кривую 7x2 + 2	3 xy +5 y2 −1 = 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M (1,0,1) относительно плоскости P : 4x + 6 y + 4z − 25 = 0.

8.Точка M (−2, −3,1) служит основанием перпендикуляра, опущенного

из начала координат на плоскость. Составьте уравнение этой плоскости.

9.Найдите проекцию точки М(-1;0-1) на плоскость P: 2x + 6y - 2z +11 = 0.

10. Докажите, что прямая L : x −0 4 = 1y = 1z лежит в плоскости x − 2 y + 2z − 4 = 0 .

11.Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра

C (5;-3;7) и радиус R = 1.

12.Найдите уравнения линий пересечения поверхности

x2 − y2 + z2 = −1 с координатными плоскостями.

16 4 9

136

Вариант 17

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Найдите координаты

JJJG

JJG JJJG

вектора AD в базисе, образованном векторами AB и AC .

− 2}. Вычислите:

Даны три вектора : a ={−1; 2}, b =

{5;1}, c ={4;

2 +(bG, aG +3cG).

G G

Вектор c перпендикулярен векторам a иb , угол между a иb

равен 30°. Зная, что

= 6,

GGG

=3, вычислите abc .

4.Найдите вершины и уравнения медиан треугольника, если даны уравнения трех его сторон AC : x − 2 y +5 = 0 ; AB : x + 2 y −3 = 0;

BC : 2x + y −15 = 0 .

5.	Постройте кривую x = −5 − 40 −6 y − y2 .

6.Приведите кривую 7x2 −2 3 xy +5 y2 −1 = 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M (−1,0, −1) относительно плоскости, если P : 2x + 6 y − 2z +11 = 0.

8.Укажите значение λ, при котором плоскости P1 : 5x −λy +3z = 0 и P2 : 4x − y − z + 2 = 0 будут перпендикулярны.

9.Составьте уравнения прямой, образованной пересечением плоскости

x− y +5z − 4 = 0 с плоскостью, проходящей через ось ординат и

точку A(−1, −3, 2).

10.

Найдите точки пересечения прямой

2x −3y + 2z + 2 = 0,

L :

координатными плоскостями.

2x +3y + z +14

11.

Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра

C (-1;5;2) и точки M (2;2;2) на ней.

12.

Найдите уравнения линий пересечения поверхности

−

= 0

координатными плоскостями.

137

Вариант 18

1. Даны три точки O, A, B, не лежащие на одной прямой. Принимая за

→ → →

базисные векторы OA и OB , найдите координаты вектора OM , если

JJJG JJJJG

точка М лежит на отрезке АВ и AM : BM = m : n .

G G G G

2.Вычислите работу силы F = −i + 2 j + k при перемещении материальной точки из положения А (-1; 2; 0) в положение В(2; 1; 3).

3.Найдите проекцию вектора a ={−5; 0; 3} на вектор, составляющий с

осью абсцисс угол в 60°, с осью ординат – 45°, а с осью аппликат - острый угол.

4.Найдите уравнения и длины сторон треугольника, если даны две его вершины А (1, -2), В (11, -7) и точка К (7, 1) пересечения его высот.

5.	Постройте кривую y = −2 +	2	11 − x2 + 2x.
		3

6.Приведите кривую 5x2 −2 3 xy +7 y2 −1 = 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M (0,2,1) относительно плоскости P : 2x + 4 y −3 = 0.

8.Составьте уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям x +5y + 2z +5 = 0,

x− y − z −1 = 0.

9.	3x − 2 y + z −1 = 0,		пересекает ось
	Докажите, что прямая L :	= 0
	2x + y − 2z + 2

аппликат.

10.Составьте уравнения прямых, образованных пересечением плоскости 2x − 4 y −3z + 7 = 0 с координатными плоскостями.

11.Составьте уравнение сферы, если известно, что точки M1 (4;8;11) и M2 {−2;−4;3} - концы диаметра сферы.

12.Найдите уравнения линий пересечения поверхности

z2 − x2 − y2 = −1 с координатными плоскостями.

16 9 81

138

			Вариант 19
1.	Даны три точки О, А и В, не лежащие на одной прямой. Принимая за
		JJJG	JJG					JJJG
	базисные векторы OA и OB , найдите координаты вектора ON , если
	точка N лежит на прямой АВ вне отрезка АВ и				JJG	:	JJJG	= m : n .
	точка N лежит на прямой АВ вне отрезка АВ и				AN	:	BN	= m : n .
			JG
2.			JG	ортогональны. При каком
2.	Пусть отличные от нуля векторы a и b			ортогональны. При каком
			G					G G
3.	значении параметра λ вектор a + λb ортогонален вектору a +b ?
3.	Вычислите высоту параллелепипеда, построенного на трех векторах
	G JG G	G G JG G	G G JG	G G
	a =3 p + 2q −5r, b = p − q + 4r иc = p −3q + r , если за основание взят
					G
	параллелограмм, построенный на векторах a иb . Кроме того,
	известно, что	JGp, qG и rG -	взаимно перпендикулярные орты.

4.Найдите координаты вершин треугольника, если даны уравнения двух его сторон AC : x − 2 y +3 = 0 , AB : x + 2 y −5 = 0 и двух его высот:

2x − 4 y + 6 = 0 , 2x − y +9 = 0 .

5.	Постройте кривую y = −3 −	4	x2 − 4x −5 .
		3
6.	Приведите кривую 5x2 + 2	3 xy +7 y2 −1 = 0 к каноническому виду.
7.	Найдите точку, симметричную точке M (2,1,0) относительно
	плоскости P : y + z + 2 = 0.
8.	Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку
	M0 (−1,2, −1) перпендикулярно к двум плоскостям:

2x − 4 y −3z + 7 = 0 , z = 0 .

9.Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую

x3−1 = 0y = z +2 3 перпендикулярно к плоскости x − y + 4z = 0.

10.Найдите угол между прямыми L1 : x−+21 = y 0.5−0.5 = 10z и

2x + 2 y − 2z +1 = 0, L2 : 3x − 2 y +3z + 4 = 0.

11.Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра

C (1;0;1) и то, что плоскость 3x + 2 y −5z +8 = 0 касается сферы.

12.Найдите уравнения линий пересечения поверхности z = x2 − y 2 +1 с координатными плоскостями.

139

Вариант 20

1. Дан правильный шестиугольник OABCDE со стороной ОА = 3.
JJG JG JJJG	G	JJG	JG
Обозначим OA = m, AB	= n и	BC	= p . Установите зависимость между
G			JJG JJJG JJJG JJJG JJJG

ними. Выразите через m и n векторы OB, BC, ED, OD, DA.

2.Докажите, что если диагонали четырехугольника в точке пересечения

	делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.
3.	G JG	c	= 2,	JG	= 6 , а угол между
3.	Найдите длину вектора a =3c − d , если	c	= 2,	d	= 6 , а угол между
	JG
	JG
	векторами c иd равен 60°.

4.Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника если даны две его вершины А (-1, 2), В (-11, 7) и точка М (19/3;8/3) пересечения его медиан.

5.	Постройте кривую y = 5 −3 −2x .

6.Приведите кривую 10x2 + 4 3 xy +6 y2 = 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M (−1;2;0) относительно плоскости P : 4x −5 y − z −7 = 0.

8.Найдите угол между плоскостями 6x + 2 y − 4z +17 = 0 ,

9x +3y −6z − 4 = 0 .

9.Вычислите кратчайшее расстояние между прямыми:

y −3

z −2

x +1

y + 2

−2

10.	5x − 4 y +3z −3 = 0,					на
10.	Составьте уравнения проекции прямой	+ 2			0,	на
	4x − y − z	+ 2		=	0,
	плоскость 5x −3y + 2z +5 = 0.
11.	Составьте уравнение сферы, если известно, что точки
	M1 (−2;3;3), M2 (−2;1;1), M3 (0;3;1), M4 (−2;3;−1) лежат на сфере.
12.	Найдите уравнения линий пересечения поверхности		x2	−	y2	= −3z
12.	Найдите уравнения линий пересечения поверхности	6		−	4	= −3z
		6			4

с координатными плоскостями.

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.02.201533.44 Кб65Выполнение заданий по истории.docx
#
10.12.2018137.22 Кб2Выполнение программ_для конспекта.doc
#
01.09.2019264.7 Кб3Выполнение реферата, метод. указания.doc
#
15.11.2019440.97 Кб1Выполняла.docx
#
11.07.201925.86 Кб3выразительные средства.docx
#
23.02.20154.52 Mб458Высшая математика Часть 2.pdf
#
13.08.201969.66 Кб2Высшие органы законодательной власти.docx
#
22.02.20151.41 Mб36Вычмат.doc
#
22.02.2015252.69 Кб4вэд.docx
#
13.03.201635.57 Mб95Вэриан Микроэкономика.pdf
#
09.11.20181.89 Mб3Г.М.Андреева Социальная психология.doc