Высшая математика Часть 2

Даны векторы a1 ={1, −1,3}, a2 ={−2, 2,1},

a3 ={3, −2,5}.

а) вычислите объем параллелепипеда, построенного

на этих векторах;

б) вычислите объем тетраэдра, построенного на этих

векторах;

в) определите, будут ли векторы a1 , a2 , a3 компла-

нарны;

a1 , a2 , a3 базис

г) определите, образует ли тройка

7,

в трехмерном пространстве;

a3 правой.

7

д) определите, будет ли тройка a1 a2

6 ,

РЕШЕНИЕ:

нет,

1

−1

3

да,

левая

а) Vпар =

a1a2a3

=

−2 2

1

=

−7

= 7 ,

3

−2

5

б) V =

1V

=

7

,

тетр

6 пар

6

в) векторы a1 , a2 , a3 некомпланарны, так как V ≠ 0 ,

г) тройка a1 , a2 , a3

образует базис в трехмерном про-

странстве,

д) тройка a1 , a2 , a3 – левая, так как a1a2 a3 = −7 < 0 .

В тетраэдре с вершинами в

точках A(1,1,1), B(2, 0, 2),

C (2, 2, 2), D(3, 4, −3)

вычис-

= h .

лите высоту

DE

РЕШЕНИЕ:

AB ={1, −1,1}, AC ={1,1,1},

3

2

AD =

{

2,3, −

}

4 .

V =

1 S

h =

1

1

AB, AC

h ;

3

осн

3

2

V =

1Vпар

= 1 (

AB, AC

, AD);

6

6

h =

( AB, AC , AD)

=

−12

= 3

2

AB,

AC

2 2

Найдите расстояние от плоскости, проходящей че-

рез точки A(1,1,1) , B(2,0,2) , C(2,2,2) , до точки

D(3,4,−3) .

3

2

РЕШЕНИЕ:

Построим тетраэдр ABCD и найдем его высоту

| DE |=3

2 , как в предыдущей задаче.

Длины базисных векторов e1 ,e2 ,e3

в пространстве

равны соответственно 1, 2,

2 , а углы между ними:

=

120

o

,

=

o

o

e1

,e2

e1

,e3

45 ,

e2

,e3 =135

. Вычис-

лите объем параллелепипеда, построенного на век-

торах, имеющих в этом базисе координаты

a ={−1,0,2}, b ={1,1,3}, c ={2,−1,1}.

РЕШЕНИЕ:

V =| abc | =

([−e1 + 2e3 ,e1 + e2 +3e3 ],2e1 −e2 + e3 )

=

10

2

e

2

=

{

}

=

{

−1,

−

}

2 cos120o , 2sin120o , 0

3, 0 .

( e , e

) =1

2 cos 45o =

2

2

=1;

1

3

2

( e1 ,e3 ) = e1xe3x +e1y e3 y +e1z e3z =1 x +0 y +0 z = x

x =1; ( e

2

, e ) = 2

2 cos135o

= −2 .

3

С другой стороны,

( e2 ,e3 ) = −1 x − 3y +0 z = −x − 3y

−2 = −1x − 3y ,

x =1 1 = 3y y =

1

.

3

Так как | e |=

2 =

x2 + y2 + z2

z = ± 2 . Тогда

3

3

1

0

0

| e1e2e3 |=

= 2 ,

V =10 2 .

−1 − 3

0

1

1

±

2

3

3

n = [n1 ×n2 ]=

i

j

k

2

−1 5

= −14i + 7 j + 7k.

1

3

−1

РЕШЕНИЕ:

Если M(x,y,z) - текущая координата плоскости, то

уравнение плоскости получается как следствие ком-

3x +3y

+ z

−8

= 0

планарности векторов MM1 , M1M 2 , M1M 3 , то есть ра-

венства нулю их смешанного произведения:

MM1 M1M 2 M1M 3 =

x −3

y +1

z − 2

= 0 3x +3y + z −8 = 0.

1

0

−3

−1

1

0

Найдите отрезки, отсекаемые плоскостью

3x − 4 y − 24z +12 = 0

на координатных осях.

РЕШЕНИЕ:

Приведем уравнение плоскости к виду уравнения

плоскости "в отрезках":

-4; 3; 0,5

3x

−

4 y

−

24z

=

1

x

+

y

+

z

=1,

−12

1/

2

−12

−12

−4 3

где

a = −4, b = 3, c =

1

−

отрезки, отсекаемые

2

плоскостью на осях ox, oy, oz соответственно.

Составьте уравнение плоскости Р, параллельной век-

тору p ={2,1,−1} и отсекающей на координатных осях

отрезки a = 3

и

b = −2 .

РЕШЕНИЕ:

Уравнение искомой плоскости "в отрезках" имеет вид:

x

+

y

+

z

=1. Приведение его к общему виду

3

− 2

c

2x −3y + z = 6

0 дает плоскость с нормальным

− 2cx +

3cy − 6z + 6c =

вектором n ={−2c,3c,−6}. Из условия перпендикулярно-

сти векторов n

и

p : (n p) = −4c + 3c + 6 = 0

c = 6,

n ={2,−3,1} , и уравнение плоскости принимает

вид:

x

+

y

+

z

=1 2x −3y + z = 6 .

3

− 2

6

x + y + z

=1. Так как плоскость проходит через точ-

a

куM 0 (1,7,−5) ,

a =1 + 7 −5 = 3 и уравнение

плоскости принимает вид: x + y + z = 3 x + y + z −3 = 0 .

Найдите угол между плоскостями P1 : x − y − 2z −6 = 0

и P2 : y = 0 .

РЕШЕНИЕ:

Один из двух смежных углов (острый) между плоско-

стями равен углу между их нормальными векторами

60°

n1 ={1,−1,− 2}

и n2 ={0,1,0} и находится из их ска-

лярного произведения:

cosϕ =

(n1 n2 )

=

1 0 −1 1− 2 0

=

−

1

n1

n2

12 +12 +( 2)2 02 +12 +02

2

РЕШЕНИЕ 1:

Составим систему уравнений. Первое уравнение

представляет уравнение плоскости, проходящей через

точку М с нормальным вектором n ={A, B,C} . Второе –

условие прохождения этой плоскости через точку N.

Третье – условие перпендикулярности этой плоскости

и заданной плоскости с нормальным вектором

n1 ={1,1,1} . Получили однородную систему уравнений

4x − 3y − z = 7

для определения А, В, С:

A( x − 2 ) + B( y +1) +C( z − 4 ) = 0,

A +3B −5C = 0,

A + B +C = 0.

Условие существования решения системы

x − 2

y +1

z − 4

= 0 приводит к уравнению иско-

∆ =

1

3

−5

1

1

1

мой плоскости: 4x −3y − z − 7 = 0.

РЕШЕНИЕ 2.

n2 ={2,−1,0}: a = 1

1

−1 ={−1,−2,−3}, и канонические

2

−1

0

уравнения прямой принимают вид:

x

=

y − 2

=

z − 2

и

−1

− 2

−3

x

=

y − 2

=

−

1

− 2

=

z − 2

,

− 3

3x+2

=

3y +2 =

1

2

=

z

,

1

3x − z + 2 = 0,

+ 2 = 0,

2x − y

− 2z − 2 = 0.

3y

z

2

x =

−

,

3

3

2z

2

y =

−

.

3

3

Из этих уравнений z = 3x + 2

и z =

3y + 2

и канони-

2

ческие уравнения прямой можно записать в ви-

де

3x + 2

=

3y + 2

=

z

.

2

1

1

Докажите параллельность прямых

x + 2

y −1

z

x + y − z = 0,

L1 :

=

=

и L2 :

− y −5z −8 = 0.

3

− 2

1

x

n1

={1,1,−1}

и

n2 ={1,−1,−5} :

= [n1 ×n2 ]=

i

j

k

a2

1

1

−1

={−6,4,−2}.

1

−1

−5

Прямые L1

и L2 параллельны, так как компоненты их

направляющих векторов пропорциональны:

l1

=

m1

=

n1

= −

1

.

m2

2