Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика Часть 2

.pdf

Скачиваний:

458

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

4.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

ряют координаты точек направляющей, и получим ис-

комое уравнение цилиндрической поверхности:

16x2 +16 y2 +13z2 −16xz + 24 yz +16x −24 y −26z =131.

Составьте

уравнение конуса

вершиной в точке

S(0;0;5) и направляющей

+ y 2 =1,

= 0.

РЕШЕНИЕ:

Множество точек искомой поверхности образо-

вано точками, лежащими на прямых, проходящих че-

рез некоторую точку направляющей и точку S. Соста-

вим канонические уравнения этих прямых

z −5

. Здесь M(x;y;z) - произвольная точка пря-

(z −5)2

−5

мой, а N(X;Y;0) – фиксированная точка направляющей,

через которую проходит прямая, называемая обра-

зующей. Отсюда X = −

,Y = −

5 y

. Подставим эти

z −5

выражения в уравнение

X 2

+Y 2

=1 , которому удовле-

творяют координаты точек направляющей, и получим

искомое уравнение конической поверхности:

X 2

+Y 2 =

(z −5)2

Составьте уравнение сферы с центром в точке

(3,-5,-2), если плоскость 2x − y −3z +11 = 0 касается

сферы.

(x −3)2 +

РЕШЕНИЕ:

Расстояние от центра сферы до касательной плоскости

+(y +5)2 +

равно радиусу сферы:

R =

3 2 −(−5)−3(−2)+11

= 2 14.

+(z + 2)2 = 56

22 +(−1)2 +(−3)2

Уравнение сферы: (x −3)2 + (y + 5)2 + (z + 2)2 = 56 .

Составьте уравнение сферы, проходящей через точки

(3,1,−3), M2 (−2,4,1), M3 (−5,0,0), центр которой

(x −1)2 +

лежит на плоскости 2x + y − z +3 = 0.

РЕШЕНИЕ:

+(y + 2)2 +

Запишем уравнение сферы в виде

+(z −3)2

(x − x0 )2 +(y − y0 )2 +(z − z0 )2 = R2

и подставим в него

= 49

координаты точек; кроме того, учтем, что центр сферы

лежит на плоскости:

101

(3 − x0 )2 +(1− y0 )2 +(−3 − z0 )2 = R2 ,

(−2 − x0 )2 +(4 − y0 )2 +(1 − z0 )2 = R2 ,

(−5 − x0 )2 +(0 − y0 )2 +(0 − z0 )2 = R2 ,2x0 + y0 − z0 +3 = 0.

Раскрывая скобки, получаем

	2		2	+ z0			2	−6x0	− 2 y0			+ 6z0 +19 = R			2	,
x0		+ y0		+ z0				−6x0	− 2 y0			+ 6z0 +19 = R				,
x	2	+ y	2	+ z		0	2 + 4x −8y				0	− 2z	0	+ 21 = R2		,
0			0			0		0			0		0
x	2	+ y	2	+ z		0	2 +10x			+ 25 = R2 ,
0			0			0		0
2x + y − z					0		+3 = 0.
	0		0		0

Вычитая из третьего уравнения второе и из второго первое, для координат центра сферы получаем равносильную систему

3x0 + 4 y0 + z0 = −2,5x0 −3y0 − 4z0 = −1,2x0 + y0 − z0 = −3,

откуда x0 =1, y0 = −2, z0 = 3 и R = 7 . Уравнение сферы

(x −1)2 + (y + 2)2 + (z −3)2 = 49 .

Методом сечений исследуйте поверхность, заданную
уравнением x2 + y2 − z2 = 4 .
РЕШЕНИЕ:
Перепишем уравнение поверхности в виде
		x2 + y2 = z2 + 4
и рассмотрим сечения поверхности плоскостями z = h .
В сечении получаются окружности с центром на оси
Oz и радиусом R =		h2 + 4 . Это позволяет заключить,
что поверхность является поверхностью вращения с									Однополостный
осью Oz , и точки поверхности существуют при любых									Однополостный
12 значениях z . Рассмотрим осевое сечение плоскостью									гиперболоид
Oxz (или y = 0 ): x	2	− z	2		= 4 .				вращения
Oxz (или y = 0 ): x		− z			= 4 .
Приводя к каноническому виду, имеем
				x2		−	z2	=1
					4	−	4	=1
					4		4
– уравнение гиперболы, Ox – действительная ось, Oz
– мнимая ось.
Итак, поверхность может быть получена вращением
гиперболы относительно ее мнимой оси, т.е. поверх-
ность – однополостный гиперболоид вращения,
Oz – ось симметрии, Oxy – плоскость симметрии.

102

6. ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ

ДЗ № 1. Векторная алгебра

Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 1: Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Определители и матрицы системы линейных уравнений. Линейная алгебра. Основы общей алгебры / А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов [и др.]; под ред. А. В. Ефимова,

А. С. Поспелова. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.: ил.; 21

см. - ISBN 5-940520-34-0.

№

№ по

Задание

Ответ

п/п

Еф.

JJJG

= q

− p ,

JJJG

ABCDEF - правильный шестиугольник,

= −p ,

JJJG

= −pG ,

JJJG

= pG,

JJJG

= qG

. Выразить через p

1.11

причем AB

JJJG

и qG

JJJG

JJG

= p

− q ,

векторы CD , DE , EF , FA ,

, AD и

JJJG

= p

+ q ,

AE .

JJJG

AD = 2q ,

JJJG

− p .

На стороне AD параллелограмма ABCD

JJJG

JJJJG

отложен вектор

AK длиной

, а

JJG

1.18

на диагонали AC - вектор AL длиной

λ = 5

JJJG

JJJJG

JJG

. Доказать, что векторы KL и

JJJG

LB коллинеарны и найти λ такое, что

JJJG

KL = λ LB .

Разложить вектор sG = aG+b + cG по трем

sG = 2 pG

+ 3 qG + 3 rG

1.19

некомпланарным векторам: pG = aG+b − 2cG,

q = a −b ,

= 2b

+3c .

В тетраэдре ОАВС медиана AL грани АВС

делится точкой М в отношении

1.27

JJJJG

JJJG

=3: 7 . Найти координаты вектора

JJJJG

JJG

OM в базисе из ребер OA , OB , OC .

{

}

{

}

а)

5 ,

1.35

Заданы векторы a =

−1,2,0

= 3,1,1 ,

aG ={2,0,1} и aG = aG − 2aG +

1 aG

−

а-г

. Вычислить:

;

1,0

103

а)

и координаты орта a

вектора a ;

;

1,0

б) cos(a1, j)=

б) cos(a1 , j);

в) ax

= −19

;

в) координату ax

вектора a ;

г) пр j a .

г) пр j aG

b = −3 j − 2kG,

= ay = 0

Заданы векторы aG = 2i + 3 Gj ,

а) a0

,0 ;

= i

j − k . Найти:

а) координаты орта a0 ;

б) a

−

+c =

1.39

б) координаты вектора a

−

+ c ;

= 3,

, 0

;

+ b −

в) разложение вектора a

2c по базису

(iG,

Gj,kG);

в) aG+bG−2cG=−2 j ;

г) прGj (aG−bG).

г) прGj (aG−bG)= 6 .

Найти векторxG

, коллинеарный вектору

xG = −5iG +10 Gj +10k

1.43

−

= i

2 j − 2k , образующий с ортом j

острый угол и имеющий длину

=15.

Найти векторxG

, образующий со всеми тремя

1.44

базисными ортами равные острые углы,

x =

2 j + 2k

если

= 2

3 .

При каких значениях α и β векторы

1.46

= −2i +3 Gj +αkG

и b = βi −6 Gj + 2kG

α = −1, β = 4

коллинеарны?

Показать, что тройка векторов e1 ={1,0,0},

={1,1,0}

и eG

={1,1,1} образует базис в

множестве всех векторов пространства.

1.38

Вычислить координаты вектора aG = −2i −k

a = −2e1

+ e2 −e3

в базисе B=(eG,eG

,eG ) и написать

соответствующее разложение по базису.

2π

= 3 ,

= 4 ,

. Вычислить

1.65в

(a1, a2 )=

(aG

+ aG

)2 .

= 3 ,

= 5 . Определить, при каком

1.66

значении

α векторы a1 +αaG2

и a1 −αaG2

α = ±3/ 5

будут перпендикулярны.

Вычислить длину диагоналей

1.67

параллелограмма, построенного на векторах

15;

593

= p

−

3q ,

b =

5 p

+ 2q , если известно, что

104

G G

= 2 2

=3 и (p, q)=

JJG

4 G

В треугольнике АВС AB =3e −

JJJG

. Вычислить длину его высоты

1.69

BC = e +5e

JJJG

CH , если известно, что e1 и e2 взаимно

перпендикулярные орты.

Найти угол, образованный единичными

векторами eG1 и eG2 , если известно, что

векторы aG = eG

+ 2eG и b =5eG

−4eG

1.72

(e1,e2 )= 3

перпендикулярны.

Даны векторы aG

={4, −2,−4} и a ={6, −3,2}.

г)

105 ;

ж)

cosα = 2 / 3,

Вычислить: г)

2aG1 −aG2

; ж) направляющие

1.78 г,

cos β = −1/ 3,

ж, з, и

косинусы вектора a1 ;

cosγ = −2 / 3;

з) −84 /

129 ;

з) прaG1 +aG2 (a1 − 2a2 ); и) cos(a1

, a2 ).

и) 11/21.

1.79

Даны точки A(2,2)

и B(5, −2). На оси абсцисс

(1,0),

π .

найти точку М, чтобы AMB =

(6,0)

Для заданных векторов a , b и c вычислить

1.81

прсG (2aG −3bG):

а) −

а) a

= −i

+ 2 j

+ k

, b =3i + j

+ k

, c

= 4i +3 j ;

1.83

Найти косинус угла ϕ между диагоналями АС

и BD параллелограмма, если заданы три его

вершины А(2,1,3), В(5,2,-1) и С(-3,3,-3).

Найти координаты вектора x , коллинеарного

1, 1 , −1

1.88

вектору

aG =

{

2,1,−1

и удовлетворяющего

}

= 3.

условию ax

Вектор xG перпендикулярен векторам

1.89

aG =

{2,3,−1} и aG

={1, −2,3} и удовлетворяет

{−3,3,3}

(

+k )=−6 . Найти координаты

условию

− j

вектора

x .

=1,

= 2 , (aG

, aG ) =

2π

. Вычислить

1.98 в

в) 10 3

[aG1 +3aG2 ,3aG1 − aG2 ]

1.100 г

Упростить выражение

г) 3

105

G G

G G G

G G

2i j,k +3j

i ,k +4k

i , j

= 5,

1.102

(a,b )=

4 . Вычислить площадь

треугольника, построенного на векторах aG − 2bG

и 3a +

2b .

1.106 в

Заданы векторы a1 ={3, −1,2} и a2 ={1,2, −1}.

в)

Найти координаты вектора [2a1 −aG2 ,2aG1 + aG2 ].

{−12,20,28}

В треугольнике с вершинами А(1,-1,2), В(5,-

1.108

JJG

6,2) и С(1,3,-1) найти высоту h =

Определить, при каких значениях α и β

1.109

вектор αiG +3 Gj + βk

будет коллинеарен

α = −6 ,

вектору

a ={3, −1,1}, b ={1,2,0}.

β = 21

a,b , если

Для заданных векторов a ={2,1, −1},

b ={1,2,1},

1.111

cG ={2,−1,3}, dG ={3,−1,2} вычислить проекцию

G G

−d,c

вектора a + c на вектор b

Найти вектор JJJGAB +

JJJGAC, JJJGBC, JJJGAB , если

1.113

5,16,7

А(2,2,3), В(1,0,4), С(2,3,5).

{

}

Найти координаты вектора x , если известно,

что он перпендикулярен векторам

{

1.118

−6, −24,8

a ={4,−2,−3} и a

{0,1,3}, образует с ортом

}

= 26 .

j тупой угол и

=1,

Векторы a,b

,c образуют левую тройку

1.125

=2,

c b . Найти

-3

=3 и (a,b)=30°; c a,

abc .

Заданы векторы a1 ={1, −1,3},

a2 ={−2,2,1} и

- 7;

aG3 ={3,−2,5}. Вычислить a1aG2aG3 . Какова

1.126

, aG };

а) левая,

ориентация троек: а) {a , aG

, aG

}; б) {a , aG

б) правая,

в) {a1 , aG3 , aG2 }?

в) правая

Установить, образуют ли векторы a , aG

, aG

1.127 б

базис в множестве всех векторов, если

б) да

={2,1,2},

a ={3, −1,−2}.

a ={3,−2,1}, a

1.134

В тетраэдре с вершинами в точках А(1,1,1),

В(2,0,2), С(2,2,2) и D(3,4,-3) вычислить высоту

106

h =

JJG

При каком λ векторы aG,b,cG будут

б) при

1.136 б

компланарны, если a ={1,2λ,1}, b ={1,λ,0},

cG ={0,λ,1}?

любом λ

Найти координаты четвертой вершины

1.138 б

тетраэдра АВСD, если известно, что она лежит

б) (0,1,0)

на оси ОУ, А(0,1,1), В(4,3,-3), С(2,-1,1), а объем

V тетраэдра равен двум.

ДЗ № 2. Прямая и плоскость

№

№ по

Задание

Ответ

п/п

Еф.

Заданы плоскость Р и точка М . Написать

уравнение плоскости Р', проходящей через

2х − у + z − 2 = 0

1.180 а

точку М параллельно плоскости Р, и

вычислить расстояние ρ(Р, Р'), если Р:

−2х + у − z +1 = 0 , M (1,1,1).

Написать уравнение плоскости Р', проходящей

1.181 а

через заданные точки M1 и M2

x + y −3 = 0

перпендикулярно заданной плоскости Р, если

Р: −х + у −1 = 0 , M1 (1,2,0), M2 (2,1,1).

Написать уравнение плоскости, проходящей

1.184 а

через три заданные точки M1 , M2 и M3 , если

x + y −3 = 0

M1 (1,2,0), M2 (2,1,1), M3 (3,0,1).

Исследуйте взаимное расположение

плоскостей Р1 : −х + 2 у − z +1 = 0 ,

Пересекаются,

Р2 : у + 3z −1 = 0 . Если плоскости

1.185

параллельны, найдите расстояние между

ними, если они пересекаются по

cos (P1 , P2 )

некоторой прямой, то найдите косинус

угла между плоскостями.

Исследуйте взаимное расположение

плоскостей Р1 : 2х − у + z −1 = 0 , Р2 :

Параллельны,

−4х + 2 у − 2z −1 = 0 . Если плоскости

1.186

параллельны, найдите расстояние между

ρ (P1

, P2 ) =

ними, если они пересекаются по

некоторой прямой, то найдите косинус

угла между плоскостями.

1.189

Вычислить объем пирамиды,

ограниченной плоскостью Р:

107

2х − 3у + 6z −12 = 0 и координатными

плоскостями.

Написать уравнения плоскостей, делящих

пополам двугранные углы, образованные

3x −6 y + 7z − 4 = 0

1.192 б

плоскостями Р1

и Р2 , если Р1 :

2х − у + 5z −3 = 0 ,

x + 4 y +3z − 2 = 0

Р2 : 2х −10 у + 4z − 2 = 0 .

Составить уравнение плоскости,

1.196

проходящей через точку A(1,1, −1)

2x − y − z − 2 = 0

перпендикулярной к плоскостям

2x − y +5z +3 = 0 и x +3y − z −7 = 0 .

Написать канонические уравнения прямой,

а)

x − 2 =

= z +3 ,

проходящей через точку

−3

M0 (2,0, −3)параллельно:

б)

x − 2

z +3

а) вектору q ={2, −3,5};

−1

б) прямой

x −1

y + 2

z +1

;

в)

x − 2

z +3

1.198

в) оси Ох;

−1

г)

x − 2

z +3

г) оси Оz;

3x − y + 2z −7 = 0,

д) прямой

;

д)

x − 2

z +3

= 0

−4

x +3y − 2z −3

е) прямой x = −2 + t , y = 2t , z =1 −

е)

x − 2

z +3

2 t .

−1/ 2

Заданы прямая L :

x −1

z +1

и точка

а) x − 2 y + z = 0 ,

M (0,1,2) L (проверить!). Требуется:

б) 2x + y −1 = 0 ,

а) написать уравнение плоскости,

в)

x − 2 y + z = 0,

проходящей через прямую L и точку M ;

+ y

−1 = 0

1.200

б) написать уравнение плоскости,

или

проходящей через точку M

y −1

z − 2

перпендикулярно прямой L ;

−1 =

в) написать уравнения перпендикуляра,

опущенного из точки M на прямую L ;

г)18/ 30 ,

г) вычислить расстояние ρ(M , L);

д) M '(3/ 5, −1/ 5,−1).

д) найти проекцию точки M на прямой L .

Заданы плоскость Р: х+ у − z +1 = 0 и

а)

15 , M (1, −6,−4),

1.201

прямая L :

x −1

z +1

, причем

б) 3x − y + 2z −1 = 0 ,

L P (проверить!). Требуется:

108

в)

x + y − z +1 = 0,

а) вычислить sin (P, L) и координаты

точки пересечения прямой и плоскости;

3x − y

+ 2z −1 = 0

б) написать уравнение плоскости,

проходящей через прямую L

перпендикулярно к плоскости Р;

в) написать уравнения проекций

прямой L на плоскость Р.

Пусть заданы две прямые: L :

x − x1

− y1

z − z1

и L :

x − x2

y − y2

z − z2

. Доказать, что прямые L и L лежат в

1.202

одной плоскости в том и только в том случае, если выполнено

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

условие

= 0 .

При каком значении λ плоскость 5x −3y + λz +1 = 0 будет

1.208

x − 4z −1 = 0,

-11

параллельна прямой

2 = 0

y −3z +

Найти уравнения проекции прямой

1.209

x − 4

y +1

на плоскость

x −15

z − 23

−2

−1

x −3y − z +8 = 0 .

Написать уравнения общего

перпендикуляра к прямым L1 и L2 .

54x − 44 y −7z +181 = 0,

1.214 г

L1 :

x + 7

y + 4

z +3

и L2 :

−2

−45x −76 y +34z + 497 = 0

x − 21

y +5

z − 2

−4

−1

		ДЗ №3. Прямая на плоскости

№	№ по	Задание
п/п	Еф.
		Прямая L задана точкой M0 (−1,2) L и
		нормальным вектором n ={2,2}.
1	1.141	Написать уравнение прямой, привести к
		общему виду и построить прямую.
		Привести общее уравнение к нормальному

Ответ

2(x +1)+2(y −2)=0.

Общее уравнение: x + y −1 = 0 .

Нормальное уравнение:

109

виду и указать расстояние от начала

1 x + 1 y − 1 =0;

координат до прямой.

p =

x −1

y − 2

Прямая L задана двумя своими точками

−2

Общее уравнение:

M1 (1,2) и M2 (−1,0).

x − y +1 = 0 .

1.143 а

1). Написать уравнение прямой, привести к

Нормальное

общему виду и построить прямую.

уравнение:

2). Привести общее уравнение к

−

y −

=0;

нормальному виду и указать расстояние от

начала координат до прямой.

p =

Заданы прямая L : −2x + y −1 = 0 и точка

M (−1,2). Требуется:

1). вычислить расстояние ρ(M , L) от

ρ(M , L)=

точки M до прямой L ;

x +1

y − 2

1.144 а

2). написать уравнение прямой L',

L' :

проходящей через точку M

−2

перпендикулярно заданной прямой L ;

L'' :

−2(x +1)+(y − 2)= 0 .

3). написать уравнение прямой L'',

проходящей через точку M параллельно

заданной прямой L .

Исследовать взаимное расположение

прямых L1 : −2x + y −1 = 0 ,

Пересекаются в точке

1.145

L2 :

2 y +1 = 0 (совпадают, параллельны,

M0 (−3/ 4, −1/ 2);

5 .

пересекаются). Найти расстояние между

cos(L1

, L2 )= 2 /

параллельными прямыми или косинус

угла между ними и точку пересечения.

Исследовать взаимное расположение прямых

L :

x + y −1 = 0 , L :

y +1

(совпадают,

Параллельны;

1.148

2 −2

ρ(L , L )=

2 .

параллельны, пересекаются). Найти

расстояние между параллельными прямыми

или косинус угла между ними и точку

пересечения.

1.152

Вычислить расстояние от точки M (1,1) до

4 / 5 .

прямой L : x = −1 + 2t ,

y = 2 +t .

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.02.201533.44 Кб65Выполнение заданий по истории.docx
#
10.12.2018137.22 Кб2Выполнение программ_для конспекта.doc
#
01.09.2019264.7 Кб3Выполнение реферата, метод. указания.doc
#
15.11.2019440.97 Кб1Выполняла.docx
#
11.07.201925.86 Кб3выразительные средства.docx
#
23.02.20154.52 Mб458Высшая математика Часть 2.pdf
#
13.08.201969.66 Кб2Высшие органы законодательной власти.docx
#
22.02.20151.41 Mб36Вычмат.doc
#
22.02.2015252.69 Кб4вэд.docx
#
13.03.201635.57 Mб95Вэриан Микроэкономика.pdf
#
09.11.20181.89 Mб3Г.М.Андреева Социальная психология.doc