|
x2 |
− |
y2 |
=1 |
- каноническое уравнение гиперболы. |
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
Гипербола – центральная линия второго порядка. Она состоит из двух бесконечных ветвей, симметрична относительно осей. Элементами гиперболы являются: точка О - центр гиперболы; точки А и В - вершины гиперболы;
точки F1(+ с,0) и F2(- с,0) - фокусы гиперболы; 2с - фокусное расстояние,
которое вычисляется по формуле c = 
b2 + a2 ; AB=2a - действительная ось
|
гиперболы; CD=2b - мнимая ось гиперболы; |
b = c2 −a2 ; e = |
c |
= |
1+ b2 |
, e >1 |
- |
|
a |
|
|
|
|
a2 |
|
|
эксцентриситет гиперболы.
Эксцентриситет определяется отношением осей гиперболы и характеризует еe форму: чем больше e, тем более вытянут вдоль мнимой оси основной прямоугольник гиперболы.
Асимптоты гиперболы - это прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении в бесконечность.
|
b |
|
|
Уравнения асимптот гиперболы имеют вид: |
y = ± |
|
|
x |
. |
|
|
a |
|
|
Угол α между асимптотами зависит от значения эксцентриситета гиперболы
|
e = |
c |
>1, он определяется из уравнения |
tg |
α |
= |
b |
. При a = b гипербола |
|
a |
2 |
a |
|
|
|
|
|
|
называется равнобочной, ее асимптоты взаимно перпендикулярны, уравнение гиперболы имеет вид: x2 − y2 = a2 . Если принять асимптоты за оси координат,
|
то уравнение гиперболы примет вид: xy = |
a2 |
, то есть равнобочная гипербола |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является графиком обратной пропорциональности. |
|
|
|
|
|
|
Прямые |
d1 и d2 , |
перпендикулярные |
|
|
|
|
|
|
действительной оси гиперболы и отстоящие от |
|
|
|
|
|
|
ее центра на расстояниях |
d = ± a , называются |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
директрисами гиперболы, соответствующими |
|
|
|
|
|
|
фокусам F1 и F2. Отношение расстояния любой |
|
|
|
|
|
|
точки гиперболы до фокуса к расстоянию ее до |
r1 |
|
r2 |
|
|
соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету |
= |
= e . |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Сопряженные гиперболы – две гиперболы, которые в одной и той же системе прямоугольных координат при одних и тех же значениях a и b
определяются уравнениями
|
x2 |
− |
y2 |
=1 |
и |
|
x2 |
− |
y2 |
= −1 |
. |
|
a2 |
b2 |
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты. Действительная ось каждой из них есть мнимая ось другой и наоборот.
x = a ch t,
y = bsh t, - параметрические уравнения правой ветви гиперболы; t (−∞, ∞)
|
b2 |
|
ρ = |
a |
- уравнение правой ветви гиперболы в полярных координатах, |
1 −ecosϕ |
|
связанных с фокусом, e = |
a2 |
+b2 |
- эксцентриситет гиперболы. |
|
a |
|
|
|
Парабола
Парабола - геометрическое место точек M (x, y),
равноудалённых от заданной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы).
|
JJJJG |
|
JJJJG |
|
JJJJG |
|
p |
|
|
FM |
= |
MK |
. |
MK |
= |
|
+ x , |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 = 2 px |
|
- каноническое уравнение параболы с |
вершиной в начале координат,
точка О - вершина; OX - ось параболы;
точка F(р/2,0) - фокус; x = − 2p - уравнение директрисы;
e =1- эксцентриситет; p - фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или половина хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси OX).
( y − y )2 |
= 2 p(x − x ) |
- каноническое уравнение параболы с вершиной в |
0 |
0 |
|
точке (x0,y0);
|
ρ = |
|
|
p |
|
- уравнение параболы в полярных координатах, связанных с |
|
1 |
−cosϕ |
|
|
|
|
фокусом;
x =t, |
|
|
|
|
- параметрические уравнения параболы. |
|
2 pt |
y = |
|
|
|
|
Уравнения вырожденных кривых второго порядка (прямые)
a2 x2 −c2 y2 = 0, |
- |
уравнения двух пересекающихся |
y = ± a x |
прямых; |
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
- |
уравнения |
двух параллельных |
y2 −a2 = 0, |
|
y = ±a |
|
прямых; |
|
|
|
- уравнение двух совпадающих с осью OX прямых. |
y2 = 0 |
|
|
|
|
|
Преобразования координат |
Для приведения кривой Ax2 |
+ 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 к |
каноническому виду следует подвергнуть уравнение преобразованиям:
x = x′cosα − y′sinα,y = x′sin α + y′cosα,
|
π |
, А=С, |
|
|
|
4 |
|
|
α = |
|
2B |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
arctg |
, |
А≠С, |
|
|
|
|
|
|
|
A−C |
2 |
|
|
|
и выделить полный квадрат для определения центра кривой, если он существует.
(x − x )2 |
+ ( y − y )2 |
= R2 |
- уравнение окружности с |
0 |
0 |
|
|
центром в точке O '(x0 , y0 ) и радиусом R;
|
(x − x )2 |
± |
( y − y )2 |
=1 |
- уравнения эллипса и гиперболы с |
центром |
|
0 |
|
0 |
|
a2 |
|
|
b2 |
|
|
|
|
симметрии в точке O'(x0, y0 ); |
|
|
y − y = ± b |
(x − x ) |
- уравнения асимптот гиперболы; |
|
|
0 |
a |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- уравнение параболы с вершиной в точке O'(x , y ). |
( y − y )2 = 2 p(x − x ) |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
При переходе от одной системы прямоугольных координат к другой мы заменяем уравнение Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 линии второго порядка другим уравнением
A1x2 +2B1xy +C1 y2 +2D1x +2E1 y + F1 = 0 .
При этом выражения |
I = A +C = A +C |
и |
I2 = |
A1 |
B1 |
= |
A B |
1 1 1 |
|
B1 |
C1 |
|
B C |
|
|
|
|
|
остаются равными. Они называются инвариантами (неизменными) уравнения второй степени.
С их помощью различают три типа линий второго порядка.
1). Эллиптический тип, если I2 = AC − B2 > 0.
К нему относятся, кроме действительного эллипса, также мнимый эллипс
и пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке
x2 + y2 = 0 . a2 b2
2). Гиперболический тип, если I2 = AC − B2 < 0 .
К нему относится, кроме гиперболы, пара действительных
|
пересекающихся прямых |
x2 |
− |
y2 |
= 0. |
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
3). Параболический тип, если I2 = AC − B2 = 0.
К нему относится, кроме параболы, пара параллельных (действительных или мнимых) прямых (они могут совпадать).
Линии в полярной системе координат
Полярные координаты
JJJJG
OM = ρ, 0 ≤ ρ < +∞, 0 ≤ϕ< 2π.
Связь полярных координат с декартовыми
Для M(x,y) и M( ρ ,ϕ ):
|
x = ρ cosϕ, |
ρ = x2 + y2 , |
|
|
|
y |
|
|
y = ρ sin ϕ, |
tgϕ = |
. |
|
|
|
|
|
x |
Окружности
ρ = a cosϕ, а=const >0. |
ρ = 2 a sin ϕ , а=const >0. |
Спирали |
|
Архимедова спираль: ρ = aϕ, 0 ≤ϕ < ∞, |
0 ≤ ρ < +∞. |
Гиперболическая спираль: ρ = ϕa , 0 ≤ϕ < ∞, 0 ≤ ρ < +∞, a > 0.
Логарифмическая спираль: ρ = aϕ , a > 0, a ≠1; 0 ≤ϕ < ∞, 0 ≤ ρ < +∞.
165
Розы
Двухлепестковые розы:
ρ = a sin 2ϕ, a>0; 0 ≤ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ a ; ρ = a cos 2ϕ, a>0; 0 ≤ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ a .
Четырехлепестковые розы a > 0
ρ = a sin 2ϕ ; 0 ≤ϕ < 2π, 0 ≤ ρ ≤ a ; ρ = a cos 2ϕ ; 0 ≤ϕ < 2π, 0 ≤ ρ ≤ a .
Трёхлепестковые розы:
ρ = a sin 3ϕ; 0 ≤ϕ < 2π, 0 ≤ ρ ≤ a, a>0 ; ρ = a cos 3ϕ; 0 ≤ϕ < 2π, 0 ≤ ρ ≤ a, a>0 .
Лемниската Бернулли
ρ2 = 2a2 cos 2ϕ
Вершины кривой находятся в точках A(a 2,0); C(−a 2,0).
Площадь каждой петли S = a2.
Кардиоида
В полярных координатах ρ = a(1 + cos ϕ), a > 0. Вершина кардиоиды находится в точке А (2а,0).
|
Укажем, что площадь кардиоиды S = |
3π a2 |
, |
|
2 |
|
а длина L= 8a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметрическое задание линий |
|
|
|
Окружность |
|
|
x = R cos t, |
- параметрические уравнения |
|
|
|
|
|
y = R sin t |
окружности. |
|
|
|
|
|
|
|
Исключим из параметрических уравнений параметр t. Для этого возведём эти уравнения в квадрат и сложим их: x2 + y2 = R2 (cos2 t +sin2 t) = R2 .
Циклоида
x = a(t −sin t), |
где |
|
−cost), |
y = a(1 |
|
− ∞ <t < ∞.
При 0 ≤ t < 2π получаем первую арку циклоиды. Укажем, что длина дуги OAO1 =8a , а
площадь одной арки
S = 3πa2 .
|
|
|
Астроида |
3 |
|
|
x = Rcos |
t, |
|
|
где 0 ≤ t < 2π . В декартовых |
|
|
|
y = Rsin3 t, |
|
|
|
|
|
координатах уравнение астроиды x2/3+y2/3=R2/3. Длина астроиды L= 6R, а площадь, ограниченная астроидой, S = 3π R2/8.
167
IV. Поверхности второго порядка
Эллипсоид
|
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z 2 |
=1 |
. |
|
a2 |
b2 |
c2 |
|
|
|
|
|
Гиперболоиды
Однополостный гиперболоид
|
x2 |
+ |
y 2 |
− |
z 2 |
=1 |
. |
|
a2 |
b2 |
c2 |
|
|
|
|
|
Двуполостный гиперболоид
|
x2 |
+ |
y 2 |
− |
z 2 |
= −1 |
. |
|
a2 |
b2 |
c2 |
|
|
|
|
|
Параболоиды
Эллиптический параболоид
|
x2 |
+ |
y 2 |
= pz, p > 0. |
|
a2 |
b2 |
|
|
|
Гиперболический параболоид
|
x2 |
− |
y 2 |
= pz, p > 0. |
|
a2 |
b2 |
|
|
|
Конус второго порядка
|
x2 |
+ |
y 2 |
− |
z 2 |
= 0 |
. |
|
a2 |
b2 |
c2 |
|
|
|
|
|
