Высшая математика Часть 2

Гипербола – центральная линия второго порядка. Она состоит из двух бесконечных ветвей, симметрична относительно осей. Элементами гиперболы являются:

точка О - центр гиперболы; точки А и В - вершины гиперболы;

точки F1(+ с,0) и F2(- с,0) - фокусы гиперболы;

2с - фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле c = b2 + a2 ;

AB=2a - действительная ось гиперболы;

CD=2b - мнимая ось гиперболы, b = c2 −a2 ;

Эксцентриситет определяется отношением осей гиперболы и характеризует еe форму: чем больше e, тем более вытянут вдоль мнимой оси основной прямоугольник гиперболы.

Асимптоты гиперболы - это прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении в бесконечность.

Угол α между асимптотами зависит от значения эксцентриситета гиперболы

называется равнобочной, ее асимптоты взаимно перпендикулярны, уравнение гиперболы имеет вид: x2 − y2 = a2 . Если принять асимптоты за оси координат,

отстоящие от ее центра на расстояниях d = ± ae ,

называются директрисами гиперболы, соответствующими фокусам F1 и F2. Отношение расстояния любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию ее до соответствующей директрисы

31

Сопряженные гиперболы – две гиперболы, которые в одной и той же системе прямоугольных координат при одних и тех же значениях a и b определяются уравнениями:

Сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты. Действительная ось каждой из них есть мнимая ось другой и наоборот.

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек M(x,y), расстояние которых до определенной точки F(p/2,0) (называемой фокусом параболы) равно расстоянию до определенной прямой (называемой директрисой параболы).

y2=2 p x - каноническое уравнение параболы.

Парабола – нецентральная линия второго порядка. Она состоит из одной бесконечной ветви, симметричной относительно оси. Элементами параболы являются:

точка О - вершина параболы; OX - ось параболы;

точка F(р/2,0) - фокус параболы;

x = − 2p - уравнение директрисы параболы;

e =1 - эксцентриситет параболы,

p - фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или половина длины хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси).

3.4. Преобразования координат Параллельный перенос

Перенесём начало координат из точки О в точку О1 параллельным переносом осей. Пусть в системе координат XOY точка М имеет координаты x и y. Система координат X′O1Y′ получена из системы координат XOY

32

параллельным переносом осей, при котором начало координат О1 имеет координаты x0 и y0 в системе координат XOY.

Точка М в системе координат X′O1Y′ имеет координаты x′ и y′. Связь между координатами точки M(x,y) и точки M(x′,y′) в старой и новой системах координат задается формулами:

Уравнения кривых второго порядка, когда их центры симметрии находятся в точке с координатами O1(x0,y0), получаются с помощью преобразования координат при параллельном переносе осей (2):

33

Эти формулы выражают старые координаты (x,y) произвольной точки М через новые координаты (x′,y′) этой же точки при повороте осей на угол α.

Формулы, выражающие новые координаты (x′,y′) точки М через её старые координаты (x,y), получим из следующих соображений: если новая система получена поворотом старой на угол α, то старая система получается поворотом новой на угол (-α), поэтому в равенствах (3) можно поменять местами старые и новые координаты, заменяя одновременно α на (-α).

Выполнив это преобразование, получим

x′ = xcos α + ysin α,y′ = −xsin α+ y cos α.

Изменение начала координат и поворот осей

Если оси декартовой прямоугольной системы переносятся параллельно на величины x0 по оси ox и на y0 по оси oy и, кроме того, поворачиваются на угол α, то этому изменению системы соответствуют формулы преобразования координат, выражающие старые координаты через новые

Всякая линия второго порядка есть либо эллипс, либо парабола, либо гипербола, либо распадается на пару прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих).

Приведение этого уравнения к каноническому виду заключается в

нахождении системы координат, в которой кривая имеет канонический вид, геометрически это может быть достигнуто поворотом координатных осей на угол, совмещающий оси симметрии кривой с координатными осями и

переносом начала координат в центр или вершину кривой (x0 , y0 ). Кривые

второго порядка, имеющие центр, называются центральными. Алгебраически это приводит к сокращению членов с произведением

текущих координат и членов, содержащих их в первой степени, после применения формул (1) и (3).

1). Преобразуем уравнение (6) поворотом осей координат на угол α так, чтобы исчезло слагаемое, содержащее произведение неизвестных. Преобразо-

34

вание поворота имеет вид:

x = x′cosα − y′sin α, y = x′sin α + y′cosα,

где x′, y′ - новые координаты. Уравнение примет вид:

A1x′2 +2B1x′y′+C1 y′2 + 2D1x′+ 2E1 y′+ F1 = 0 ,

где главный интерес представляет коэффициент перед произведение x′ y′:

C1 = −B sin 2α − 12 (A −C )cos 2α + 12 (A + C ).

2). Члены, содержащие переменные в первой степени, исчезают после выделения в общем уравнении полных квадратов, тем самым алгебраически позволяют найти центр или вершину кривой после применения формул

x′′ = x′ + x0 ,y′′ = y′ + y0 .

Заметим, что преобразование параллельного переноса не изменяет коэффициентов A1 и C1 и конечный результат преобразований может быть

проанализирован уже после преобразования поворота. Кроме того, при преобразовании поворота коэффициенты уравнения меняются,

Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

переходит в

A1 x′2 + C1 y′2 + 2D1 x′ + 2E1 y′ + F1 = 0 ,

но некоторые комбинации коэффициентов, а именно,

сохраняют свои значения. Такие величины носят название инвариантов (неизменных величин) уравнения второй степени.

35

С помощью инвариантов различают три типа линий второго порядка. 1). Эллиптический тип, если I2 = AC − B2 > 0 .

К этому типу относятся, кроме действительного эллипса, также мнимый эллипс

x2 + y2 = −1 a2 b2

и пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке

x2 + y2 = 0 . a2 b2

2). Гиперболический тип, если I2 = AC − B2 < 0 .

К нему относится, кроме гиперболы, пара действительных пересекающихся прямых

3). Параболический тип, если I2 = AC − B2 = 0 .

К нему относится, кроме параболы, пара параллельных (действительных или мнимых) прямых (они могут совпадать).

ПРИМЕР: Приведите уравнение 5x2 +9 y2 −30x +18y +9 = 0 к каноническому

виду и постройте кривую.

Выделим полный квадрат: сгруппируем члены этого уравнения, содержа-

36

Определим угол поворота осей по формуле (7):

3.5. Линии в полярной системе координат

Полярные координаты определяются заданием на плоскости полюса О (0,0) и полярной оси ρ.

Координаты точки М в полярных координатах задаются длиной радиус-вектора OM =ρ этой точки

и углом его наклона к полярной оси, отсчитываемым

против часовой стрелки.

При этом 0 ≤ρ< +∞, 0 ≤ϕ< 2π.

Связь полярных координат с декартовыми

Совместим начало декартовой системы с полюсом полярной системы координат, а ось OX с полярной осью ρ .

Связь координат точки M(x,y) и M( ρ,ϕ):

37

ρ > 0 , с возрастанием угла ϕ от 0 до π/2 косинус этого угла убывает от 1 до 0, таким образом, ρ убывает от а до 0 в точке О(0, π/2), и

радиус-вектор точки М описывает верхнюю половину окружности. Нижняя её половина получается при изменении ϕ от 3 π/2 до 2 π. Этим значениям угла соответствуют положительные значения cosϕ, возрастающие от 0 до 1, что приводит к возрастанию ρ от 0 до а и геометрическому замыканию окружности.

каноническое уравнение окружности с центром в точке (a/2,0) и радиусом a/2. Постройте самостоятельно кривую ρ = asin ϕ, a > 0.

Спирали

Архимедова спираль: ρ= аϕ, 0 ≤ ϕ<∞, 0 ≤ρ< +∞.

Для построения архимедовой спирали нужно вычислить значения ρ при различных значения ϕ:

OA = a π2 ;OB = 2OA = 2 a π2 ;OC = 3OA = 3 a π2 ;…и так далее.

Кривая представляет собой линию, описываемую точкой, движущейся с постоянной скоростью по лучу, вращающемуся около полюса О с постоянной скоростью ω: a = ωv .

38

Функция ρ = asin 2ϕ при а>0 принимает допустимые, неотрицательные

строим кривую, содержащую косинус.

Трёхлепестковые розы:

ρ= asin3ϕ; 0 ≤ϕ< 2π, 0 ≤ρ≤ a, a>0 ; ρ= acos3ϕ; 0 ≤ϕ< 2π, 0 ≤ρ≤ a, a>0

40