Высшая математика Часть 2
.pdf
|
ϕ = arccos |
|
1 |
|
= π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Найдите уравнения прямой, проходящей через точку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
M (3,2,−1) |
|
|
|
и пересекающей ось ox под прямым углом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Уравнение искомой прямой можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
уравнения прямой, проходящей через две точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
M1 (x1 , y1 , z1 ) и M 2 (x2 , y2 , z2 ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
|
x − x1 |
= |
|
|
y − y1 |
|
= |
|
|
z −z1 |
|
. По условию M1 (3,2,−1). |
|
x −3 |
= |
y −2 |
= |
|
z +1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
−2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 − x1 |
y2 − y1 |
z2 − z1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Вторую точку находим из условия, что прямая пер- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
пендикулярна оси ox и пересекает ее, то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
M 2 (3,0,0), и уравнение искомой прямой принимает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x −3 |
= |
y − 2 |
= |
|
z +1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Составьте параметрические уравнения прямой L, про- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
ходящей через точку M 0 (2,0,−3) параллельно прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
L : |
x −1 |
= |
|
y + 2 |
|
= |
z +1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
В качестве направляющего вектора искомой прямой L |
|
|
|
x |
|
= 5t +2, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
можно взять направляющий вектор прямой L1 : |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17 |
|
|
|
y = 2t, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a = a1 ={5,2,−1}, так как прямые L иL1 параллельны по |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
= −t −3. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
условию; канонические уравнения прямой |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
L : |
|
x − 2 |
= |
|
|
|
y |
|
= |
z + 3 |
|
могут быть приведены к параметри- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ческому виду, если приравнять входящие в них отно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
шения значению параметра t: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x = 5t + 2, |
y = 2t, |
z = −t −3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Напишите канонические уравнения прямой L, прохо- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
дящей через точку M 0 (2,0,−3) параллельно прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
L1 : |
3x − y + 2z −7 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x +3y − 2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −2 |
|
|
y |
|
|
z +3 |
|||||||||||||||||||||||||
18 |
Прямая L, параллельная прямой L1 , будет перпенди- |
|
= |
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
кулярна нормальным векторам |
|
−4 |
|
|
8 |
|
10 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n1 ={3,−1,2} |
и |
|
|
|
n2 ={1,3,−2} плоскостей, образующих |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
прямую L1 , то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a = [n1 ×n2 ]= |
|
i |
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
−1 |
|
2 |
={−4,8,10}, и канонические |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71
19
20
уравнения прямой L принимают вид:
x − 2 |
= |
y |
= |
z + 3 |
. |
− 4 |
8 |
|
|||
|
10 |
|
Определите, при каком значении l прямые
L1 |
: |
x + 2 |
= |
y |
= |
z −1 |
и L2 |
: |
x −3 |
= |
y −1 |
= |
z − |
7 |
пересе- |
|
|
−3 |
|
l |
4 |
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
каются. РЕШЕНИЕ 1:
По условию прямая L1 проходит через точку M1 (−2,0,1) , а прямая L2 - через точку
Условием пересечения двух прямых будет условие компланарности векторов M 2 M1 , a1 , a2 , которое можно записать в виде:
|
|
|
|
|
|
x2 − x1 |
|
|
|
|
y2 − y1 |
z2 − z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
M 2 M1 a1 a2 = |
|
|
l1 |
|
|
|
|
|
m1 |
n1 |
|
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
|
|
|
|
|
m2 |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
то есть |
|
|
5 |
1 |
6 |
|
|
|
= 22l −66 = 0, |
|
откуда |
l = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
−3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
l |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
РЕШЕНИЕ 2: |
|
|
|
|
|
−3x −6 = 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решим систему |
|
|
|
2x +4 |
= z −1 |
. Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y −2 = 4z −28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x = 0, y = −3, z = 5. Подставим в последнее уравне- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ние с l: |
−3 = |
|
−3 −1 |
l = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Составьте уравнение прямой, проходящей через точку |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M1 (1,1,1) , пересекающей прямую L1 : |
|
x |
= |
y |
|
= |
z |
|
и пер- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
пендикулярную прямой L2 : |
x −1 |
= |
y − 2 |
= |
z −3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
y −1 |
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Уравнение искомой прямой L : |
|
= |
|
= |
. Она |
x −1 |
|
y −1 |
|
z −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
n |
|
|
|
= |
|
|
= |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
2 |
|
−5 |
|||||||||||||
лежит в одной плоскости с прямой |
L1 , проходящей |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
через точку M 2 (0,0,0) , то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
M 2 M1 a1 a2 = |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
= l − 2m + n = 0, |
|
|
и перпендику- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
m |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лярна прямой L2 с направляющим вектором |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
a2 ={2,1, 4} . Условие перпендикулярности прямых за- |
|
|
|
|
|
|
|
|
72
ключается в равенстве (a1 a2 ) = 0 2l + m + 4n = 0. Ре-
шим систему l − 2m + n = 0 |
для определения |
|
|
||||||||||
|
2l + m + 4n = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
l, m и n. Выражая l и m через n , найдем |
|||||||||||||
l − 2m = −n, |
l − n + 2m, |
при m = − |
2 |
|
|
9 |
n, та- |
||||||
|
|
|
n, l = − |
||||||||||
|
5 |
||||||||||||
2l + m = −4n, |
5m = −2n, |
|
|
|
5 |
|
|
|
|||||
ким образом, l : m : n = 9 : 2 : (−5) |
и уравнение искомой |
||||||||||||
прямой L имеет вид: |
x −1 |
= |
y −1 |
= |
z −1 |
. |
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
9 |
|
|
|
−5 |
|
|
РЕШЕНИЕ 2:
x =1+αt
Рассмотрим пучок прямых: y =1+ βt . Из условия
z =1+γt
перпендикулярности имеем 2α + β +4γ = 0 β = −2α −4γ . Условие пересечения
|
даёт систему: |
1+αt |
= |
1+ βt |
= |
1+γt |
,t ≠ 0, или |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 +2αt =1+ βt =1− |
2(α +2γ )t |
. Из системы следует |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 +3αt =1+γt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
α = − |
9 |
|
, β = − |
2 |
|
,γ = |
5 |
|
. Таким образом, в качестве |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
16t |
|
|
|
16t |
|
|
16t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
направляющего вектора можно взять вектор |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
{−9,−2,5}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
L: |
x −1 |
= |
|
y −1 |
= |
z −1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
9 |
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Прямая и плоскость |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Найдите точку пересечения прямой L : |
x −1 |
= |
|
y +1 |
= |
z |
|
и |
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
− 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
плоскости P : 2x + 3y + z −1 = 0. |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Для определения координат точки пересечения запи- |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
21 |
шем уравнения прямой L в параметрическом виде: |
|
(2,-3,6) |
|||||||||||||||||||||||||||
x −1 = t, y +1 = −2t, |
z |
= 6t . Подставляя эти выражения в |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
уравнение плоскости Р, получим уравнение для опре- |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
деления значения параметра t, соответствующего точ- |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
ке их пересечения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2(t +1) +3(−2t −1) + 6t −1 = 0 t =1, следовательно, коор- |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
динаты искомой точки x = 2, |
y = −3, |
z = 6. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
22 |
Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через |
|
4x +6 y +5z =1 |
|||||||||||||||||||||||||||
данную прямую L и точку |
|
M 0 (2,−2,1) , если прямая |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
73
x = 2t +1,
L : y = −3t + 2, задана параметрическими уравнения-
z = 2t −3,
ми. РЕШЕНИЕ 1:
Перейдем к каноническим уравнениям прямой
L : x 2−1 = y−−32 = z +2 3 . Чтобы записать уравнение пучка
плоскостей, проходящих через прямую L, и выбрать из него искомую плоскость, проходящую через точку M 0 , составим уравнение прямой L в виде ее проекций
на плоскости XOY и XOZ. Из канонических уравнений получим
−3(x −1) = 2( y − 2) |
|
3x |
+ 2 y −7 |
= 0 |
|
||||||||||||
L : |
2(x |
−1) = 2(z |
+3) |
|
− z − 4 = 0. |
|
|||||||||||
|
|
x |
|
||||||||||||||
Уравнение пучка плоскостей через прямую L имеет |
|
||||||||||||||||
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − z −4) +λ(3x +2 y −7) = 0 (1+3λ)x + 2λy − z −(4 +7λ) = 0. |
|
||||||||||||||||
Так как плоскость проходит через точку M 0 , подста- |
|
||||||||||||||||
вим ее координаты в уравнение пучка плоскостей и |
|
||||||||||||||||
найдем значение λ , определяющее искомую плос- |
|
||||||||||||||||
кость 2 +6λ −4λ −1−4 |
−7λ = 0 λ = − 3 , и уравнение |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
плоскости Р будет иметь вид: 4x + 6 y + 5z −1 = 0. |
|
||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ 2: |
|
|
|
x = 2t +1, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдем на прямой L : y = −3t + 2, |
две точки, например, |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 2t −3 |
|
|
|||
t1 = 0 |
и t2 = 0 , откуда M1 (1, 2, −3) L и M2 (3, −1, −1) L . |
|
|||||||||||||||
Из уравнения плоскости, проходящей через три точки |
|
||||||||||||||||
M0 , M1 , M2 , получаем |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
P : |
|
x −2 |
|
y +2 |
z −1 |
|
= 0 4x +6 y +5z −1 = 0. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
−1 |
4 |
|
−4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Составьте уравнение плоскости, проходящей через |
|
||||||||||||||||
прямую |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
L1 |
3x + 2 y +5z + 6 = 0, |
параллельно прямой |
|
||||||||||||
23 |
|
: |
+3z + 4 = 0, |
2x +3y + 4z = −5 |
|||||||||||||
|
|
|
x + 4 y |
|
|
||||||||||||
L2 : |
x −1 |
|
= |
y −5 |
= |
z +1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
РЕШЕНИЕ 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74
Запишем уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую L1 :
3x +2 y +5z +6 +λ(x + 4 y +3z + 4) = 0
(3 +λ)x +(2 + 4λ) y +(5 +3λ)z +(6 + 4λ) = 0.
Выберем из всех плоскостей с нормальными векторами n ={3 + λ,2 + 4λ,5 +3λ} ту, которая параллельна направляющему вектору прямой L2 , равному
a2 ={3,2,−3}. Нормальный вектор плоскости n , перпендикулярен a2 и удовлетворяет условию (n a2 ) = 0 : 3(3 + λ) + 2(2 + 4λ) −3(5 +3λ) = 0 . Из этого уравнения находим значение λ =1 , при котором уравнение искомой плоскости принимает вид:
2x + 3y + 4z + 5 = 0 .
РЕШЕНИЕ 2:
Найдем нормальный вектор искомой плоскости как векторное произведение направляющих векторов прямых.
a2 |
={3, 2, −3}; |
|
||||||
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a1 = |
3 |
2 |
5 |
|
={−14, −4,10} {7, 2, −5} ; |
|||
|
|
|
1 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
||
|
|
|
|
|||||
n = |
3 |
2 |
−3 |
={−4, −6, −8} {2,3, 4}. |
||||
|
|
7 |
2 |
−5 |
|
|
||
Найдем произвольную точку на |
||||||||
L1 |
3x |
+2 y +5z +6 = 0, |
|
|||||
: |
|
|
|
|
|
|||
|
x +4 y +3z + 4 = 0. |
|
||||||
Положим |
x = 0 , из 2 y +5z = −6, |
найдем |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 y +3z = −4, |
|
M0 (0, − 17 , − 87 ) . Уравнение плоскости с нормальным
вектором n , проходящей через точку M0 , имеет
вид:
2(x −0) +3( y + 17 ) + 4(z + 87 ) = 0 → 2x +3y + 4z +5 = 0.
|
Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через |
|
||||||||
|
прямую L : |
x −1 |
= |
y |
= |
z +1 |
|
перпендикулярно к плоско- |
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|||||
24 |
сти |
|
|
1 |
|
3x − y + 2z −1 |
= 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1 : x + y − z +1 = 0, L P.
РЕШЕНИЕ:
75
Уравнение прямой L в проекциях: |
|
2x − 2 = |
0, |
|
|
= 0. |
|
|
y − 2z − 2 |
Уравнение пучка плоскостей, проходящих через пря-
мую L, имеет вид:
(2x−2)+λy−2z−2) =0 2x+λy−2λz−2(λ+1) =0
с общим нормальным вектором n ={2,λ,−2λ}, завися-
|
щим от параметра λ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Условие перпендикулярности искомой плоскости и |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
плоскости P1 с n1 ={1,1,−1} имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
(n n1 ) = 2 +λ + 2λ = 0 и дает значение λ = − 2 , при кото- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ром получается уравнение плоскости Р в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3x − y + 2z −1 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Найдите уравнения проекции прямой L : |
x −1 |
= |
y +1 |
= |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
на плоскость P : x + y + 2z −5 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Запишем уравнение пучка плоскостей, проходящих |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
через прямую L, уравнение которой в проекциях име- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
ет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2x − y −3 = 0, (2x − y −3) +λ(3x − z −3) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 0, (2 +3λ)x − y −λz −3(1+λ) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3x − z −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Плоскость P1 из этого пучка, проектирующая эту |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
прямую L на плоскость Р, определится из условия |
|
|
|
|
5 |
= z |
|
5 |
|
|||||||||||||||||||||
25 |
перпендикулярности этих плоскостей с нормальными x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
= y − 3 |
− |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
векторами n1 ={(2 +3λ), −1, −λ} и |
n ={1,1,2}; |
|
|
|
1 |
|
−1 |
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||
|
(n1 n) =1(2 +3λ) +1(−1) + 2(−λ) = 0, |
откуда λ = −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
При этом значении λ получаем уравнение проекти- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
рующей плоскости P1 : x + y − z = 0 , а проекцией прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
L на плоскость Р будет линия пересечения двух плос- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
костей |
x + y + 2z −5 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
или в каноническом виде: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Lпр : |
x + y |
− z = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
|
y − |
|
|
|
= |
z − |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
пр |
: |
= |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Найдите проекцию точки M (5,2,−1) на плоскость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
P : 2x − y + 3z + 23 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
26 |
РЕШЕНИЕ 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1,4,-7) |
|
|
|
|||||||||||
Проекцией точки M на плос- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
кость Р будет точка пересечения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
прямой L, проходящей через |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76
|
точку М перпендикулярно к плоскости Р. Уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
перпендикуляра через точку М будет иметь вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
L : |
x −5 |
|
= |
y − 2 |
= |
|
z +1 |
= t |
и координаты проекции M |
пр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
−1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
найдем, подставив x = 2t + 5, |
|
|
y = −t + 2, |
|
z = 3t −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в уравнение плоскости Р: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2(2t +5) +t −2 +3(3t −1) + 23 = 0, |
|
откуда |
|
t = −2 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
xпр =1, |
|
|
yпр = 4, |
|
zпр = −7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ 2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Координаты точки проекции можно найти непосред- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
−5 |
|
|
|
|
|
y −2 |
|
|
z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ственно решая систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
− y + |
3z + |
23 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Найдите: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1) проекцию точки M (0,1,2) на пря- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
мую L : |
|
x −1 |
= |
y |
= |
z +1 |
, |
|
|
|
M L , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
до |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2) расстояние от точки M (0,1,2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
этой прямой, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3) запишите уравнение перпендикуляра L1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
M (0,1,2) |
|
на прямую L : |
x −1 |
= |
|
|
y |
= |
z +1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4) найдите точку N , симметричную точке M (0,1,2) от- |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
z + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, − |
|
||||||||||||||||
|
носительно прямой L : |
= |
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
O |
5 |
5 |
, −1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
270 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
27 |
1). Из условия n ={2,1,0}. Уравнение плоскости Р, |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
перпендикулярной к прямой L и проходящей через |
|
x −1 |
= |
y |
|
= |
z +1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
точку M, имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2x +1( y −1) +0(z −2) = 0 2x + y −1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
координаты точки пересечения этой плоскости с пря- |
, − |
|
, |
−4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
мой L : |
|
x −1 = 2t, |
y = t, |
|
z = −1 |
|
находим из уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2(2t +1) + t −1 = 0 t = − |
1 |
. Координаты точки пересече- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ния прямой и плоскости дадут координаты проекции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
точки М на плоскость |
|
O |
3 |
, − |
1 |
, −1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2). Способ 1. Искомое расстояние равно расстоянию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
между точкой M (0,1,2) |
и ее проекцией на прямую – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
точкой O |
3 |
, − |
1 |
, −1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
77
|
d = |
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
270 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
− |
|
+ 1+ |
|
|
|
|
|
+(2 +1) |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Способ 2. Расстояние от точки до прямой можно най- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 0 M ×q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
ти по формуле: d = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3). Уравнение перпендикуляра L1 |
из точки M (0,1,2) |
на |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
прямую L : |
x −1 |
|
= |
|
y |
|
= |
|
z +1 |
|
|
напишем как уравнение пря- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
мой, проходящей через две точки M (0,1,2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
O 3 |
, −1 , −1 : |
|
|
L |
: |
x −0 |
= |
|
|
y −1 |
= |
|
z − 2 |
, |
|
|
x |
= |
y −1 |
= |
|
z − 2 |
, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−1 −1− 2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−0 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x −1 |
|
|
y |
|
|
z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
= |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4). Для того чтобы найти координаты точки N, заме- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
тим, что точка О делит отрезок MN пополам и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x = |
xM + xN |
, |
|
|
|
|
|
y = |
yM + yN |
, |
z |
0 |
|
= |
zM + zN |
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
откуда |
x |
|
|
= |
, |
y |
|
|
|
= − |
, |
|
z |
|
|
|
= −4 и |
|
|
6 |
|
|
− |
7 |
|
− |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
N |
|
|
|
N |
|
|
|
|
N |
N |
|
|
, |
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Найдите: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1) расстояние от точки M (1,1,1) до плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P : x + y − 2z −6 = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2) координаты точки N, симмет- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ричной точке M (1,1,1) |
относитель- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
но плоскости P : x + y − 2z − 6 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1). Способ 1. Уравнение прямой, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
проходящей через точку |
|
M (1,1,1) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
28 |
перпендикулярно к плоскости Р с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n ={1,1, −2} , можно записать в виде L : |
|
x −1 |
= |
y −1 |
|
|
= |
z −1 |
. |
(3,3, −3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|||||||||
|
Проекцию точки М на плоскость Р находим как точку |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
пересечения |
|
|
прямой |
|
|
L : x = t +1, y = t +1, z = −2t +1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
и плоскости |
|
|
|
|
P : t +1+t +1−2( −2t +1) −6 = 0 , |
|
|
откуда |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t =1 и O (2,2,−1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Искомое расстояние d = |
|
|
(2 −1)2 +(2 −1)2 +(−1−1)2 = |
6 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Способ 2. Расстояние находим по известной формуле |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(см. задачу № 11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78
d = |
1+1−2 −6 |
= 6 . |
|
6 |
|
Координаты искомой точки удовлетворяют системе
x −1 |
= |
y −1 |
= |
z −1 |
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
1 |
|
−2 |
(x −1)2 + (y −1)2 + (z −1)2 = (2 6 )2 = 24,
из которой получаем
(x −1)2 +(x −1)2 + 4(x −1)2 = 24 (x −1)2 = 4 x1 = 3, x2 = −1.
В результате имеем две точки: N1 = (3,3,−3) и
N2 = (−1,−1,5) . Вторая точка не подходит, так как
|
|
отстоит от плоскости на 3 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2) x = |
xM + xN |
x |
N |
= 3, аналогично y |
N |
= 3, z |
N |
= −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и N (3,3,−3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1. Прямая на плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
№ |
Задание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ |
|
|
|
|||
|
|
Треугольник задан уравнениями трех его сторон: |
|
а) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
А (-1, 2), |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
АС: х – 2у + 5 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В (9, -3), |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
АВ: х + 2у – 3 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С (5, 5), |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ВС: 2х + у – 15 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Определите следующие элементы треугольника: |
|
|
б) |
1 |
|
5 |
|
|
||||||||
|
|
а) координаты вершин. |
|
|
|
|
|
y = |
x + |
, |
|
|||||||
|
|
б) уравнения высот, |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||||
|
|
в) уравнения медиан, |
|
|
|
|
|
|
у=-2х+15, |
|
||||||||
|
1 |
г) длины сторон, |
|
|
|
|
|
|
у=2х–5, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
д) уравнения биссектрис, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
11х–2у–45=0, |
|
|||||||||||
|
|
ж) центр и радиус вписанной окружности, |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
13х+14у=75, |
|
||||||||||||
|
|
з) центр и радиус описанной окружности, |
|
|
|
|
x+8y–15=0, |
|
||||||||||
|
|
и) центр тяжести треугольника, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
к) внутренние углы треугольника, |
|
|
|
|
5 |
5, |
|
|
|
|||||||
|
|
л) площадь треугольника. |
|
|
|
|
г) 4 |
5, |
, |
|
||||||||
|
|
РЕШЕНИЕ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79
а). Координаты вершин треугольника находятся как точки пересечения соответствующих сторон. Так, например, координаты точки А являются решением системы уравнений
x −2 y +5 = 0, |
А (-1, 2). |
|
|
= 0, |
|
x + 2 y −3 |
|
Аналогично находятся В (9, -3) и С (5, 5).
б). Высотой треугольника называется отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на противоположную сторону.
Уравнение высоты hc = CC1 ищем как уравнение прямой, приходящей через точку С перпендикулярно к
AB: |
|
nAB ={1, 2} |
|
и |
уравнение |
высоты |
||
|
x −5 |
= |
y −5 |
y = − |
1 x + |
3 . |
|
|
1 |
|
|
|
|||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
Анализ уравнений сторон АС: y = 12 x + 52 и
ВС: у = -2х + 5 (k1 k2 = −1) убеждает в том, что АС ВС, треугольник является прямоугольным, значит,
уравнение hA: y = 12 x + 52 ; hB: у = -2х + 15.
в). Медианой называется отрезок прямой, соединяющей вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Координаты середин сторон находятся по формулам деления отрезка в данном отношении: С2 (4, -1/2), В2 (2, 7/2), А2 (7, 1).
Уравнение медианы mC = CC2 получается как уравнение прямой, проходящей через точки С и С2:
|
y −5 |
= |
x |
−5 |
или mC: 11х–2у–45=0. |
|
−1 2 −5 |
|
−5 |
||
|
4 |
|
|||
Аналогично |
mВ: 13х+14у–75=0, |
||||
|
|
|
|
|
mА: x+8y–15=0. |
д)
у = 2, х+у–6=0, 3х–у–10=0,
ж)
О1(4,2), r = 5 ,
з)
О2(4,-1/2), R = 5 25 ,
и) |
|
|
|
|
|
xO |
= 4,35; |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
yO |
=1, 45 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
к) |
|
|
3 |
||
|
|
|
|||
A = arccos |
− |
|
|
||
5 |
|||||
|
|
|
|
л) 30.
80