Высшая математика Часть 2

Лемниската Бернулли

Лемниската Бернулли - линия, представляющая геометрическое место точек, расстояние которых от двух данных точек (фокусов) есть постоянная величина, равная квадрату половины межфокусного расстояния.

В полярных координатах

ρ2 = 2a2 cos 2ϕ.

Покажем, что точка М лежит на кривой, если выполнено условие

Вершины кривой находятся в точках A(a 2,0); C(−a 2,0).

Площадь каждой петли S = a2.

Кардиоида

В полярных координатах ρ = a(1 + cos ϕ), a > 0.

Вершина кардиоиды находится в точке А(2а,0).

Укажем, что площадь кардиоиды S = 3π2a2 , а длина

L = 8a.

3.6. Параметрическое задание линий

Параметрические уравнения линий задаются в виде зависимости текущих координат x и y от некоторого параметра t. Каждому значению t соответствуют два значения: x и y. При изменении параметра t текущая точка M(x,y) описывает некоторую кривую на плоскости.

Окружность

Пусть M(x,y) - текущая точка окружности с центром в начале координат и радиусом R. В качестве параметра t выберем угол, который составляет радиус-вектор точки М с осью OX 0 ≤ t < 2π. Из треугольника ОМА:

Исключим из параметрических уравнений параметр t. Для этого возведём эти уравнения в квадрат и сложим их:

x2 + y2 = R2 (cos2 t +sin2 t) = R2 .

41

Циклоида

Циклоидой называется кривая, описываемая точкой круга, катящегося без скольжения по прямой линии.

Пусть ox - прямая, по которой катится круг радиусом а. Тогда МС=СК=а, где К - точка касания.

За параметр t примем угол поворота МС относительно СК: t = MCK - угол качения (в радианах). Так как качение окружности происходит без скольжения,

то ОК= MK =at. Из рисунка видно, что

x = OP = OK − PK = OK − MQ = at − asin t = a(t −sin t), y = PM = KC −QC = a − a cost = a(1 −cost).

Таким образом, параметрические уравнения циклоиды

При 0 ≤t < 2π получаем первую арку циклоиды. Укажем, что длина дуги ОА1О1=8а, а площадь одной арки S = 3 πa2.

Астроида

Астроидой называется кривая, которую описывает точка окружности радиуса R/4, когда окружность катится без скольжения внутри окружности радиуса R. Параметрические уравнения астроиды

x = Rcos3 t,

y = Rsin3 t,

где 0 ≤ t < 2π.

В декартовых координатах уравнение астроиды

x2/3+y2/3=R2/3.

Длина астроиды L = 6 R, а площадь, ограниченная астроидой, S = 3πR2/8.

42

4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Алгебраической поверхностью второго порядка называется поверх-

ность, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид:

Ax2+By2+Cz2+2Dxy+2Exz+2Fyz+Gx+Hy+Iz+K=0,

где не все коэффициенты при членах второго порядка равны одновременно нулю (в противном случае получаем алгебраическую поверхность первого порядка, т.е. плоскость).

В зависимости от значений коэффициентов возможны случаи, когда уравнение определяет вырожденную поверхность (пустое множество, точку, плоскость, пару плоскостей).

Например, уравнение x2 + y2 + z 2 +1 = 0 не имеет решений и задает пустое множество, уравнение x2 + y2 + z 2 = 0 задает точку с координатами (0,0,0), уравнениеx2 − 2x +1 = 0 задает плоскость х = 1, уравнение x2 − y2 = 0 задает пару плоскостей х = у и х = −у.

Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям

Основным методом исследования формы поверхности по ее уравнению является метод сечений, когда о форме поверхности судят по форме кривых, которые получаются при пересечении данной поверхности плоскостями

x = const; y = const; z = const.

Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность второго порядка с каноническим уравнением

Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью z = 0 . Линия пересечения эллипсоида и плоскости задается системой уравнений

Г – эллипс с полуосями а и b в плоскости

z = 0 .

Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью z = h . Линия пересечения задается системой уравнений

43

следуемая поверхность не имеет общих точек с рассматриваемой плоскостью. Далее, так как переменная z содержится в уравнении во второй степени, плоскость z = 0 является плоскостью симметрии эллипсоида. Отсюда следует, что достаточно исследовать форму поверхности и построить ее часть в области z ≥ 0 , достроив затем остальную часть путем зеркального отражения найденно-

го фрагмента поверхности относительно координатной плоскости ОXY. Аналогично рассматриваются сечения поверхности плоскостями

x = const; y = const.

Эллипсоид - замкнутая овальная поверхность, имеющая три плоскости

где –с < h < c, являются окружности, центры которых лежат на оси OZ и, следовательно, в этом случае эллипсоид является фигурой вращения с осью OZ.

Если a = b = c = R , каноническое уравнение принимает вид x2 + y2 + z 2 = R2

и задает сферу с центром в начале координат и радиусом R.

Гиперболоиды

Однополостный гиперболоид

Однополостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка с каноническим уравнением

иопределяет эллипс с полуосями а и b.

Всечении плоскостью z = h получаем эллипс

с большими, чем в предыдущем случае, полуосями

44

и представляет гиперболу, пересекающую ось OY.

Сечение плоскостью y = 0 задает гиперболу, пересекающую ось OX. Однополостный гиперболоид - поверхность, имеющая вид расширяю-

щейся трубки с тремя плоскостями симметрии x = 0; y = 0; z = 0.

Двуполостный гиперболоид

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка с каноническим уравнением

Линия пересечения гиперболоида и плоскости z = 0 задается системой уравнений

определяющей пустое множество.

В сечении плоскостью z = h имеем кривую

дает гиперболу, пересекающую ось OZ.

Сечение плоскостью y = 0 также задает гиперболу, пересекающую ось OZ. Двуполостный гиперболоид - поверхность, имеющая вид двух беско-

нечно расширяющихся чаш с тремя плоскостями симметрии: x = 0; y = 0; z = 0.

Параболоиды

Эллиптический параболоид

Эллиптическим параболоидом называется поверхность с каноническим уравнением

45

Гиперболический параболоид

Гиперболическим параболоидом называется поверхность с каноническим уравнением

Применение метода сечений приводит к тому, что в плоскостях z = h, где

h > 0 (h <0) , обнаруживаются гиперболы, а в плоскостях x = h и y = h > 0 – па-

раболы, в плоскости z = 0 – пересекающиеся прямые.

Конус

Коническая поверхность – множество прямых (образующих) пространства, соединяющих все точки некоторой линии (направляющей) с данной точкой (вершиной) пространства. Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

Метод сечений позволяет составить представление о форме этой поверхности.

Осью конуса, заданного рассматриваемым каноническим уравнением, является ось OZ. Поперечные сечения плоскостями z = h являются эллипсами, а в плоскостях XOZ и YOZ - пересекающиеся прямые, проходящие через начало координат, сечения плоскостями x = h и y = h – гиперболы, сечения плоскостя-

ми, не параллельными координатным, может дать параболу.

Цилиндры

Цилиндрическая поверхность – множество прямых (образующих) пространства, параллельных заданному направлению и проходящих через некоторую линию (направляющую).

46

Эллиптический цилиндр

Эллиптический цилиндр задается ка-

ноническим уравнением

Осью цилиндра является координатная ось OZ, поперечные сечения – эллипсы.

Гиперболический цилиндр

Гиперболический цилиндр задается каноническим уравнением

Параболический цилиндр

Параболический цилиндр задается канониче-

ским уравнением

y2 = 2 px, p > 0.

Заметим, что признаком рассмотренных цилиндрических поверхностей является отсутствие той переменной в каноническом уравнении, которой параллельна образующая.

47

5. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. Векторы, базисы, координаты