Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика Часть 2

.pdf

Скачиваний:

458

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

4.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>


						JJJG				JJG		JJJG					JJJG
				= AO					+ OB + 1			(BO			+ OC).
Подставим				JJJG		JJJG					2
Подставим				AK в OF :												JJJG					JJJG
			JJJG	JJG					JJJG JJG							JJJG					JJJG
			OF	= OA + 32					(AO + OB)+ 13(BO + OC)=
			JJG		2 JJG					2 JJG		1 JJG					1 JJJG				=
			= OA−		3	OA +				3	OB −	3	OB +				3		OC		=
			JJG JJG		3					3	JJJG	3					3
	1		JJG JJG		JJJG						JJJG				1
	1	(					)					1			1			1
=	3		OA + OB + OC					,			OF =			,		,				.
=			OA + OB + OC					,			OF =		3	,	3	,				.
													3		3			3

В пространстве заданы треугольники ABC и A′B′C′; M и M ′ – точки пересечения медиан

этих треугольников соответственно. Разложите

JJJJJG JJJG JJJG JJJG

вектор MM ′ по базису векторов AA′, BB′, CC′.

РЕШЕНИЕ:

Пусть N – середина

стороны BC , N ′

– се-

редина стороны

′ ′

B C

JJJJJG

JJJG

JJJJJG

MM ′= MA + AA′+ A′M ′

Найдем:

JJG

JJJG

JJG

JJJG

JJG

NA ; NA = NB + BA;

JJJJG

JJJG

JJG

JJJJG

JJJJJG

2 JJJGJ

′ ′

′

′ ′

NB = CB ; MA

=−A M

N A ; N A

= N B

+B A

;

JJJJG

′ ′

′

N B

C B ;

JJJJG

JJG

JJJG JJJJG

JJJG

JJG

JJJG

C′B′= C′C +CB

+ BB′; B′A′

= B′B + BA

+ AA′.

После последовательных подстановок

2 JJJJG

JJJJJG

JJJG

JJJJJG

2 JJG

JJJG

NA+ AA′+ −

MM ′= MA+ AA′+ A′M ′=

N ′A′

JJJG

JJG

JJJG

JJJJG

(NB

+ BA)+ AA′−

′B′ + B′A′)=

1 JJG

JJG

JJJG

1 JJJJG

JJJJG

CB + BA

+ AA′−

C′B′+ B′A′ =

3 2

JJG

2 JJG

JJJG

JJG

JJJG

CB +

+ AA′−

(C′C + CB + BB′)−

JJJG

JJG

JJJG

JJJG JJJG

JJJG

−

(B′B + BA + AA′)=

(AA′+ BB′+ CC′),


JJJJG		1
1				1
то есть MM ′=	,		,		.
		3
3				3

2. Декартов прямоугольный базис. Направляющие косинусы и координаты

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC из-
вестны векторы
AB ={−2;2;5},
AC ={3;6;−2},
AD ={10;8;−14}. Найдите
сумму координат вектора	3
MN , где M и N - середины сторон AB и CD .
РЕШЕНИЕ:
BC = AC − AB , MN = AD + BC = AD + AC − AB = {		15	, 6, −	21	}.
BC = AC − AB , MN = AD + BC = AD + AC − AB = {		2	, 6, −	2	}.
2	2
Σ = 3.
Даны точки A(8, −7, −4) , B(1, −2, −3) , C(−1, −1, −7) .
Найдите сумму координат точки D( x, y, z) , если
AB −2BC + 3AD = 0.
РЕШЕНИЕ:
AB ={−7,5,1}, BC ={−2,1, −4},	AD ={x −8, y +7, z + 4}.

- 6

AB − 2BC +3AD = 0

{−7,5,1}+{4,−2,8}+{3x − 24,3y + 21,3z +12} = 0

−7 + 4 +3x − 24 = 0
	5 −2	+3y + 21 = 0 (x, y, z) = (9,−8,−7) .

	1+8	+3z +12 = 0

Сумма координат равна			G(- 6).
Дан модуль вектора			a = 2 и углы α= 45° ,

β = 60° и γ =120° , которые он составляет с коор-
динатными осями Ox , Oy и Oz соответственно.				{ 2,1, −1}
Вычислите проекции вектора aG на координатные
оси.
РЕШЕНИЕ:

;

cos

α= 2cos 45° = 2

cos

β = 2cos60° =1;

az =

cos

γ = 2cos120° = −1.

aG={

2,1, −1}

Даны векторы aG =

{

}

{

}

. Вы-

0, 1

и b = −1, 1,

числите направляющие косинусы вектора a

+ 2b .

cosα=

РЕШЕНИЕ:

cos β =

{

}

{

} {

}

a + 2b = 2, 0, 1 + 2 −1, 1, 0 = 0, 2, 1 .

cos γ =

+ 2

= 5

cosα=

; cos β =

;

cos γ =

Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: α= 45° , β = 60°, γ =120° ?

РЕШЕНИЕ:

Для направляющих косинусов выполняется равенство

cos2 α+ cos2 β + cos 2γ =1. Проверим его справедли-	да
вость.

2	2	2			2	2		1	2			1	2

														=1,

cos 45°+cos 60°+cos 120°=							+				+ −
					2
							2					2

равенство выполняется.			(					)			(			)
	(	)		4, 2,						,
Даны точки A 3,		−1, 5 ,	B				−5				C −4, 0, 3 .

Найдите длину медианы AA′ треугольника ABC .

РЕШЕНИЕ: 7

Координаты точки

A′ (середины AA′) A′

(

0,1,

)

−1 ,

JJJG

= −3 2 + 22

+ −6 2

= 7 .

AA′= −3, 2,−6 ,

AA′

{

}

(

)

(

)

Коллинеарны ли

векторы cG и cG , построенные на

векторах

и b , если a

= −9, 5, 3 ,

G{ G

}

нет

b = {7, 1,

−2}, c1 = 2a −b , c2

= 3a

5b ?

РЕШЕНИЕ 1:

= 2aG−b = 2

−9, 5, 3

− 7, 1, −2 = −25, 9, 8

{

}

{

}

{

}

= 3a +5b =

{

}

−9, 5, 3

+5 7, 1,

−2

8, 20, −1

Пропорциональность компонент

c1y

2 x

2 y

2 z

не выполняется, векторы неколлинеарны.

РЕШЕНИЕ 2

Векторы : a и b неколлинеарны, т.е. образуют ба-

зис. Векторы cG

и cG неколлинеарны, так как их ко-

ординаты в этом базисе не пропорциональны:

≠−1 .

3. Скалярное произведение векторов

Найдите а)

aG1 + aG2

и б) (3aG1 −2aG2 , aG1 + 2aG2 ), если

2π

= 3,

= 4 , a , a

РЕШЕНИЕ:

а)

aG1 + aG2

= (aG1 + aG2 , aG1 + aG2 ) =

(aG1, aG1) + (aG1, aG2 ) + (aG2 , aG1) + (aG2 , aG2 ) =

а) 13 ,

9 +16 + 2(aG1, aG2 ) =

25 + 2 3 4cos

2π

= 13.

б) −61

б) (3aG1 −2aG2 , aG1 + 2aG2 ) =

= 3aG12 + 6(aG1 , aG2 ) −2(aG2 , aG1 ) −4aG22 =

= 3 9 + 4(a1, a2 )− 4 16 = 27 + 4 3 4 cos

2р

− 64 = − 61

2aG1 −aG2

Найдите

, если aG1 = {4, −2, −4},

aG2 = {6, −3, 2}.

РЕШЕНИЕ:

105

2a1 −aG2 = {8, −4, −8}−{6, −3, 2}= {2, −1, −10},

2aG −aG

= 22

+ −1 2

+ −10

2 = 105.

(

)

(

)

JJG

JJJG

Найдите косинус угла между векторами AB и AC ,

- 1

(

)

(

0, 1,

)

(

−3, 4,

)

если A −1, 2,

−3 ,

−2

, C

−5

РЕШЕНИЕ:

JJG

{

}

JJJG

AB =

0 −(−1), 1−2, −

2 −(−3) = {1, −1, 1},

{

}

AC = −2, 2,

−2

JJG JJJG

1 −2 + −1 2 +1 −2

(

) (

)

(

)

cos AB , AC

( )

+12

( )

+22

( )

+ −1

−2

+ −2

=−1.

Вычислите синусG угла, образованного векторами aG{−2, 2,1} и b {6, 3, 2}.

РЕШЕНИЕ:

Найдем косинус нужного угла:

	−2 6 + 2 3 +1 2				−12 + 6 + 2			−4
cosϕ =	9 49		=			21		= 21		,	sin ϕ=	5	17
sin2 ϕ=1−cos2 ϕ=1−		16		=		212 −16	=	52 17	,		sin ϕ=		21
sin2 ϕ=1−cos2 ϕ=1−			2	=		2	=	2	,
		21				21		21

sinϕ= ± 5 2117 .

Так как угол между векторами 0≤ϕ≤π,

sinϕ=

5 17

Покажите, что

сумма квадратов

A′

C ′

медиан треуголь-

ника относится к

сумме квадратов

B′

b A

его сторон, как 3:4.

РЕШЕНИЕ:

JJG

. Нахо-

Пусть CB

= a

, CA = b

. Тогда AB = a

−b

дим медианы треугольника:

JJJG

JJG

JJJG

−

−b

CC′= CB

+ BC′= a

b ,

JJJG

JJG

JJJG

BB′= BA + AB′= −

−b

−

= −a

JJJG′

JJJG

= AC

+ CA

= −b

2 = 2 −b .

Осталось найти требуемое отношение:

G 2

a +

+ −a

−b

−b)

aG2 +

2 −

(GabG )

+ 2b

−2(ab)

Покажите, что четырехугольник ABCD − ромб, если

A(1,2,2) , B(3,5,8) , C(−3,2,6) , D(−5, −1,0) .

Найдите угол при вершине А ромба.

РЕШЕНИЕ:

JJG

{

}

AB =

;

= 7 ;

JJJG

{

}

;

JJJG

AD = −6, −3, −2

= 7;

JJJG

π−arc cos

{

}

= 7

BC = −6; −3; −2 ;

;

JJJG

{

}

JJJG

CD = −2; −3; −6

;

= 7 .

JJG

JJJG

и ABCD – ромб.

JJG JJJG

2 −6 +3 −3

+6 −2

cos AB, AD =

(

)

(

)

(

)

=−33,

+ −3

+ −2

4+9+36 −6

(

)

( )

(

)

ϕ = π−arc cos

(a, b )

Докажите, что вектор

p = b −

перпендикуля-

рен вектору aG.

РЕШЕНИЕ:

G G

(a, b )a

( p, a)

= (b, a)

−

= (b, a)−(a, b )= 0 .

Докажите: а) теорему косинусов; б) теорему Пифа-

гора.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

а) Рассмотрим треугольник

ABC , построенный на векто-

JJG

JJJG

рах a

= AB и b

= AC .JJG

Пусть третья сторона CB = c .

Тогда c

= a

−b ,

= c

= (a

−b )

= a

+ b

−(a, b )−(b, a)=

−2

cos γ.

= a

+ b

−2(a, b)=

б) При γ = 90°

, получаем

теорему Пифагора.

Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

РЕШЕНИЕ:

JJG

JJJG

Пусть a

= AB и b

= AD –

стороны ромба.

JJJG

= AC

= a

+ b и

d2 = BD = b − a - его диагона-

ли.

− aG

G G

aG + b , b

−

cos(d1 , d2 )= (

) =

= 0,

так как для ромба

, и диагонали ромба

взаимно перпендикулярны.

4. Векторное произведение векторов

Найдите а)

[ 1

]

и б)

(

2 )

(

− a

2 )

× a

+3a

если

=1,

2π

= 2 , a ,

РЕШЕНИЕ:

2π

а)

[a1 ×a2 ]

=1 2 sin

3 ;

а)

3 ,

б)

(a +3a )×(3a −a

)

б) 10 3

3[a1 ×a1 ]−[a1 ×a2 ]+9[a2 ×a1 ]−3[a2 ×a2 ]

−10[a1 ×a2 ]

=10 3,

[a ×a

]= −[a ×a ]

так как [a ×a ] =[a ×a ] =0 ,

1 G

Найдите

[2aG1 −aG2 , 2aG1 + aG2 ]

, если

{

}

{

}

3, −1, 2 ,

1, 2,−1 .

РЕШЕНИЕ:

b = 4[aG1, aG1 ]−[aG2 , aG2 ]+2[aG1, aG2 ]−2[aG2 , aG1 ]= 4[aG1, aG2 ]=

= 4

−1

−1 2

3 2

3 −1

− j

+ k

= 4 i

−1

{

}

= −12, 20, 28

−12

2 +

(

2 +

(

28 2

= 1328 = 4

83 .

(

)

JJJG

JJG

Найдите вектор

+ AC,

BC, AB

, если

(

)

(

)

(

)

A 2, 2, 3

B 1, 0, 4

2, 3, 5 .

РЕШЕНИЕ:

JJJG

JJG

= −1,

= 0; 1; 2

−2, 1 , AC

JJJG

{

}

}JJG

JJJG{

}

BC =

{

−1,

3, 1

AB + AC = −1,

3 .

JJJG

JJG

BC, AB

−1

−2

5, 16, 7

}

{

}

= i

− j

+ k

−2

−1

−2

5, −2, 1 .

JJG

JJJG

JJJG JJG

−1

= {5, 16,

7}.

AB + AC,

BC,

−2

Упростите выражение:

i , j + k

−

j ,i + k

k ,i

+ j + k

, где i , j ,k

- ба-

зисные векторы прямоугольной декартовой систе-

мы координат.

РЕШЕНИЕ:

Для i , j ,k

справедливо:

2(k −i )

= k ,

= j ,

i , j

j ,k = i ,

k ,i

i ,k = − j , так как

i ,k , j

- левая тройка,

j ,i

= −k , так как j ,i ,k

левая тройка.

Тогда

= k +( − j) ,

i , j

i ,k

j ,i

+ k =

j ,i

j ,k = −k + i ,

k ,i

+ j + k

= k ,i

k , j

= j − k , и искомая

сумма равна

k − j + k −i + j −i = 2k − 2i = 2(k −i ) .

Векторы a , b ,

c , d связаны соотношением

[a,c] =

. Докажите, что векто-

a,b

c,d

b ,d

ры ( a −d ) и ( b −c ) коллинеарны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Найдем

a −d ,b −c

a,b −[a,c]

− d ,b

+ d ,c

c,d

− b ,d + b ,d

−

c,d

= 0,

значит, эти векторы коллинеарны.

Вычислите площадь параллелограмма, построен-

ного на векторах

a и b , если a

= p + 3q ,

= 3 pG−qG,

= 5 , (p, q)=

2π

= 3 ,

РЕШЕНИЕ:

(p +3q )×(3 p − q )

пар

a ×b

75 3

[p ×

p]−[p

×q]+9[q × p]−3[q ×q]

Так как [p × p]= 0 ,

[q ×q]= 0 , [p ×q]= −[q × p],

Sпар

−10[p ×q]

=10

[p ×q]

=10 3 5

= 75 3 .

В треугольнике с верши-

нами A(1, −1, 2),

)

(

−6, 2

)

(

B 5,

1, 3, −1

найдите высоту

h =

JJJG

РЕШЕНИЕ:

JJG

JJJG

Площадь S =

AB,

JJG

JJJG

AB,

h =

JJJG

Найдем AB ={4, − 5, 0},

AC ={0, 4, − 3}.

AB, AC

{15, 12, 16}

−5

−3

225 +144 + 256 =

625 = 25,

= 02 +42 +32 = 5 h = 5 .

Найдите расстояние от точки B с координатами (5, −6, 2) до прямой, проходящей через точки

A(1, −1, 2) и C(1, 3, −1) .

РЕШЕНИЕ:

Построим треугольник

∆ABC и опустим высоту

JJJG

h =| BD | из вершины B

на основание AC (или

его продолжение).

JJJG

Тогда искомое расстояние равно h =| BD |, и задача

свелась к предыдущей.

Докажите, что в треугольнике ABC с биссектри-

сой CC′ выполняется со-

отношение

BC′

AC′

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

′

SCB C′ =sin

′

SCAC ′

= sin

C A

SC B C′

CC′

BС′

′

CAC

′

C A

BС′

C′A

BC′

AC′

5. Смешанное произведение векторов

33Докажите, что при любых a,b,c векторы a −b , b −c , c − a компланарны.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.02.201533.44 Кб65Выполнение заданий по истории.docx
#
10.12.2018137.22 Кб2Выполнение программ_для конспекта.doc
#
01.09.2019264.7 Кб3Выполнение реферата, метод. указания.doc
#
15.11.2019440.97 Кб1Выполняла.docx
#
11.07.201925.86 Кб3выразительные средства.docx
#
23.02.20154.52 Mб458Высшая математика Часть 2.pdf
#
13.08.201969.66 Кб2Высшие органы законодательной власти.docx
#
22.02.20151.41 Mб36Вычмат.doc
#
22.02.2015252.69 Кб4вэд.docx
#
13.03.201635.57 Mб95Вэриан Микроэкономика.pdf
#
09.11.20181.89 Mб3Г.М.Андреева Социальная психология.doc