2. Расчет токов трехфазного короткого замыкания

   1. Метод z-матрицы

Для расчета токов трехфазного короткого замыкания часто используется метод Z-матрицы. Матрица узловых сопротивлений является обратной по отношению к матрице узловых проводимостей Z=Y^-1. Если базовый узел является источником питания, то диагональные элементы {Z_kk} характеризуют эквивалентное сопротивление между источником питания и соответствующим узлом схемы. Действительно, в уравнении для напряжения узла i

элемент Z_ij = U_i /J_j определяет изменение напряжения в узле i при изменении тока в узле j , а Z_kk = U_k/J_k - изменение напряжения в узле k при изменении тока в этом же узле, т.е. является эквивалентным сопротивлением между узлом k и источником питания (базисный узел). Отсюда величина тока КЗ в узле k должна быть такой, чтобы напряжение в этом узле стало равным нулю, т.е. U_k =U_k-U_b=, .

При решении поставленной задачи следует предусмотреть место для матриц Y и Z, где Z является расчетной матрицей. Для выделения диагонали (вектор-столбец) матрицы Z предлагается следующий эффективный в Excel прием. Строится единичная матрица Е такой же размерности, что и матрица Z. В первом элементе результирующего столбца вычисляется сумма произведений соответствующих элементов первых строк матриц Z и Е. Далее формула копируется на остальные строки. Математически для строки k данная операция представляется через скалярное произведение строк матриц Z и Е: d_k=(Z_k,E_k), k=1,…,n. Полученный столбец-диагональ D можно использовать для вычисления результирующих токов КЗ (табл. 3.7, схема - рис. 3.7, где U_b=100 (одинаково для обоих источников питания)).

В ячейке L18 записана формула "=СУММПРОИЗВ(B18:E18;G18:J18)". В ячейке М18 записана формула " =-$G$13/L18". Подобные формулы, полученные через копирование, записаны в L19:М21.

Таблица 3.17

	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M
11	Матрица проводимостей
12	-2,5	1	0	1		Ub, В
13	1	-1,5	0,5	0		100
14	0	0,5	-2	0,5
15	1	0	0,5	-1,5
16
17	Z-матрица					Единичная матрица					Диагональ	JКЗ, А
18	-1,11	-0,89	-0,44	-0,89		1	0	0	0		-1,11	90,0
19	-0,89	-1,44	-0,56	-0,78		0	1	0	0		-1,44	69,2
20	-0,44	-0,56	-0,78	-0,56		0	0	1	0		-0,78	128,6
21	-0,89	-0,78	-0,56	-1,44		0	0	0	1		-1,44	69,2

• Выполните расчеты по приведенному образцу

Остаточные напряжения определяются через отклонения напряжения от базисного

.

Рис. 3.56. Остаточные напряжения

Р асчет остаточных напряжений предлагается выполнять по макету рис.3.8, где отдельные столбцы (H, I, J, K) соответствуют точкам КЗ (узлы 1, 2, 3, 4).

Строка 23 формируется путем транспонирования результирующего столбца токов КЗ (J_КЗ из табл. 3.7). В блоке Н24: К24 записана формула "=$G$13+B18:E21*$H$23:$K$23", где в ячейке G13 содержится U_b, блоки B18:E21 и *$H$23:$K$23 – соответственно матрица Z и вектор токов КЗ.

Представляет интерес представленное в формуле произведение массивов. В результате выполнения операции * каждый столбец матрицы Z умножается на соответствующее значение тока КЗ. Поскольку в результате формируется массив, то конструирование формулы заканчивается комбинацией из трех клавиш – Ctrl+Shift+Enter. Аналогичным образом можно почленно умножать матрицы одинакового размера, матрицу на столбец.

• Выполните расчеты по приведенному образцу

Распределение токов по ветвям выполняется с помощью взаимных элементов матрицы Z, которые по своему физическому смыслу определяют изменение напряжения в одном узле при изменении тока в другом(имеют, как и диагональные элементы, отрицательные значения). Тогда при КЗ в точке k ток по ветви i-j определяется соотношением

.

Рис. 3.57. Матрица инциденций

Р азностимогут быть вычислены с помощью матрицы инциденцийМ, число строк которой равно числу ветвей, а столбцов - числу узлов. Для ветви i-j в столбце узла i ставится +1, а в столбце узла j - -1. Электрической сети (см. рис. 3.7.) соответствует матрица М, представленная на рис. 3.9. В результате умножения R=MZ^* матрицы инциденций М на расширенную матрицу Z^* (снизу добавляются нулевые строки, по числу базовых узлов) получается матрица разностей сопротивлений R (число строк равно числу ветвей, а столбцов - числу узлов КЗ). Действительно, в результате умножения строки, соответствующей ветви i-j, на k-й столбец будет получена величина.

Расчет распределения токов по ветвям для рассматриваемой схемы приведен в табл. 3.8, где отдельно выделено вычисление матрицы разностей {}. В результате получается матрица,k-й столбец которой показывает распределение токов по ветвям схемы для случая КЗ в узле k.

Блок D39:G44 формируется с помощью формулы =МУМНОЖ(C30:H35;B18:E23) (умножение матрицы инциденций М на расширенную матрицу Z* (расширение нулями)). Блок I39:L44 вычисляется по формуле =D39:G44*$D$46:$G$46/$C$39:$C$44, отражающей умножение разностей (блок D39:G44) на ток КЗ (блок D46:G46) и проводимость ветви (деление на блок C39:C44). Строка 46 приведена для удобства построения формул.

Таблица 3.18

	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L
36	Разности элементов Z - матрицы							Матрица токов по связям
37	Ветви	Z,Ом	Узел КЗ					Узел КЗ
38			1	2	3	4		1	2	3	4
39	1-2	1	-0,22	0,55	0,12	-0,11		-20	38,5	14,3	-7,7
40	2-3	2	-0,45	-0,88	0,22	-0,22		-20	-30,8	14,3	-7,7
41	1-4	1	-0,22	-0,11	0,12	0,55		-20	-7,7	14,3	38,5
42	4-3	2	-0,45	-0,22	0,22	-0,88		-20	-7,7	14,3	-30,8
43	5-1	2	1,11	0,89	0,44	0,89		50	30,8	28,6	30,8
44	3-6	1	-0,44	-0,56	-0,78	-0,56		-40	-38,5	-100	-38,5
45
46	Ток КЗ		90	69,2	128,6	69,2

• Выполните расчеты по приведенному образцу

Представляет интерес дополнительный расчет. В результате умножения транспонированной матрицы инциденций на полученную матрицу распределения токов будет вычислена матрица, диагональные элементы которой с точностью до знака представляют токи КЗ в узлах, а строки, соответствующие базовым узлам, характеризуют распределение токов между источниками питания (табл. 3.9).

Таблица 3.19.

Распределение токов между источниками питания
Узел	Узел КЗ
	1	2	3	4
1	-90,0	0,0	0,0	0,0
2	0,0	-69,2	0,0	0,0
3	0,0	0,0	-128,6	0,0
4	0,0	0,0	0,0	-69,2
5	50,0	30,8	28,6	30,8
6	40,0	38,5	100,0	38,5