получаем непрерывность на T функций ∂F , k = 1, 2, . . . , m, что означает

∂tk

непрерывную дифференцируемость функции F на T .

Замечание. Формулу вычисления частных производных функции F = f ◦ ϕ удобно выписывать из равенства F 0(a) = f0(b) ϕ0(a), записан-

Пример 2.1. Пусть функция z = f(x, y) непрерывно дифференцируема в R2 и f(x, x3) = x4, ∂f∂x(x, x3) = x2 sin x, x R. Найти ∂f∂y (x, x3).

Рассмотрим отображение ϕ(x) = (x, x3), ϕ : R → R2 и функцию одной переменной g(x) = (f ◦ ϕ)(x) = f(x, x3), x R. Координатные функции отображения ϕ непрерывно дифференцируемы на R, поэтому отображение ϕ непрерывно дифференцируемо на R, а функция одной переменной g непрерывно дифференцируема на R, причём

в точке x = 0, то последнее равенство имеет место для всех x R.

2.10Инвариантность формы первого дифференциала

Пусть f : X Rnx → R, x0 int X и функция f(x) дифференцируема в точке x0, тогда

87

В этом случае x1, . . . , xn — независимые переменные, dx = (dx1, . . . , dxn), где dxk = xk — произвольные приращения, k = 1, . . . , n.

Пусть теперь x — отображение, x : T Rmt → X, которое дифференцируемо в точке t0 int T, причем x0 = x(t0). По теореме 2.29 сложная функция f ◦ x дифференцируема в точке t0 и

Сравнивая полученную формулу с формулой (2.7), замечаем формальное их сходство. То есть имеет место, как и в случае функции одной переменной, свойством инвариантности формы дифференциала первого порядка.

Однако в этих формулах есть и существенное различие: если в фор-

муле (2.7) dxk = xk, k = 1, 2, . . . , n, то в формуле (2.8) (dxk)t0 (dt) отличается от (Δxk)t0 (dt) = xk(t0 + t) − xk(t0) при t → 0 на o(k tk).

Свойство инвариантности формы первого дифференциала позволяет легко установить следующие правила дифференцирования функций многих переменных.

Теорема 2.30. Пусть T — открытое подмножество в Rmt и функции ϕ, ξ : T → R дифференцируемы на T . Тогда

1)функция cϕ дифференцируема на T и d(cϕ) = cdϕ, c R,

2)функции ϕ ± ξ дифференцируемы на T и d(ϕ ± ξ) = dϕ ± dξ,

3)функция ϕ · ξ дифференцируема на T и d(ϕ · ξ) = ξ dϕ + ϕ dξ,

4) если ξ(t) 6= 0, t T , то функция ϕξ дифференцируема на T и

Докажем только правило 4), а доказательство остальных предлагаем

читателю в качестве упражнения. Рассмотрим функцию f(x1, x2) = x1 , x2

которая, очевидно, дифференцируема на множестве

X = R2 \ {(x1, 0), x1 R}

и

88

В силу свойства инвариантности формы первого дифференциала выра-

в том случае, когда x1 и x2 — дифференцируемые функции некоторых переменных. Например, если x1 = ϕ(t), x2 = ξ(t), то для любого t T

ференцируема на R, а ξ определена и дифференцируема на множестве

G = R2(x,y) \ {(x, 0), x R}. Согласно теореме 2.29, функция f дифференцируема на G. Так как

то, в силу свойства инвариантности формы 1-го дифференциала, для всех

(x, y) из G

2.11Производная по направлению, градиент

Будем считать, что в Rn введена декартова система координат с базовыми векторами ~ej, j = 1, . . . , n. Пусть функция f определена в некото-

определена в δ-окрестности точки x0, то можно считать, что она опреде-

что функция f, рассмотренная на указанном δ-интервале, определяет на [0, δ) функцию ϕ одной переменной по закону:

~

ϕ(t) = f(x0 + t `), t [0, δ).

89

Определение 2.52. Если функция ϕ дифференцируема в точке t = 0 (то есть существует конечная производная функции ϕ в точке t = 0), то ϕ0(0) называют производной функции f в точке x0 по на-

если последний предел существует и конечен. Поскольку для t [0, δ)

f(x0 + t~ej) = f(x0, . . . , x0− , x0 + t, x0 , . . . , x0 ) = ζj(t), j = 1, . . . , n,

1 j 1 j j+1 n

то частная производная функции f в точке x0 по переменной xj, в случае ее существования, есть производная функции f в точке x0 по направлению j–ого базового вектора.

Выясним связь между дифференцируемостью функции в точке x0 и

По теореме 2.29 о дифференцируемости сложной функции, функция ϕ дифференцируема в точке t = 0 и

90

Таким образом, функция f дифференцируема в точке x0 по любому

Замечание. Обратное утверждение неверно, то есть дифференцируемость функции f в точке x0 по любому направлению не влечет её дифференцируемости в точке x0. Для подтверждения сказанного рассмотрим следующий пример.

Пример 2.1. Показать, что функция

недифференцируема в точке (0, 0), но дифференцируема в ней по любому направлению.

Функция f не является непрерывной в точке (0, 0) так как

(2.9) вычисления производной функции f в точке x0 по направлению

91