25Парафраз из Данжуа(Denjoy, 1919, стр. 21).

2* 35

тельныё. Если предположение ложно, то я с уверенностью ожидаю, что будет ложным и, по крайней мере, одно из этих вспомогательных предположений. Но само разложе­ние тоже может быть интересным! Я не смущаюсь, если^: будет найден контрапример для «доказанной» догадки; я даже согласен пытаться «доказывать» ложное предполо­жение!

Тета.Я не понимаю вас.

Каппа.Он только следует Новому Завету: «Испыты­вай все; держись крепко за то, что хорошо» (Первое пос­лание к фессалоникийцам, гл. 5, 21).

в) Улучшение догадки методами устранения исключений. Частичные исключения. \ Стратегическое отступление или безопасная игра

Бета.Я полагаю, сэр, что вы намереваетесь объяснить ваши несколько парадоксальные замечания. Принося вам всяческие извинения за мою нетерпеливость, я все же дол­жен избавиться от их тяжести.Учитель.Продолжайте, (Альфа возвращается.)

Бета.Хотя некоторые положения из аргументов Дельты не кажутся мне умными, но я все-таки прихожу к убеждению, что в них есть разумнЬе зерно. Теперь, мне кажется, что ни одно из предположений не является пра­вильным вообще, но только в некоторой ограниченной области, которая не содержит исключений. Я против того, чтобы называть эти исключения «монстрами», или «пато­логическими случаями». По существу это равносильно методологическому требованию не рассматривать их какпримерыинтересные, имеющие право на самостоя­тельное существование и заслуживающие специального исследования. Но я также против термина «контра­пример»;хотя это и дает право принимать их на рав­ной ноге с подтверждающими примерами, но как-то ок- ржошвает их в военные цвета, "так что некоторые, вроде 1'аммы, при их виде приходят в панику и впадают в соб­лазн совсем отказаться от прекрасных и остроумных до­казательств. Нет,они являются только исклю­чениями.

Сигма.Я более чем согласен. Термин «контрапри­мер» имеет агрессивный оттенок и оскорбляет тех, кто нашел доказательство. «Исключение» — это как раз пра­вильное выражение. «Существуют три рода математичес­ких предложений:

1. Те, которые являются всегда справедливыми и для которых нет ни ограничений, ни исключений, например, сумма углов всех плоских треугольников всегда равна двум прямым.

2. Те, которые основаны на некотором ложном прин­ципе и, следовательно, никак не могут быть допущены.

3. Те, которые зависят от правильных принципов, но тем не менее в некоторых случаях допускают ограничения или исключения...»

Эпсилон.Что?

Сигма.«... Не должно смешивать ложные теоремы с теоремами,. допускающими некоторые ограничения» ^se. Как говорит пословица:исключения подтвер­ждают правило.

Эпсилон (кКаппе). Кто этот путаник? Ему следо­вало бы немного поучиться логике.

Каппа "(кЭпсилону). И узнать кое-что об неевкли­довых плоских треугольниках.

Дельта.Хотя мне и трудно, но я должен предска­зать, что в этой дискуссии, вероятно, я и Альфа окажем­ся на одной стороне. Мы оба аргументировали, исходя из той основы, что предложение может быть или ложпым или правильным, и расходились лишь в том, будет ли, в частности, правильной или ложной эйлерова теорема. Но Сигма хочет, чтобымы допустили третью категорию пред­ложений, которые «в принципе» верны, но «в некоторых случаях допускают исключения». Согласиться с мирным сосуществованием теорем и исключений, значит допу­стить в математике хаос и смуту.

Альфа.Согласен.

Эта.Я не хотел мешать блестящей аргументации Дельты, но теперь я думаю, что, может быть, будет по­лезно, если я кратко расскажу историюмоегоинтеллек­туального развития. В мои школьные годы я сделался, как вы сказали бы, устранителем монстров не для защи­ты против людей типа • \льфы, но для защиты против типа

^2в_чБерар(Berard, 1818—1819, стр. 347 и 349).

Сигмы. Я припоминаю прочитанное в журнале относи­тельно теоремы Эйлера: «Блестящие математики предло­жили доказательства всеобщей правильности этой теоре­мы. Однако она допускает исключения... Необходимо об­ратить внимание на эти исключения, так как даже новей­шие авторы не всегда ясно признают их» ¹⁵. Эта статья не была изолированным дипломатическим упражнением. «Хотя в учебниках и лекциях по геометрии всегда указы­вается, что прекрасная теорема Эйлера У+/^г'=Е+2 в не­которых случаях имеет «ограничения», или «не кажется правильной», но еще никто не узнал истинной причины этих исключений»¹⁶. Я очень внимательно рассмотрел зти «исключения» и пришел к выводу, что они не соответ­ствуют правильному определению рассматриваемых пред­метов. Таким образом, можно восстановить в правах дока­зательство теоремы; тогда хаотическое сосуществование теорем и исключений исчезнет.

Альфа.Хаотическая позиция Сигмы может служить- объяснением вашего устранения монстров, но никак, не извинением, не говоря уже об оправдании. Почему не ис­ключить хаос принятием верительных грамот контрапри­мера и отбросить и «теорему» и «доказательство»?

Эта.А почему я должен отбрасывать доказательство? Я не могу видеть в нем ничего неправильного. А вы мо­жете? Мое устранение монстров мне кажется более ра­циональным, чем ваше устранение доказательств.

Учитель.Наши дебаты показали, что устранение монстров может получить более симпатизирующую ауди­торию, если оно будет исходить из дилеммы Эты. Но вер- немея к Бете и Сигме. Ведь это Бета перекрестил контра­примеры в исключения. Сигма согласился с Бетой...

Бета.Я рад, что Сигма согласился со мной, но боюсь, что я не могу согласиться с ним. Конечно, существуют три типа предложений: правильные, безнадежно непра­вильные и неправильные, но подающие надежду. Этот последний вид может быть улучшен и возведен в степень правильных при помощи добавления ограничивающих по­ложений, устанавливающих исключения. Я никогда не «приписываю формулам неограниченную область правиль­ности. В действительности большая часть формул справед­лива только при выполнении некоторых условий. Опреде­ление этих условий и, конечно, уточнение смысла упот­ребляемых терминов заставляют у меня исчезать всякую неопределенность»¹⁷. Как видите, я не являюсь сторон­ником любой формы мирного сосуществования между не­исправленными формулами и исключениями. Я исправ­ляю мои формулы и делаю ихсовершенными,вроде стоящих в первом классе Сигмы. Это -значит, что япри­нимаюметод устранения монстров, поскольку он мо­жет служить для установленияобласти правиль- ностй первоначальной догадки; но отбра­сываю его,если он действует как лингвистический трюк для спасения «изящных» теорем при помощи ограничи­вающих положений. Эти два вида функционирования ме­тода Дельты должны быть строго разделены. Мой метод, для -которого характерен только первый способ функцио­нирования, мне хотелось бы назвать «методомустра­нения исключений».Я буду использовать его для точного определения области, в которой является пра­вильной догадка Эйлера.

Учитель.Какую же «точно определенную область» эйлеровых многогранников вы обещаете нам? И какова ваша «совершенная формула»?

Бета. Для всех многогранников, не име­ющих полостей (вроде пары куб в кубе) и туннелей (как рама картины), V — E + F = 2.

Учитель.Вы уверены?

Бета.Да, вполне.

Учитель.А как быть с тетраэдрами-близнецами?

Бета.Извините.Для всех многогранни­ков, которые не имеют полостей, туннелей и «к р а т н о й с т р у к т у р ы»¹⁸.

Учитель.Вижу. Я согласен с тем, что вы исправля­ете догадку, вместо того чтобы просто принять или не при­нять ее. Я считаю, это лучше и метода устранения мон­стров, и метода сдачи. Однако у меня есть два возражения.Во-первых,я оспариваю вашу уверенность в том, что ваш метод не только улучшает, но даже «совершенствует» догадку, что он делает ее «строго правильной», что он «за­ставляет исчезнуть все неопределенности», Ноad hoc- ность вашего метода уничтожает его шансы на достиже­ние уверенности в истине.

Бета.В самом деле?

Учитель.Вы должны допустить, что каждая новая версия вашего предположения является лишь придуман­нымad hoc средством исключения только что возникшего контрапримера. Когда вы напали на куб в кубе, вы ис­ключили многогранники сполостями.Когда вам уда­лось заметить картинную раму, вы исключили многогран­ники стуннелями.Я ценю ваш открытый и наблюда­тельный ум; заметить все эти исключения, конечно, очень хорошо, но я думаю, что все же стоило бы внести некоторый метод в ваше слепое отыскивание «исключе­ния». Хорошо, допустим, что положение «все многогран­ники являются эйлеровыми» является только догадкой. Но вачем же статус теоремы, которая более уже не явля­ется догадкой, давать положению, что «все многогранники без полостей, туннелей и еще чего-нибудь являются эйле­ровыми»? Как вы можете быть уверенным, что перечисли­ли всеисключения?

Бета.Можете ли дать одно, которое я не учел бы?

Альфа.А что вы скажете о моем «морском еже»?

Гамма.И о моем цилиндре?

Учитель.Мне даже не нужно какое-нибудь кон­кретное новое «исключение» для моей аргументации. Мой аргумент касается тольковозможностидальнейших исключений.

Бета.Конечно, вы, может быть, правы. Не нужно сразу менять своей позиции при появлении какого-нибудь нового контрапримера. Не нужнр говорить: «Если в явле­ниях не находится ни одного исключения, то заключение может быть высказано в общем смысле. Но если в даль­нейшем появится какое-нибудь исключение, то тогда мож­но будет начать высказывать его с тем исключением, ко­торое появилось»³¹. Дайте подумать. Сначала мы высказа­ли догадку, что V—E+F—2 годится длявсехмногогран­ников, потому что мы нашли его верным для кубов, окта­эдров, пирамид и призм. Мы, конечно, не можем принять «этот несчастный путь заключения от частного к обще­му»³². Ничего нет удивительного в том, что исключения появляются; скорее поразительно то, что раньше их не было найдено много больше. По-моему, это произошло оттого, что мы главным образом занимались выпуклыми многогранниками. Как только появились другие много­гранники, так наше обобщение уже перестало годиться⁸³.