Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
АКАДЕМИЯ НАУК СССР.doc
Скачиваний:
9
Добавлен:
13.02.2015
Размер:
955.9 Кб
Скачать

3. Критика доказательства при помощи коптрапримеров, являющихся локальными, но не глобальными

Учитель.Подсказанное доказательством разложение догадки открывает новые горизонты для проб. Это разло­жение более широким фронтом развертывает догадку, так что наш дух критики получает большее количество целей. Мы теперь вместо одной имеем по меньшей мере три воз­можности для контрапримеров.

Гамма.Я уже выразил мое несогласие с вашей третьей леммой (а именно, что при вынимании треуголь­ников из сети, получившейся после растягивания и по­следующей триангуляции, мы имеем только две возможно­сти: мы убираем или только одно ребро, йли же два ребра с вершиной). Я подозреваю, что при удалении треуголь­ника могут появиться и другие возможности.

Учитель.Подозрение — это еще не критика.

Гамма. А контрапримербудет критикой?

Учитель.Конечно. Догадкам нет дела до несогла­сий или подозрений, но они не могут игнорировать кон- трапримеры.

Тета (всторону). Догадки, очевидно, сильно отли­чаются от тех, кто их представляет.

Гамма.Я предлагаю очень простой контрапример. Возьмем триангуляционную сеть, которая получилась после проведения на кубе двух первых операций (см. рис. 2). Теперь, если я удалю треугольникизнутри этой сети, как можно вынуть кусок из головоломки, то я вынимаю только один треугольник без удаления каких- нибудь ребер или вершин. Таким образом, третья лемма неверна — и не только в случае куба, но длявсехмно­гогранников, кроме тетраэдра, для которого в плоской сети все треугольники будут граничными. Таким образом, ваше доказательство доказывает теорему Эйлера для тет­раэдра. Но ведь мы уже и такзнали,что для тетраэд­ра V Е + F = 2, так зачем же это доказывать?

Учитель.Вы правы. Но заметьте, что куб, который представляет контрапример для третьей леммы, пе будет контрапрпмером для основной догадки, так как для кубаV — Е + F 2. Вы показали, что аргументация доказа­

тельства имеет недостаток, но это не значит, что наша догадка ложна.

Альфа.Так, вы теперь снимете свое доказательство?

Учитель.Нет. Критика не всегда будет необходимо разрушением. Я просто исправлю мое доказательство, чтобы оно устояло против этой критики.

Гамма.Как?

Учитель.Прежде чем показать «как», давайте введем такую терминологию.Локальным контраприме- ромя буду называть пример, ко­торый отвергает лемму (не отвер­гая необходимо основную догад­ку) , аглобальным контра- примеромя назову пример, от­вергающий саму догадку. Таким образом, ваш контрапример будет локальным, но не глобальным. Ло­кальный, но не глобальный контра­пример представляет критику толь­ко доказательства, но не догадки.

Гамма.Значит, догадка мо­жет быть верной, но ваше доказа­тельство ее не доказывает.

Учитель.Но я легко могу переработать, улуч-шить доказательство,заменив неверную лемму слегка исправленной, которую ваш контрапример не смо­жет опровергнуть. Я не буду спорить, что привынима­нии любого треугольника получаются толь­ко две упомянутые возможности, но скажу только, что на каждой стадии процесса вы­нимания одного из граничных треуголь­ников может встретиться одна из упомяну­тых возможностей.Возвращаясь к моему мыслен­ному эксперименту, я должен только в описании моего третьего шага прибавить одно слово, а именно, что «теперь из триангулированной сети мы отнимаем один за другимграничныетреугольники». Вы согласитесь, что для приведения в порядок доказательства понадобилось толь­ко небольшое замечание?6

Гамма.Не думаю, чтобы ваше замечание было таким пустяковым; оно, конечно, очень остроумно. Чтобы выяс­нить это, я покажу, что оно неверно. Возьмем опять плос­кую сеть для куба и отнимем восемь из десяти треуголь­ников в последовательности, указанной на рис. 4. При вынимании восьмого треугольника, который, конечно, бу­дет тогда граничным, мы отняли два ребра и ни одной вер­шины, а это изменит V — E + F на 1. И мы остались с двумя отдельными треугольниками 9 и 10.

Учитель.Ну, я мог бы спасти лицо, сказав, что под граничным треугольником я подразумевал такой, вынимание которого не нарушает связности сети. Но ин­теллектуальная честность препятствует мне скрыто изме­нять мои положения словами, начинающимися с «я ду­мал»; поэтому я считаю, что вторую версию операции вынимания треугольников я должензаменитьтретьей, а именно, что вынимаются треугольники один за другим таким образом, чтобы V — Е + F не изменялось.

Каппа.Охотно соглашусь, что соответствующая такой операции лемма будет истинной: конечно, если мы вынимаем треугольники один за другим, так, чтобыV — Е + F не изменялось, то V — Е + F не будет изме­няться.

Учитель.Нет. Лемма заключается в том, чтотре­угольники в нашей сети могут быть пере­нумерованы так, что при вынимании их в правильной последовательности V — Е + F не будет изменяться, пока мы не достигаем последнего треугольника.

Каппа.Но как же построить эту правильную после­довательность, если она вообще существует?9Ваш перво­начальный мысленный эксперимент давал инструкцию: вынимайте треугольники в любом порядке. А теперь вы говорите, что мы должны следовать некоторому опреде­ленному порядку, но не говорите, какой это порядок и

казался от доказательства, а этого «небольшого замечания» не сделал.

9Коши думал, что для нахождения на каждой стадии тре­угольника, который может быть выпут с устранением или двух ребер с вершиной, или лишь одного ребра, можно дать очень про­стую инструкцию для любого многогранника (1811, стр. 79). Это, конечно, связано с неспособностью вообразить многогранник, ко­торый не был бы гомеоморфным со сферой.

существует ли он в действительности. Таким образом, ваш мысленный эксперимент разваливается. Вы исправили анализ доказательства, т. е. список лемм, но мысленный эксперимент, который вы назвали «доказательством», исчез.

Р о. Исчез только третий шаг.

Каппа.Кроме того,улучшилили вы лемму? Ва­ши первые две версии по крайней мере до их опровер­жения казались тривиально простыми, а ваша длинпо- ватая заплатанная версия даже не кажется очевидной. Можете ли вы верить, что она избежит опровержения?

Учитель. «Очевидные» или даже «тривиально про­стые» предложения обычно скоро отвергаются: софи­стические, неочевидные предположения, созревшие после критицизма, могут оказаться истинными.

Омега.А что случится, если и ваши «софистические предположения» окажутся ложными и мы не сможем за­менить их неложными? Или если вам не удастся улуч­шить локальными заплатами ваши аргументы? При по­мощи замены отвергнутой леммы вам удалось справить­ся с локальным контрапримером, не бывшим глобаль­ным. А что если в следующий раз вам это не удастся?

Учитель.Вопрос хорош — поставим его завтра в повестку дня.