АКАДЕМИЯ НАУК СССР

И. Лакатос

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА И ОПРОВЕРЖЕНИЯ

Как доказываются теоремы

Перевод с английского И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» Москва 1967

Эта книга, посвященная проблемам математической логики, написана легко, увлекательно и остроумно в виде разговора учителя с ученика­ми, разбирающими доказательства знаменитой теоремы Эйлера о мно­гогранниках и получающихся при этом парадоксах. Ошибки, которые делают ученики, в действительности были допущены различными м.ате' матиками XIX в., что раскрывается в подстрочных примечаниях, даю­щих полную историю вопроса. Кни­га может быть прочитана не только математиками, она вполне доступна школьникам старших классов.

Ответственный редактор И.Б.П ОГРЕБЫССИИВ

2-2-1 6-67

От переводчика

Автор этой книги И. Лакатос, профессор Лондонского экономического училища, является одним из видных дея­телей в области математической логики — части матема­тики, особенно быстро развивающейся в наше время. На первой странице английского издания Лакатоса есть по­священие: «К 75-летию Георга Полья и 60-летию Карла Поппера». Первый из этих двух ученых хорошо известен в нашей математической литературе книгой «Задачи и теоремы из анализа», составленной им совместно с Г. Ce­re и переведенной в 30-е годы на русский язык профес­сором Б. А. Райковым.

Книга И. Лакатоса является как бы продолжением другой книги Г. Полья — «Математика и допустимые рас­суждения» (Лондон, 1954). Разобрав вопросы, касающие­ся возникновения догадкии ее проверки, Полья в сво­ей книге остановился нафазе доказательства; исследованию этой фазы и посвящена предлагаемая вни­манию читателей книга Лакатоса. Конечно, автор пресле­довал и другие цели, о которых он говорит во введении, но широкому кругу читателей интересно не столько введе­ние, имеющее существенное значение для специалистов, сколько основной текст, понимание которого доступно да­же школьникам старших классов. Берется простая стерео­метрическая теорема, касающаяся соотношения между числами сторон, вершин и граней многогранника, и раз­бираются ее возможные доказательства. Изложение ве­дется в двух планах: один из них — это рассказ о разгово­рах, возникших среди учеников в связи с обсуждением правильности рассматриваемых доказательств, другой план составляют подстрочные примечания, дающие дейст­вительную историю этих доказательств и вскрывающие

ошибки, которые делались при этом математиками XIX в. Диалоги учеников — это по существу и есть наглядное от­ражение этой истории. Таким образом, читатель вводится в рабочую мастерскую математиков, знакомится с созда­нием доказательств, а не только с окончательными резуль­татами, излагаемыми в учебниках.

Карл Поппер — один из видных представителей нео­позитивизма, примыкавший в 30-е годы к «венскому кружку» (Карнап, Рейхенбах и др.). В послевоенные го­ды он осел в Англии. Поппер если и эволюционировал, то в сторону скептицизма, а в вопросах обоснования ма­тематики — в сторону конвенционализма, т. е. утвержде­ния чисто условного характера научных положений. Вли­яние Поппера на И. Лакатоса несомпенпо. Однако наш читатель не сделает тех скептических выводов, к которым пытается подвести его автор, а найдет в этом насыщен­ном историческим материалом произведении немало яр­ких доказательств того, что математика в познании дей­ствительности идет по тому же диалектическому пути, что и другие науки.

Нужно отметить особый характер ссылок: цитируемые книга обозначены именем автора и временем издания; по этим данным в библиографии, помещенной в конце книги, читатель может найти точное название источника.

8 Сентября 1966 г.

Написанная легко и остроумно, книга И. Лакатоса до­ставила переводчику много удовольствия во время работы над ней. Он желает, чтобы такое же удовольствие испыта­ли и ее читатели.

Профессор И. It. В е с ел о в ский

Введение

В истории мысли часто случается, что при появлении но­вого мощного метода быстро выдвигается на авансцену изучение задач, которые этим методом могут быть реше­ны, в то время как все остальное игнорируется, даже забы­вается, а изучением его пренебрегают.

Именно это как будто произошло в нашем столетии в области философии математики в результате стремитель­ного развития метаматематики.

Предмет метаматематики состоит в такой абстракции математики, когда математические теории заменяются формальными системами, доказательства — некоторыми последовательностями хорошо известных формул, опреде­ления — «сокращенными выражениями», которые «тео­ретически необязательны, но зато типографически удобны»

Такая абстракция была придумана Гильбертом, чтобы получить мощную технику исследования задач методоло­гии математики. Вместе с тем имеются задачи, которые выпадают из рамок метаматематической абстракции. В их числе находятся все задачи, относящиеся к «содержатель­ной» математике и ее развитию, и все задачи, касающиеся ситуационной* логики и решения математических задач.

Школу математической философии, которая стремится отождествить математику с ее метаматематической абст­ракцией (а философию математики — с метаматематй- кой), я буду называть «формалистской» школой. Одна из самых отчетливых характеристик формалистской позиции находится у Карнапа (1937)¹. Кариап требует, чтобы (а) философия была заменена логикой науки..., но (в) «логи­ка науки представляет не что иное, как логический син­таксис языка науки»..., (с) «метаматематика же является синтаксисом математического языка» (стр. XIII и9). Итак, философию математики следует заменить метамате­матикой.

Формализм отделяет историю математики от филосо­фии математики, так как согласно формалистскому по­ниманию математики, собственно говоря, истории матема­тики не существует. Любой формалист целиком будет со­гласен с замечанием Рассела, высказанным «романтиче­ски», но сделанным вполне серьезно, что «Законы мысли» Буля (Boole, 1854) были «первой книгой когда-либо напи­санной по математике»². Формализм отрицает статус ма­тематики для большей части того, что обычно понималось как входящее в математику, и ничего не может сказать об ее «развитии». Ни один из «творческих» периодов и вряд ли один из «критических» периодов математических теорий может быть допущен в формалистическое небо, где мате­матические теории пребывают как серафимы, очищенные от всех пятен земной недостоверности. Однако формали­сты обычно оставляют открытым небольшой черный ход для падших ангелов; если для каких-нибудь «смесей мате­матики и чего-то другого» окажется возможным построить формальные системы, «которые в некотором смысле вклю­чают их», то они могут быть тогда допущены. При таких условиях Ньютону пришлось прождать четыре века, пока Пеано, Рассел и Куайн(Quine) помогли ему влезть на небо, формализовав его исчисление бесконечно малых. Дирак оказался более счастливым: Шварц спас его душу еще при его жизни. Может быть, мы должны упомянуть здесь парадоксальное затруднение метаматематика: по форма­листским или даже по дедуктивистским стандартам он не является честным математиком. Дьёдонпе говорит об «абсо­лютной необходимости для каждого математика,кото­рый заботится об интеллектуальнойче­стности (разрядка моя.— Авт.), представлять свои рассуждения в аксиоматической форме» (1939, стр. 225).

При современном господстве формализма невольно впадаешь в искушение перефразировать Канта: история математики, лишившись руководства философии, сдела­лась слепой,тогда как философия математики, повернув­шись спиной к наиболее интригующим событиям истории математики, сделаласьпустой.

«Формализм» представляет крепость логической пози­тивистской философии. Если следовать логическому пози­тивизму, то утверждение имеет смысл только, если оно является «тавтологическим» или эмпирическим. Так как содержательная математика не является ни «тавтологиче­ской», ни эмпирической, то она должна быть бессмыслен­ной, она — чистый вздор⁴. Догматы логического позити­визма гибельны для и с т о р и и ифилософии мате­матики.

Целью этих статей является подход к некоторым про­блемам методологии математики.Я употреб­ляю слово «методология» в смысле, близком к «эвристи­ке»⁵Полья и Бернайса и к «логике открытия» или «ситуа­ционной логике» Поипера⁶. Недавняя экспроприация тер­мина «методология математики» для использования в ка­честве синонима «метаматематики» имеет несомненно

и метафизика». В издании «Пингвина» (1953) цитату можно найти на стр. 74. В предисловии к труду (1918) Рассел говорит об этой работе: «Тон этого очерка отчасти объясняется тем, что издатель просил меня сделать его „сколь возможно романтическим"».

⁴Согласно Тюркетту(Turquette), положения Геделя не имеют смысла (1950), стр. 129. Тюркетт спорит с Копи(Copi), который считает, что, поскольку эти положения являются «априорными истинами», но не аналитическими, то они опровергают аналитиче­скую теорию априорности (1949) и (1950). Никто из них пе заме­чает, что особый статус положений Геделя с этой точки зрения состоит в том, что эти теоремы являются теоремами неформаль­ной содержательной математики и что в действительности они оба обсуждают статус неформальной математики в частном случае. Они также не замечают, что теории неформальной математики оп­ределенно являются догадками, которые с точки зрения догмати- ста вряд ли возможно разделить на догадкиa priori иa posteriori.