2. Доказательство

Учитель.На нашем последнем уроке мы пришли к догадке относительно многогранников, а именно: что для, всех многогранников V— Е+ F = 2, где V— число вер­шин, Е— число ребер и F — число граней. Мы испытали ее различными способами. Но мы пока еще не доказали ее. Может быть, кто-нибудь нашел доказательство?

Ученик Сигма.Я со своей стороны должен со­знаться, что пока еще не придумал строгого доказатель­ства этой теоремы... Однако истинность ее была установ­лена в очень многих случаях, и не может быть сомнения,

Рис. 1 Рис. 2

что она справедлива для любого тела. Таким образом, зто предложение, по-видимому, доказано вполне удовлетвори­тельно ³. Но если у вас есть доказательство, то, пожа­луйста, дайте его.

Учитель.Действительно, я его имею. Оно состоит в следующем мысленном эксперименте.Первый шаг. Вообразим, что многогранник будет полым с поверхностью из резины. Если мы вырежем одну из его граней, то всю остальную поверхность мы можем, не разрезая, растянуть на плоской доске. Грани и ребра будут деформироваться, ребра могут стать криволинейными, но V, Еи F не изме­нятся, так что если и только если V — Е + F = 2 для пер­воначального многогранника, то V — Е + F =1 для этой

плоской сети — вспомните, что мы одну грань удалили. (На рпс. 1 показана такая сеть для куба.) Второй шаг.Теперь мы стриангулируем нашу карту — она дей­ствительно выглядит как географическая карта. Проведем (может быть, криволинейные) диагонали в тех (может быть, криволинейных) многоугольниках, которые еще не являются (может быть, криволинейными) треугольниками. Проведя каждую диагональ, мы увеличиваем и Еи F на единицу, так что сумма V — Е + F не изменится (рис. 2).

Рис. 3

Третий шаг.Теперь будем вынимать из триангулиро­ванной сети треугольники один за другим. Вынимая тре­угольник, мы или вынимаем ребро, причем исчезают одна грань и одно ребро (рис. 3, а), или вынимаем два ребра и вершину; тогда исчезают одна грань, два ребра и одна вершина (рис. 3,6). Таким образом, если V — Е + + F = 1 до выемки треугольника, то оно останется таким же и после выемки. В конце этой процедуры мы получа­ем один треугольник. Для пего V — Е + F = 1 является справедливым. Таким образом, мы доказали нашу до­гадку⁴.

Ученик Дельта.Вы должны назвать это теперьтеоремой.Теперь здесь уже нет ничего из области дога­док⁵.

Ученик Альфа.Не знаю. Я вижу, что этот экспе­римент можно выполнить с кубом или с тетраэдром, но как я могу знать, что его можно произвести слюбыммного­гранником. Кстати, уверены ли вы, сэр, чтовсякий многогранник после устранения одной гра­ни может быть развернут плоско на доске? У меня есть сомнения относительно вашего первого шага.

Ученик Бета.Уверены ли вы, чтопри триан­гулировании карты вы всегда получите но­вую грань для любого нового ребра?У меня есть сомнения относительно вашего второго шага.

Ученик Гамма.Уверены ли вы, чтокогда вы будете откидывать треугольники один за другим, то получатся только две альтерна­тивы— исчезновение одного ребраилиже двух ребер и одной вершины?Уверены ли вы также, что вконце процесса останетесь толь­ко с одним треугольником?У меня есть сомнения относительно вашего третьего шага⁶.

Учитель.Конечно, я не уверен.

Альфа.Но ведь это еще хуже, чем раньше. Вместо одной догадки, мы теперь имеем по меньшей мере три! И вы называете это «доказательством»!

Учитель.Я допускаю, что традиционное название «доказательство» для зтого мысленного эксперимента, по­жалуй, не совсем подходит. Я не думаю, что этот экспери­мент устанавливает истинность догадки.

Дельта.Ну а что же он тогда делает? Что же, по- вашему, доказывает математическое доказательство?

Учитель.Это тонкий вопрос, на который мы по­пытаемся ответить позже. До тех пор я предлагаю сохра­нить освященный временем технический термин «доказа­тельство» длямысленного эксперимента, или квазиэксперимента, который предлагает разложение первоначальной догадки на вспомогательные догадки или леммы,та­ким образомвпутывая ее,может быть, в совер-

ношение V — Е + F = 2 применимо к многогранникам любого вида, как и установил Эйлер в 1752 г. В 1811 г. вся нерешительность дол­жна была исчезнуть» [Жонкьер (1890), стр. 111—112].