10По поводу дискуссии относительно роли математики в дог- матико-скоптпческом споре см. Мою работу (1962).

матика представляет парадигму неформальной квазиэм­пирической математики и в настоящее время находится в быстром росте, то эта статья тем самым бросает вызов со­временному математическому догматизму. Исследователь недавней истории метаматематики найдет на его собствен­ном поле описанные здесь образцы.

Диалогическая форма должна отразить диалектику рассказа; она должна содержать своего рода рациональ­но реконструированную или «дистиллиро­ванную» историю. Реальная история будет звучать в подстрочных примечаниях, боль­шая часть которых поэтому должна быть рассматриваема как органическая часть статьи.

1. Задача и догадка

Диалог происходит в воображаемой классной комнате. Класс заинтересовался задачей:существует ли соотно­шение между числом Vвершин, числом Еребер и, нако­нец, числом F граней многогранника — в частности,пра­вильного многогранника —аналогично триви­альному соотношению между числами вершин и сторонмногоугольников,а именно: что существует столь­ко же сторон, сколько и вершин: V =Е? Последнее соот­ношение позволяет классифицироватьмногоуголь­никипо числу сторон (или вершин): треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д. Аналогичное соотношение поможет классификациимногогранни­ков.

После большого количества испытаний и ошибок класс замечает, что для всех правильных многогранников V — E + F = 2\

¹Впервые замечено Эйлером (1750). Первоначальной его за­дачей было дать классификацию многогранников. На трудность этох'о было указано в заключении издателя: «В то время как в плоской геометрии многоугольники(figurae rectilineae) легко мо­гут быть классифицированы по числу сторон, которое, конечно, всегда будет равно числу углов, в стереометрии классификация многогранников(corpora hedris planis inclusa) представляет собой значительно более трудную задачу, так как только одно число граней недостаточно для этой цели». Ключом к полученному Эй­лером результату было как раз введение полятийвершины и ребра; он первый указал на то, что кроме числа граней число точек и линий на поверхности многогранника определяет его (топологический) характер. Интересно отметить, что, с одной сто­роны, он очень хотел подчеркнуть новизну его концептуальной основы и что ему пришлось изобрести термин «acies» (ребро) вместо старого«latus» (сторона), так как«latus» было понятием, относящимся к многоугольникам, тогда как ему нужно было вве­сти понятие, относящееся к многогранникам; с другой стороны, он все же удержал термин «аn g u 1 иs s о 1i d иs» (телесный угол) для подобных точке вершин. С недавнего времени стали считать, что приоритет в этом деле принадлежит Декарту. Основанием этого притязания является рукопись Декарта (ок. 1639), скопи­рованная с оригинала Лейбницем в Париже в 1675—1676 гг. и снова открытая и опубликованнаяFoucher de Careil в 1860 г. Од­нако приоритет Декарту отдать нельзя. Верно, что Декарт уста­навливает, что число плоских углов равно 2<р+2а—4, где ср обоз-

Кто-то высказывает догадку,что это может быть приложимым к любому многограннику. Другие пытаются оспорить эту догадку, испытать ее многими разными спо­собами— она выдерживает хорошо. Этот результатпод­крепляетдогадку и наводит на мысль, что она может бытьдоказана.В этот момент — после стадий поста­новкизадачи и догадок —мы входим в классную комнату². Учитель как раз готовится датьдоказа­тельство.

начает у него число граней, а а — число телесных углов. Также верно то, что он устанавливает, что плоских углов вдвое больше, чем ребер (latera). Простое соединение двух этих положений, ко­нечно, даст формулу Эйлера. Но Декарт но видел надобности сде­лать это, так как он все же мыслил в терминах углов (плоских и телесных) и граней и не сделал сознательного революционного изменения, а именно: не ввел понятия нуль-мерных вершин, од­номерных ребер и двумерных граней в качестве необходимого и достаточного основания для полной топологической характе­ристики многогранников.

²Эйлер проверил свою догадку достаточно исчерпывающим образом. Он испытал ее на призмах, пирамидах и т. д. Он мог бы добавить, что существование только пяти правильных тел тоже является следствием его догадки. Другое подозреваемое следствие представляет недоказанное до сих пор предложение, что четырех цветов вполне достаточно для раскрашивания карты.

Фазы догадки и испытания в случае V—E+F"2 разо­браны Полья (1954), т. 1 (первые пять отделов третьей главы, стр. 35—41). Полья остановился здесь и не разобрал фазы дока­зательства, хотя, конечно, он указал на необходимость для эвристики «задач для доказательства». Наше рассуждение начи­нается там, где Polya останавливается.