Algebra

УДК 51 (075.8) ББК 22.17я73

С 60

Рецензенты:

д$р физ.$мат. наук, профессор В. И. Быков (МГТУ им. Н. Э. Баумана), канд. физ.$мат. наук, доцент С. А. Перегудов (ГУУ)

Со л о в ь е в В. И.

С60 Математика: Часть 1. Основы линейной алгебры и аналитической гео' метрии: Учебное пособие для вузов. – М., 2006. – 12 с.

Содержит изложение материала линейной алгебры и аналитической геометрии в соот$ ветствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего про$ фессионального образования по экономическим специальностям и направлениям подго$ товки. Изложение сопровождается примерами и задачами из экономической, финансо$ вой и управленческой практики. При решении примеров используются как ручные вычис$ ления, так и возможности пакета Microsoft Excel. Уровень изложения является достаточно строгим, но вместе с тем доступным для студентов, что в комбинации с наличием приме$ ров и задач дает возможность использовать пособие студентами заочной и очно$заочной форм обучения при самостоятельном изучении линейной алгебры и аналитической гео$ метрии.

Пособие предназначено для студентов экономических специальностей и направлений подготовки всех форм обучения. Может быть полезно студентам других специально$ стей, преподавателям и аспирантам.

В. И. Соловьев, 2006

ПРЕДИСЛОВИЕ

Актуальность применения математических методов в экономической и финансовой прак тике c каждым годом возрастает. В соответствии с Государственным образовательным стан дартом высшего профессионального образования учебными планами всех экономических специальностей предусмотрено изучение математических дисциплин. Согласно действую щим программам студент должен изучить методы линейной алгебры, математического ана лиза, теории вероятностей, математической статистики, оптимизации и исследования опе раций и научиться применять их в задачах анализа и прогноза экономических процессов с целью эффективного управления ими. Необходимой составляющей успешной подготовки экономистов является разнообразие рассматриваемых экономических задач.

Данное учебное пособие по дисциплине «Математика» составлено в соответствии с требо ваниями к содержанию и минимуму подготовки студентов, изложенными в Государственном образовательном стандарте высшего профессионального образования по экономическим специальностям и направлениям подготовки.

Особенностью пособия является его прикладная направленность: изложение теоретиче ского материала подкрепляется разобранными примерами применения математических ме тодов в конкретных экономических ситуациях и задачами для самостоятельного решения. В процессе решения таких задач студент не только закрепляет и углубляет теоретические знания, полученные на лекциях, но и учится применять эти знания при постановке и реше нии реальных экономических задач. В предлагаемом пособии экономические приложения математических методов выходят на первый план, серьезный акцент делается не только на методы решения задач, но и на построение математических моделей, анализ и экономиче скую интерпретацию полученных результатов. При решении примеров используются как ручные вычисления, так и возможности пакета Microsoft Excel.

В результате использования учебного пособия студент знакомится с основными пробле мами управления, экономики и финансов, при решении которых полезно применение мате матических методов и моделей, учится ориентироваться в математических методах и по экономической постановке задачи определять, в каком разделе математики искать средства для ее решения, переходить от экономической постановки задачи к ее математической мо дели, проводить по этой модели расчеты и получать числовые результаты, анализировать эти результаты и делать количественные и качественные выводы, необходимые для приня тия решений в своей предметной области.

Уровень изложения является достаточно строгим, но вместе с тем доступным для студен тов, что в комбинации с наличием примеров, задач для самостоятельного решения и кон трольных заданий дает возможность использовать пособие студентами заочной и очно заочной форм обучения при самостоятельном изучении линейной алгебры и аналитической геометрии.

Пособие состоит из глав и параграфов, примеры, теоремы, рисунки, таблицы и формулы нумеруются трехступенчато: номер главы, номер параграфа, номер теоремы, примера, ри сунка и т. п. Конец доказательства или решения обозначается знаком . В конце каждого параграфа приводятся контрольные вопросы для самопроверки и задачи для решения на практических занятиях и дома. По итогам изучения дисциплины студент должен выполнить и н д и в и д у а л ь н о е контрольное задание, которое приводится в конце пособия.

Данная книга содержит материал первой части дисциплины, посвященной методам л и н е й н о й а л г е б р ы и а н а л и т и ч е с к о й г е о м е т р и и, на которых основывается дальнейший материал дисциплины «Математика»: теория вероятностей и математическая статистика, методы оптимизации и исследование операций.

Автор выражает благодарность А. Ю. Бушуеву, который принимал участие в подготовке решений ряда примеров и М. В. Самоявчевой, внимательно прочитавшей рукопись и сде лавшей ряд ценных замечаний.

3

ВВЕДЕНИЕ

Математика изучает количественные отношения в реальном мире. Неизвестно, когда она зародилась, но самостоятельное положение как наука

математика заняла в Древней Греции приблизительно в VI—V вв. до нашей эры. Геометрия Евклида — первая естественно научная дисциплина — стала образцом построения естественно научной теории. К XVII в. нашей эры мето ды математики развились настолько, что позволили описывать процессы движения физических тел.

Сейчас без математики немыслимы и естественно научные дисциплины: физика, химия, биология, психология, и общественные: социология, политоло гия, история.

Особенно важно применение количественных методов в экономических науках: как теоретических, так и практических. Большинство Нобелевских премий в области экономики присуждается за применение математических методов к анализу экономических, управленческих и финансовых проблем (как известно, в области математики Нобелевская премия не присуждается, но математики получают эту премию, как правило, в области экономики).

Роль математики в экономических науках сейчас заключается в предостав лении специалистам универсального логически строгого языка как средства точной и четкой формулировки проблем и интерпретации результатов их ре шения, а также инструмента и качественного, и количественного исследования.

В становлении математики существенную роль сыграли труды Архимеда, Евклида, Р. Декарта, И. Ньютона, Г. Лейбница, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа, К. Гаусса, О. Коши.

Дальнейшее ее развитие происходило благодаря идеям выдающихся рос сийских математиков: Н. И. Лобачевского, М. В. Остроградского, П. Л. Чебы шёва, А. А. Маркова, А. М. Ляпунова, А. Н. Колмогорова, Л. В. Канторовича, М. А. Лаврентьева, С. Л. Соболева, А. Н. Тихонова и многих других, совре менная российская математическая школа занимает ведущее место в мире.

Количественные отношения реального мира математика изучает с помо щью м а т е м а т и ч е с к и х м о д е л е й. С такими моделями экономических систем мы постоянно будем знакомиться в нашем курсе.

В основе построения математических теорий лежит а к с и о м а т и ч е с к и й м е т о д, при котором в основу теории кладутся некоторые аксиомы — исходные положения, которые описывают первичные, базовые понятия тео рии и не требуют доказательства в силу очевидности. При этом все остальные положения теории получаются логическим путем как с л е д с т в и я аксиом. С примером аксиоматической теории Вы знакомы из школьного курса геомет рии, все положения которой выводятся логическим путем из небольшого чис ла аксиом Евклида, истинность которых представляется наглядно очевидной.

Одним из п е р в и ч н ы х понятий математики, которые нельзя определить через более простые объекты, является понятие множества. Под множеством понимается совокупность (набор) некоторых объектов, называемых элемен тами этого множества.

4

Приведем несколько п р и м е р о в множеств:

•множество студентов первого курса;

•множество предприятий автомобильной промышленности;

•множество натуральных чисел.

Как правило, множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а

элементы множеств — строчными латинскими буквами.

Если a является элементом множества A, то говорят, что a принадлежит множеству A, и пишут сокращенно: a A. Если a не принадлежит A, пишут a A .

Для задания множества часто используются следующие два способа:

деления натуральных чисел на четыре;

• указание свойства, объединяющие все элементы множества (или несколь ких таких свойств), например, X ={x | x2 =1} — множество корней уравнения x2 =1 (вертикальная черта служит сокращением для слов «таких что»: в дан ном случае X — это множество всех x, таких что x2 =1).

Множество A является подмножеством множества B (или множество A вложено в множество B), если каждый элемент множества A входит и во мно жество B. Это обозначается как A B.

Множества A и B называются равными, если A B и B A. Равенство мно жеств обозначается как A = B.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обо значается символом . Считается, что пустое множество является под множеством любого множества: A .

Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным, если же число элементов множества не ограничено, то оно называется беско нечным.

Над множествами A и B, связанными с одним и тем же опытом S, определе ны следующие о п е р а ц и и.

Объединением множеств A и B называется множество A B, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.

Пересечением множеств A и B называется множество A∩B, состоящее из всех элементов, которые принадлежат одновременно и множеству A, и множеству B.

Множества A и B называются непересекающимися, если A∩B = , т. е. если они не содержат одинаковых элементов.

Операции над множествами обладают следующими легко проверяемыми с в о й с т в а м и:

A B = B A (коммутативность объединения множеств), A∩B = B∩A (коммутативность пересечения множеств),

(A B) C = A (B C) (ассоциативность объединения множеств), (A∩B)∩C = A∩(B∩C) (ассоциативность пересечения множеств),

5

A A = A (идемпотентность объединения множеств),

A∩A = A (идемпотентность пересечения множеств),

A∩(B C) = (A∩B) (A∩C) (дистрибутивность пересечения относительно объединения).

Множество натуральных чисел – это множество чисел, используемых для счета предметов: 1, 2, 3, …, n, … Это множество обозначается так:

={1, 2, 3,…, n,…}

Натуральные числа, числа, им противоположные, и нуль образуют множе ство целых чисел, которое обозначается так:

={…, −m,…, −3, −2, −1, 0,1, 2, 3,…, n,…} .

Множество рациональных чисел — это множество всех чисел, представи мых в виде частного от деления целого числа z на натуральное число n . Данное множество обозначается так:

В школьном курсе математики доказывается, что любое рациональное чис ло может быть представлено в виде бесконечной периодической десятичной дроби, например, 1/2 = 0,5000… = 0,5(0), 2/3 = 0,666… = 0,(6).

Замечание. Некоторые рациональные числа могут быть записаны двумя способа ми: либо в виде бесконечной десятичной дроби с цифрой 0 в периоде, либо либо в ви

3/10 = 0,2999… = 0,2(9). Мы договоримся всегда пользоваться только первым из этих способов (с цифрой 0 в периоде).

Множество всех чисел, представимых в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, называется множеством иррациональных чисел и обозна чается с помощью символа I.

Объединение множества рациональных чисел и множества иррациональ ных чисел называется множеством действительных чисел и обозначается

=I. Любое действительное число представимо в виде бесконечной пе

риодической или непериодической десятичной дроби. Множества

[a, b] ={x | a x b} ,

и

(a, b) ={x | a <x <b} ,

где a , b — некоторые действительные числа, называются соответст

венно отрезком и интервалом. Множества

6

[a, b) ={x | a x <b} ,

и

(a, b] ={x | a <x b} ,

где a , b — некоторые действительные числа, называются полуинтер

валами. Множество

Uδ(a) =(a −δ, a +δ) ={x | a −δ< x <a +δ} ={x | | x −a |<δ} ,

называется окрестностью точки a.

Множество

Uδ(a) =(a −δ, a) (a, a +δ) ={x | a −δ< x <a +δ, x ≠ a} ={x | 0 <| x −a |<δ} ,

называется проколотой окрестностью точки a.

Символ называется квантором существования и используется для со кращенной записи слова «существует». Символ называется квантором общности и используется для сокращенной записи слов «каждый», «любой», «всякий».

Справедливость математических утверждений доказывается не экспери ментальным, а чисто логическим путем — по законам формальной логики.

Высказыванием называется предложение, относительно которого известно, что оно или истинно, или ложно.

Всякая теорема состоит в установлении связи между некоторым свойством (или свойствами) A, называемого условием теоремы, и свойством (свойствами) B, называемом заключением теоремы. Теорема A B означает, что если ис тинно высказывание A, то обязательно будет истинно и высказывание B. При этом A называется достаточным условием для B, а B — необходимым усло вием для A. Символ заменяет слова «если …, то …».

Например, делимость числа на 3 является необходимым, но не достаточным условием его делимости на 24, делимость числа на 24 является достаточным, но не необходимым условием делимости числа на 3, если же число одновре менно делится на 3 и на 8, то это является необходимым и достаточным усло вием делимости числа на 24.

Для теоремы A B можно сформулировать теорему B A , которая назы вается обратной. Обратная теорема может представлять собой как истинное, так и ложное высказывание.

Если истинны и прямая теорема A B , и обратная теорема B A , то это можно записать так: A B , что равносильно высказыванию: «для того чтобы было истинно A, необходимо и достаточно, чтобы было истинно B».

Выражение «необходимо и достаточно, чтобы» можно заменить равносиль ными выражениями «тогда и только тогда, когда», «если и только если», «в том и только в том случае, если».

7

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1.Что такое множество?

2.Можно ли дать определение множества?

3.Что такое пустое множество?

4.Что такое объединение двух множеств?

5.Что такое пересечение двух множеств?

6.Что такое мощность множества?

7.Как изображается и что означает квантор существования?

8.Как изображается и что означает квантор единственности?

9.Что такое условие теоремы?

10.Что такое утверждение теоремы?

11.Что такое обратная теорема?

12.Для всякой ли теоремы справедлива обратная теорема?

13.Какое условие называется необходимым?

14.Какое условие называется достаточным?

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

1.Известно, что A B. Найти: а) A B; б) A∩B.

2.Установите, при каких условиях множества A и A∩B являются эквива лентными.

3.Пусть A, B, C — некоторые множества, причем A B. Упростите выра жения: а) A∩B; б) A B; в) A∩B∩C; г) A B C.

8

a +b =(3500, 22 000, 4000,1500) .

Операция сложения векторов обладает свойствами коммутативности и ассоциативности:

Вектор

0 =(0, 0,…, 0) ,

все компоненты которого равны нулю, называется нуль вектором. Каков бы ни был вектор a, справедливо равенство

т. е. нуль вектор ведет себя при сложения векторов аналогично числу нуль в арифметике.

Операция вычитания векторов определяется как сложение с противопо ложным вектором

Под произведением вектора a =(a1,a2,…,an ) на число λ понимают вектор

λa =(λa1, λa2,…, λan ) ,

компоненты которого получаются умножением всех компонент данного векто ра на данное число. Например, если первая из рассмотренных мебельных фаб рик пожелает увеличить свой выпуск в два раза, то это будет означать, что новый годовой план производства будет задаваться вектором

2a =(2000, 20 000, 4000,1000) .

Очевидно, при умножении любого вектора на единицу этот вектор не изме нится:

10