Algebra

а при умножении любого вектора на число нуль и любого числа на нуль вектор получается нуль вектор

b =(b1, b2,…, bn ) называют число, равное сумме произведений одноименных ко

В пакете прикладных программ Microsoft Excel скалярное произведение век торов вычисляется с помощью функции

a, b = СУММПРОИЗВ(вектор a; вектор b),

где «вектор a» и «вектор b» — ссылки на ячейки рабочего листа, содержащие соответствующие векторы.

ПРИМЕР 1.1.1. Даны векторы a = (1, 5, 15) и b = (2, –1, 0). Требуется вычислить их скалярное произведение вручную и с помощью пакета Microsoft Excel.

Решение. Вычисляем a, b по формуле (1.1.11): a, b =1 2 +5 (−1) +15 0 = −3 .

Теперь введем данные векторы a и b в ячейки A2:C2 и E2:G2 рабочего листа Micro$ soft Excel, а в ячейку A5 введем формулу «=СУММПРОИЗВ(A2:C2;E2:G2)», как пока зано на рис. 1.1.1, а. Результат вычисления представлен на рис. 1.1.1, б (в ячейке A5). Естественно, результаты ручного и компьютерного вычисления скалярного произве дения совпали.

а) формула Microsoft Excel

б) результаты расчета

Рис. 1.1.1. Вычисление скалярного произведения в Microsoft Excel

Операция скалярного умножения векторов обладает следующими легко проверяемыми с в о й с т в а м и:

11

a,b = b,a , λ a,b = λa,b = a,λb , a +b,c = a,c + b,c , a,a 0 , (1.1.12)

причем знак равенства в последнем соотношении возможен лишь при a =0 . Предположим, что в магазине продается картофель, помидоры и огурцы,

причем цена 1 кг картофеля равна 10 руб., цена 1 кг огурцов равна 30 руб., а цена 1 кг помидоров равна 50 руб. Тогда вектор цен в этом магазине равен

p, x =10x1 +30x2 +50x3 ,

представляет собой стоимость набора товаров x. Покупатель, располагающий для покупки картофеля, помидоров и огурцов бюджетом Q =400 руб., может приобрести только такие наборы товаров, которые удовлетворяют так назы ваемому бюджетному ограничению

p, x Q

или, в нашем случае,

10x1 +30x2 +50x3 400 .

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1.Что такое вектор?

2.Как найти сумму двух векторов, произведение вектора на число, ска лярное произведение двух векторов?

3.Приведите примеры векторов из экономической практики.

12

Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Нулевая матрица обозначается

Чтобы подчеркнуть, что нулевая матрица имеет размер m ×n , мы будем (когда это необходимо) пользоваться нижним индексом:

называется квадратной, а число ее строк (совпадающее с числом столбцов и равное n) — порядком матрицы. Элементы a11, a22,…, ann квадратной матри цы образуют ее главную диагональ. Квадратная матрица называется тре угольной, если все ее элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю:

Квадратная матрица называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны единице, а остальные — нулю:

14

Чтобы подчеркнуть, что единичная матрица имеет n й порядок, мы будем (когда это необходимо) пользоваться нижним индексом:

n столбцов

Если в матрице A заменить строки столбцами, сохранив их порядок, то по лучится новая матрица

называемая транспонированной по отношению к матрице A. Очевидно,

(AT )T = A .

Впакете Microsoft Excel для транспонирования матриц используется функ

ция

AT = ТРАНСП(матрица A),

где «матрица A» — ссылка на ячейки рабочего листа, содержащие данную матрицу. Эта формула должна быть введена в рабочий лист как ф о р м у л а м а с с и в а Microsoft Excel (конкретные пояснения по использованию формул массива даны в примере 1.2.1).

1.2.1. Дана матрица

Требуется вычислить вручную и с помощью пакета Microsoft Excel матрицу AT.

Решение. Найдем матрицу AT, транспонированную к матрице A. Первая строка

15

Теперь поясним, как получить тот же результат в пакете Microsoft Excel. Введем матрицу A в ячейки A2:C3 рабочего листа Microsoft Excel, как показано на рис. 1.2.1, а.

Матрица A имеет две строки и три столбца, значит, матрица AT будет иметь три строки и два столбца. Отведем под результат ячейки E2:F4 (они как раз занима ют три строки и два столбца). В ячейку E2 введем формулу «=ТРАНСП(A2:C3)», причем эту формулу необходимо ввести как ф о р м у л у м а с с и в а. Для это го нужно мышью выделить диапазон E2:F4, начиная с ячейки E2, содержащей формулу, затем нажать клавишу <F2>, а затем — комбинацию клавиш

<Ctrl> + <Shift> + <Enter>. Результат представлен на рис. 1.2.1, б (в ячейках E2:F4). Замечаем, что результаты ручного и компьютерного транспонирования мат рицы совпали. Если формулу ввести не как формулу массива, то будет рассчи тан только левый верхний элемент результата — число 1.

а) формула Microsoft Excel

б) результаты расчета

Рис. 1.2.1. Транспонирование матрицы в Microsoft Excel

Под суммой двух матриц A =(aij ) и B =(bij ) одного и того же размера пони

мают матрицу, элементы которой получаются сложением соответствующих элементов данных матриц

(aij ) +(bij ) =(aij +bij ) .

Под произведением матрицы A =(aij ) на число λ понимают матрицу, эле

менты которой получаются умножением всех элементов данной матрицы на данное число:

λ(aij ) =(λaij ) .

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают теми же свойствами, что и соответствующие операции над векторами.

ПРИМЕР 1.2.2. Даны матрицы

16

Требуется вычислить вручную и с помощью пакета Microsoft Excel их сумму A + B и произведение матрицы A на число 3.

Решение. Данные матрицы имеют одинаковый размер 2×3 , поэтому их можно складывать, при этом сумма A + B будет иметь тот же размер 2×3 . Элементы суммы получаются сложением соответствующих элементов матриц A и B:

Рассчитать сумму матриц и произведение матрицы на число в пакете Microsoft Ex cel очень просто. Введем матрицы A и B в ячейки A2:C3 и E2:G3 рабочего листа Micro soft Excel, как показано на рис. 1.2.2, а. Сумма A + B имеет размер 2×3 , поэтому отве дем под результат ячейки A6:C7 (они как раз занимают две строки и три столбца). В ячейку A6 введем формулу «=A2+E2», далее скопируем ячейку A6 в буфер обмена (меню «Правка | Копировать»), выделим диапазон A6:C7 и вставим в этот диапазон формулу из буфера обмена (меню «Правка | Вставить»). В результате в ячейках A6:C7 будет рассчитана сумма A + B (рис. 1.2.2, б). Произведение 3A рассчитывается анало гично (см. рис. 1.2.2). Компьютерные расчеты дали, конечно, те же результаты, что и ручные вычисления.

б) результаты расчета

Рис. 1.2.2. Вычисление суммы матриц и произведения матрицы на число в Microsoft Excel

17

Умножение матрицы на матрицу определяется только при условии, что число столбцов первого сомножителя A равно числу строк второго сомножи теля B. В этом случае размерность любого вектора — строки матрицы A будет совпадать с размерностью любого вектора — столбца матрицы B, и можно со ставить их скалярные произведения в любом сочетании. Под произведением

элемент cij которой равен скалярному произведению i й строки матрицы A на j й столбец матрицы B:

cij = (ai1, ai2,…,aik ), (b1j ,b2j ,…,bkj )

или

k

cij =ai1b1j + ai2b2j + +aikbkj = ∑aitbtj , i =1,2,…, m; j =1,2,…,n . t=1

Очевидно, число строк произведения совпадает с числом строк первого со множителя, а число столбцов — с числом столбцов второго сомножителя.

В пакете Microsoft Excel для вычисления произведения матриц используется функция

AB = МУМНОЖ(матрица A; матрица B),

где «матрица A» и «матрица B» — ссылки на ячейки рабочего листа, содержа щие соответствующие матрицы. Данная формула должна быть введена в ра бочий лист как ф о р м у л а м а с с и в а Microsoft Excel (конкретные поясне ния по использованию формул массива даны в примере 1.2.3).

1.2.3. Даны матрицы

Требуется вычислить вручную и с помощью пакета Microsoft Excel их произ ведение AB (если такое произведение существует).

Решение. Прежде всего убедимся, что данные матрицы можно перемножать, и найдем размер результата умножения. Запишем под матрицами их размеры:

18

В матрице A ч е т ы р е строки и три столбца, в матрице B три строки и д в а столбца. Число столбцов в матрице A равно числу строк в матрице B, поэтому мат рицу A можно умножить на матрицу B, при этом произведение AB будет иметь столько же строк, сколько в матрице A (т. е. ч е т ы р е), и столько же столбцов, сколько в матрице B (т. е. д в а). Итак,

? ?

AB = ?? ?? 4×2 .? ?

Теперь на место вопросительных знаков поставим числа — элементы произведе ния AB:

Поясним, как получен элемент произведения AB, который стоит на пересечении

правой матрице мы «двигаемся» в д о л ь п е р в о г о с т о л б ц а (он также выде лен пунктиром). Когда мы встречаем два очередных элемента a1t (из первой матри цы) и bt1 (из второй матрицы), мы их перемножаем, и все полученные произведения складываем:

(2, 0, −1), (1, 3, 5) =2 1+0 3 +(−1) 5 = −3 .

Чтобы получить элемент произведения, который стоит на пересечении п е р в о й

(2, 0, −1), (1, 3, 5) =2 2 +0 4 +(−1) 6 = −2 .

Остальные элементы рассчитываются аналогично. Итак,

Теперь поясним, как рассчитать произведение данных матриц A и B в пакете Mi crosoft Excel. Введем матрицы A и B в ячейки A2:C5 и E2:F4 рабочего листа Microsoft Excel, как показано на рис. 1.2.3, а.

Произведение AB имеет размер 4×2 , поэтому отведем под результат ячейки H2:I5 (они как раз занимают четыре строки и два столбца). В ячейку H2 введем формулу «=МУМНОЖ(A2:C5;E2:F4)», причем эту формулу необходимо ввести как

19

ф о р м у л у м а с с и в а. Для этого нужно мышью выделить диапазон H2:I5, начиная с ячейки H2, содержащей формулу, затем нажать клавишу <F2>, а затем — комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter>. Результат представ лен на рис. 1.2.3, б (в ячейках H2:I5). Результаты ручного и компьютерного вычисле ния произведения матриц совпали. Заметим, что если формула будет введена не как формула массива, то будет рассчитан только левый верхний элемент ре зультата — число (–3).

а) формула Microsoft Excel

б) результаты расчета

Рис. 1.2.3. Вычисление произведения матриц в Microsoft Excel

Нетрудно доказать, что действие умножения матрицы на матрицу обладает с в о й с т в а м и:

(AB)C = A(BC), α(AB) =(αA)B = A(αB),

(A +B)C = AC +BC, A(B +C) = AB + AC, (AB)T =BT AT , AE = EA = A.

Последнее свойство показывает, что единичная матрица E среди всех квад ратных матриц данного порядка выполняет такую же роль, как число единица среди чисел. Советуем читателю доказать, что никакая другая матрица в та кой роли выступать не может. Указанным обстоятельством мы воспользуемся позже для того, чтобы ввести понятие обратной матрицы.

Произведение матриц, вообще говоря, зависит от п о р я д к а сомно жителей: в общем случае

AB ≠ BA .

В отдельных случаях равенство AB =BA может иметь место — тогда мат рицы A и B называются перестановочными между собой.

ПРИМЕР 1.2.4. Даны матрицы

20