Algebra

где неизвестная xs содержится только в r м уравнении, притом с коэффици ентом единица, а остальные коэффициенты при неизвестных и свободные члены связаны с коэффициентами и свободными членами исходной системы (3.1.1), как видно из соотношений (3.2.1) и (3.2.2), формулами:

которые называются формулами исключения.

Формулы исключения удобно применять с помощью уже знакомого нам правила прямоугольников (см. § 1.3). Схематически напомним его суть:

мого элемента aij (или bi ) вычесть произведение элементов, расположенных в

оставшихся противоположных вершинах прямоугольника, деленное на раз решающий элемент.

Можно предположить, не теряя общности, что в системе линейных алгеб раических уравнений (3.1.1) коэффициент a11 отличен от нуля. Примем этот коэффициент за разрешающий и исключим по указанным выше правилам не известную x1 из всех уравнений системы, кроме первого уравнения. Система (3.1.1) преобразуется в новую систему линейных алгебраических уравнений, эквивалентную данной, притом число уравнений в новой системе может быть меньше, чем в исходной, так как в процессе преобразований могли появиться уравнения вида

0x1 +0x2 + +0xn =0 ,

называемые нуль уравнениями, которые мы отбрасываем. Далее мы ис ключим из всех уравнений новой системы, кроме второго, следующую неиз вестную, например x2 , если коэффициент при ней в новой системе отличен от нуля, и т. д., если не появилось уравнение вида

52

Процесс последовательного исключения неизвестных закончится либо то гда, когда мы придем к системе, содержащей уравнение вида (3.2.5), что будет означать несовместность исследуемой системы (3.1.1), либо тогда, когда систе ма примет вид

Система уравнений (3.2.6) эквивалентна системе (3.1.1), притом m -k . Будем говорить, что система линейных алгебраических уравнений (3.1.1) приведена к

предпочитаемому или каноническому виду (3.2.6); неизвестные x1, x2,…, xm бу дем называть базисными, xm+1, xm+2,…, xn — свободными. Особенность системы (3.2.6) в том, что в каждом уравнении содержится неизвестная с коэф фициентом, равным единице, которая ни в какое другое уравнение не входит, т. е. коэффициенты при базисных неизвестных образуют единичную подмат рицу матрицы системы (возможно, после некоторой перестановки уравнений и перенумерации неизвестных). Кратко эту систему записывают в виде

n

xi + ∑ gijxj =hi , i =1,2,…, m .

j=m+1

Число уравнений в системе (3.2.6) не больше числа неизвестных: m -n . При m =n система (3.2.6) имеет вид

x1 =h1, x2 =h2,…, xn =hn ,

т. е. система линейных алгебраических уравнений (3.1.1) является совместной и определенной. Если же m <n , то возьмем для свободных неизвестных ка кие нибудь значения xm+1 =αm+1, xm+2 =αm+2,…, xn =αn , тогда базисные неиз вестные примут вполне определенные значения x1 =α1, x2 =α2,…, xm =αm . Сис

тема чисел α1,α2,…,αm ,αm+1,αm+2,…,αn будет служить решением системы (3.2.6) и, следовательно, системы (3.1.1). Так как значения свободных неизвест ных можно выбирать произвольным образом, то таким путем можно найти много решений системы (3.1.1), называемых ее частными решениями, т. е. в этом случае система является совместной и неопределенной. Выражения ба зисных неизвестных через свободные:

53

естественно назвать общим решением системы линейных алгебраических уравнений (3.1.1). Среди частных решений системы выделяется базисное, от вечающее нулевым значениям свободных неизвестных:

Руководствуясь правилами исключения, мы можем продолжить процесс преобразований системы (3.1.1) и найти другие ее предпочитаемые эквивален ты и соответствующие им базисные решения.

Предположим, что в системе уравнений (3.2.6) коэффициент при свободной неизвестной xs в r м уравнении отличен от нуля. Примем этот коэффициент за разрешающий и исключим неизвестную xs из всех уравнений системы (3.2.6), кроме r го уравнения, после чего система уравнений (3.2.6) преобразуется к виду

Полученная система линейных алгебраических уравнений (3.2.8) эквива лентна системе (3.1.1). Будем говорить, что система (3.1.1) приведена к новому предпочитаемому виду (3.2.8). Неизвестная xs стала базисной, а xr — свобод ной, т. е. неизвестные xr и xs поменялись ролями. Выражая новые базисные неизвестные через новые свободные, можно получить новую запись общего решения системы (3.1.1). Приравнивая новые свободные неизвестные к нулю, получаем соответствующее системе (3.2.8) новое базисное решение:

Далее мы можем принять следующую свободную неизвестную за разре шающую и перевести ее в число базисных, преобразовав систему уравнений к следующему предпочитаемому виду, и т. д. Исследуемая система уравнений имеет не более Cnm предпочитаемых эквивалентов и соответственно базисных решений, ибо не может быть двух различных предпочитаемых эквивалентов системы (3.1.1) с одним и тем же набором базисных неизвестных.

ПРИМЕР 3.2.1. Найти общее решение и два различных базисных решения системы линейных уравнений из примера 3.1.1.

Решение. Воспользуемся методом Жордана — Гаусса. Вычислительный процесс иллюстрируется табл. 3.2.1.

В результате исходная система линейных уравнений

54

приведена с помощью элементарных преобразований к эквивалентной системе

т. е. к системе линейных уравнений в предпочитаемой форме. Выбрав переменные x1 и x2 в качестве базисных, а x3 и x4 — в качестве свободных, выразим базисные пере менные через свободные:

Т а б л и ц а 3.2.1

Общее решение данной системы линейных уравнений получим, придавая свобод ным переменным x3 и x4 произвольные действительные значения α и β соответственно:

Если в качестве базисных переменных выбрать x1 и x4, то вычислительный про цесс метода Жордана — Гаусса будет таким, как показано в табл. 3.2.2.

Отметим, что можно было бы продолжить процесс преобразований, начатый в табл. 3.2.1, такой подход иллюстрируется табл. 3.2.3.

55

Т а б л и ц а 3.2.2

Т а б л и ц а 3.2.3

Отметим, что две полученных формулы общего решения по разному описывают одно и то же множество всех решений исходной системы линейных уравнений.

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1.Всегда ли верно, что элементарные преобразования расширенной мат рицы системы линейных уравнений переводят эту систему в эквивалентную?

2.Какой вид системы линейных уравнений называется предпочитаемым?

3.В чем состоит метод Жордана — Гаусса?

4.Как привести систему линейных уравнений к предпочитаемому виду?

5.В чем состоит правило прямоугольников?

56

Рассмотрим, например, переход от системы (3.2.6) к (3.2.8). Свободные члены системы (3.2.8) связаны с коэффициентами при неизвестных и свободными членами системы (3.2.6) формулами исключения:

hi′ =hi − gis hr , i ≠ r .

grs

Мы предполагаем, что правые части всех уравнений системы (3.2.6) не отрицательны, и требуем, чтобы правые части уравнений системы (3.2.8) так же были неотрицательными. Оставив в стороне случай hr =0 , когда правые части уравнений не изменяются, сразу же замечаем, что разрешающий эле мент должен быть положительным:

grs >0 ,

т. е. в качестве разрешающей можно принять только такую неизвестную, при которой хотя бы в одном уравнении имеется положительный коэффициент. Если же разрешающая неизвестная выбрана, то разрешающее уравнение должно быть выбрано так, чтобы

притом особо подчеркнем, что минимум берется по всем тем индексам i , где gis >0 , так как справедливость неравенств вида (3.3.1) при gis -0 не вызывает сомнений.

Таким образом, для того чтобы при последовательном исключении неиз вестных для приведения системы линейных алгебраических уравнений к предпочитаемому виду или перехода от одного предпочитаемого вида к дру гому свободные члены всех уравнений системы оставались неотрицательны ми, необходимо руководствоваться следующими правилами выбора разре шающей неизвестной и разрешающего уравнения. В качестве разрешающей неизвестной можно принять любую неизвестную, при которой есть хоть один положительный коэффициент, а затем в качества разрешающего уравнения следует взять то уравнение, которое соответствует наименьшему среди отно шений свободных членов уравнений к соответствующим положительным ко эффициентам при выбранной неизвестной в этих уравнениях. Условимся го ворить, что система линейных алгебраических уравнений подвергается сим плексным преобразованиям, если процесс исключения неизвестных осущест вляется в соответствии с указанными правилами выбора разрешающей неиз вестной и разрешающего уравнения.

Может случиться, что указанное минимальное отношение достигается при нескольких значениях индекса i. Тогда любое из соответствующих им уравне ний можно принять за разрешающее. Принято говорить в этом случае, что

58

рассматриваемая система линейных алгебраических уравнений является вы рожденной. Характерная особенность вырожденной системы в том, что после выполнения очередного преобразования, как нетрудно видеть, один или не сколько свободных членов обращаются в нуль. На этом основании вырожден ной системой линейных алгебраических уравнений называют такую систему, у которой в какой либо предпочитаемой форме хотя бы один свободный член ранен нулю.

Остается заметить, что система не будет иметь ни одного неотрицательного решения, если в процессе симплексных преобразований в ней появится урав нение, в котором свободный член строго положителен, а среди коэффициентов при неизвестных нет ни одного положительного.

Будем теперь искать н е б а з и с н ы е неотрицательные решения системы уравнений (3.1.1), по прежнему считая, что правые части уравнений во всех системах неотрицательны. В общем решении будем придавать различные не отрицательные значения только одной свободной неизвестной, например xs , сохранив значения остальных свободных неизвестных равными нулю, так, чтобы базисные неизвестные принимали неотрицательные значения. Если g1s <0,g2s <0,…,gms <0 , то неизвестной xs можно дать любое положительное значение

0 -xs < +∞;

если же при неизвестной xs хотя бы в одном уравнении системы (3.2.6) имеет

При любом значении xs , взятом из этой области, соответствующее частное решение будет неотрицательным. Границам замкнутой области (3.3.2) отвеча ют крайние решения, которые, как нетрудно видеть, совпадают с базисными неотрицательными решениями. Поэтому в линейном программировании вме сто крайнего решения, отвечающего верхней границе, мы будем искать соот ветствующее базисное неотрицательное решение.

ПРИМЕР 3.3.1. Найти базисное неотрицательное решение системы линейных уравнений из примера 3.1.1, выбрав в качестве базисных неизвестных x2 и x3.

Решение. Вычислительный процесс иллюстрируется табл. 3.3.1.

Дадим к этой таблице некоторые комментарии. На первом шаге метода Жордана

— Гаусса мы выбрали в качестве разрешающей неизвестную x2. Чтобы определить разрешающее уравнение, разделим правые части уравнений на соответствующие коэффициенты при выбранной неизвестной, и среди полученных отношений найдем наименьшее:

59

Т а б л и ц а 3.3.1

Оно соответствует третьему уравнению системы (3.1.2). Поэтому за разрешающее принимаем третье уравнение и исключаем x2 из первого и второго уравнений.

На втором шаге метода Жордана — Гаусса в качестве разрешающей мы выбираем неизвестную x3. Разделим правые части уравнений на соответствующие коэффици енты при выбранной неизвестной:

Все три отношения оказались одинаковые (равные двум), поэтому любой элемент данного столбца можно выбрать в качестве разрешающего. В качестве разрешающе го уравнения можно выбрать любое, кроме третьего, поскольку при выборе третьего уравнения в качестве разрешающего неизвестная x3 перестанет быть базисной.

Выберем в качестве разрешающего первое уравнение и продолжим процесс эле ментарных преобразований.

Таким образом, исходная система линейных уравнений

приведена с помощью элементарных преобразований к эквивалентной системе

60