Algebra

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1.Какую неизвестную и какое уравнение можно выбрать в качестве раз решающих в методе Жордана — Гаусса, чтобы после очередного шага метода правые части системы не изменили своих знаков?

2.Как найти все базисные неотрицательные решения системы линейных уравнений?

3.Какая система линейных уравнений называется вырожденной?

4.Как найти небазисные неотрицательные решения системы линейных уравнений?

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

1. Найдите не менее двух базисных неотрицательных решений системы линейных уравнений

2. Найдите не менее двух базисных неотрицательных решений системы линейных уравнений

Пусть A — квадратная матрица. Если существует матрица B, такая что произведение AB совпадает с единичной матрицей (AB = E), то говорят, что матрица A обратима, при этом матрицу B называют обратной к матрице A и

Обратная матрица перестановочна с исходной, а матрица, обратная обрат ной, совпадает с исходной:

AA−1 = A−1A =E, (A−1 )−1 = A .

Если для данной матрицы обратная матрица существует, то она определя ется единственным образом.

Как узнать, является ли данная матрица

A =(aij ) n×n

обратимой? Искомая матрица

A−1 =(xij ) n×n

61

должна служить решением матричного уравнения (3.4.1):

которое можно записать в виде системы n2 линейных алгебраических уравне ний относительно n2 неизвестных элементов xij обратной матрицы. Для этого умножим первую, вторую и т. д. строки матрицы A на первый столбец обрат ной матрицы A−1 и, приравняв к соответствующим элементам первого столбца стоящей справа единичной матрицы, получим n линейных уравнений. Затем все строки данной матрицы последовательно умножим на второй столбец об ратной матрицы и, приравняв к соответствующим элементам второго столбца единичной матрицы, получим еще n уравнений и т. д., т. е. получим систему линейных уравнений

символ Кронекера.

Вопрос о том, является ли данная матрица A обратимой и если да, то как найти обратную матрицу, сводится к исследованию и решению системы ли нейных алгебраических уравнений специального вида (3.4.3).

Для решения системы (3.4.3) целесообразно воспользоваться методом Жор дана. Как известно, этот метод не требует предварительного исследования системы уравнений на совместность — процессы исследования и решения происходят одновременно. Особенно важно то, что этим методом можно ре шать все n подсистем системы (3.4.3) одновременно, так как они имеют общую матрицу коэффициентов при неизвестных, совпадающую с данной матрицей A. Выпишем матрицу A и припишем к ней столбцы свободных членов всех n подсистем:

Как обычно, будем подвергать элементарным преобразованиям систему строк этой вспомогательной матрицы. Приписанные столбцы свободных чле нов подсистем уравнений образуют единичную матрицу того же порядка, что и данная матрица A. В случае совместности системы уравнений (3.4.3) на неко

62

тором этапе преобразований на месте матрицы A получится единичная мат рица, и тогда каждый столбец пристроенной матрицы будет представлять решение соответствующей подсистемы уравнений, т. е. на месте приписанной единичной матрицы появится обратная матрица. Схема обращения невырож денной матрицы A кратко может быть записана в виде:

Если же на некотором этапе процесса преобразований вспомогательной матрицы (3.4.4) на месте одной из строк матрицы A появится строка нулей, то это означает необратимость матрицы A.

Вычисление обратной матрицы в Microsoft Excel производится с помощью функции

A−1 = МОБР(матрица A),

где «матрица A» — ссылка на ячейки рабочего листа, содержащие данную матрицу. Данная формула должна быть введена в рабочий лист как ф о р м у л а м а с с и в а Microsoft Excel.

3.4.1. Найти (если это возможно) матрицу, обратную к матрице А из примера 1.3.1.

Решение. Припишем справа к матрице A единичную матрицу, и с помощью эле ментарных преобразований строк приведем матрицу (A | E) к такому виду, чтобы на месте матрицы А оказалась единичная матрица, тогда на месте единичной матрицы будет искомая матрица A−1 . Процесс элементарных преобразований иллюстрирует ся табл. 3.4.1.

В результате элементарных преобразований матрица

63

Таким образом, получена искомая обратная матрица

Сделаем проверку: по определению обратной матрицы должно выполняться ра

верно. Аналогично можно проверить, что AA−1 = E .

Теперь поясним, как получить тот же результат в пакете Microsoft Excel. Введем матрицу A в ячейки A2:C4 рабочего листа Microsoft Excel, как показано на рис. 3.4.1, а.

б) результаты расчета

Рис. 3.4.1. Вычисление обратной матрицы в Microsoft Excel

64

Матрица A имеет две строки и три столбца, значит, матрица A–1 будет иметь три стро ки и два столбца. Отведем под результат ячейки E2:G4 (они как раз занимают три строки и два столбца). В ячейку E2 введем формулу «=МОБР(A2:C3)», причем эту фор мулу необходимо ввести как ф о р м у л у м а с с и в а. Для этого нужно мышью выделить диапазон E2:G4, начиная с ячейки E2, содержащей формулу, затем на жать клавишу <F2>, а затем — комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter>.

Результат представлен на рис. 3.4.1, б (в ячейках E2:G4). Замечаем, что результаты руч ных и компьютерных вычислений совпали (с точностью до ошибок округления). Если формулу ввести не как формулу массива, то будет рассчитан только левый верх ний элемент результата — число (–0,11).

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1.Какая матрица называется обратной к данной квадратной матрице A?

2.Ко всем ли матрицам существуют обратные матрицы?

3.Может ли существовать несколько различных матриц, обратных к дан ной матрице?

4.Чему равен определитель матрицы, обратной к данной матрице A?

5.Всегда ли верно, что (AT)–1 = (A–1)T?

6.Всегда ли верно, что (A–1)–1 = A?

7.Всегда ли верно, что (AB)–1 = B–1A–1?

8.Как найти матрицу, обратную к данной, с помощью метода Жордана — Гаусса?

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

1. Найдите матрицу, обратную к матрице

1 0 A = .

1 1

2. Для данных матриц найдите обратные или докажите необратимость

§ 3.5. ПРЯМЫЕ, ПЛОСКОСТИ И ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

В декартовой прямоугольной системе координат на плоскости о б щ е е

при этом вектор

A n = B

перпендикулярен данной прямой и носит название нормального вектора.

65

Если B ≠0 , то из общего уравнения прямой (3.5.1) c помощью замены

получается у р а в н е н и е п р я м о й с у г л о в ы м к о э ф ф и ц и е н т о м: y =kx +b .

Здесь угловой коэффициент k =tg α равен тангенсу угла наклона прямой с положительным направлением оси абсцисс. Уравнение с угловым коэффици ентом не описывает прямые, параллельные оси ординат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку P(x0 , y0 ) и имеющую угловой коэффициент k , таково:

y −y0 =k(x −x0 )

Г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л л и н е й н ы х н е р а в е н с т в определя ется следующими теоремами.

ТЕОРЕМА 3.5.1. Пусть прямая задана общим уравнением Ax1 +Bx2 +C =0 . Если отложить нормальный вектор от любой точки этой прямой, то ко нец отложенного вектора будет находиться в положительной полуплоско сти от данной прямой, т. е. A(x1 + A) +B(x2 +B) +C >0 .

Доказательство. Доказательство очень короткое:

A(x1 + A) +B(x2 +B) +C = Ax1 +Bx2 +C + A2 +B2 =0 + A2 +B2 = A2 +B2 >0 , так как A и B не могут быть равны нулю одновременно.

ТЕОРЕМА 3.5.2. Всякая прямая Ax1 +Bx2 +C =0 разбивает плоскость на две полуплоскости. Для координат всех точек, лежащих в одной полуплоско сти, выполняется неравенство Ax1 +Bx2 +C >0 , для координат всех точек

перпендикулярен данной плоскости и носит название нормального вектора. Плоскость (3.5.2) делит трехмерное пространство на два полупространства,

в одном из которых выполняется неравенство Ax1 +Bx2 +Cx3 +D >0 , а в дру гом — неравенство Ax1 +Bx2 +Cx3 +D <0 .

Система m линейных алгебраических неравенств с n неизвестными мо жет быть записана в виде

66

∑aijxj .bi , i =p +1,p +2,…m,

j=1

Совокупность n чисел α1,α2,…,αn , взятых в определенном порядке, называ ется решением системы неравенств (3.5.3), если при подстановке этих чисел на место соответствующих неизвестных неравенства системы не нарушаются. Решение (α1,α2,…,αn ) системы неравенств называется неотрицательным, если все αj >0 . Определения совместности, несовместности, определенно

сти, неопределенности и эквивалентности систем линейных алгебраиче ских неравенств формулируются точно так же, как и соответствующие опре деления для систем линейных алгебраических уравнений.

Для решения системы линейных алгебраических неравенств вида (3.5.3) эту

Каждому решению (α1,α2,…,αn ,αn+1,αn+2,…,αn+m ) системы линейных урав нений (3.5.4), где последние m компонент αn+1,αn+2,…,αn+m

можно поставить в соответствие вполне определенное решение (α1,α2,…,αn ) системы линейных неравенств (3.5.3), и наоборот. В этом смысле говорят, что система уравнений (3.5.4) заменяет систему неравенств (3.5.3). Исследование и решение системы m линейных неравенств с n неизвестными сводится к ис следованию и решению соответствующей системы m линейных уравнений с (n +m) неизвестными. В частности, вопрос о нахождении неотрицательных решений системы линейных неравенств (3.5.3) сводится к вопросу о нахожде нии .неотрицательных решений системы линейных уравнений (3.5.4).

Решение системы линейных неравенств удобно иллюстрировать гео метрически в случае двух и трех неизвестных. Например, каждое неравенство системы с двумя неизвестными определяет полуплоскость вместе с ограничи вающей прямой, а вся система — общую часть таких полуплоскостей, кото рая, очевидно, будет выпуклым многоугольником, называемым многоугольни ком решений данной системы неравенств. Важнейшее свойство выпуклого многоугольника состоит в том, что он вместе с любыми двумя своими точками содержит весь соединяющий их отрезок. По аналогии, каждое неравенство системы с тремя неизвестными определяет полупространство вместе с гра ничной плоскостью, а множество решений такой системы, в случае ее совме стности, образует выпуклый многогранник.

67

3.5.1. Предприятие производит продукцию двух видов, используя при изготовлении этой продукции ресурсы трех видов. Известна технологиче ская матрица A и вектор запасов ресурсов b:

Требуется описать множество возможных планов производства.

Решение. План производства — это такой вектор

координаты которого должны быть неотрицательными и удовлетворять условиям

В левых частях неравенств (3.5.5) стоят полные расходы ресурсов четырех видов на производство x1 единиц продукции первого вида и x2 единиц продукции второго вида, а в правых частях неравенств — запасы ресурсов.

Каждое из линейных неравенств (3.5.5) определяет некоторую полуплоскость. Первому неравенству удовлетворяют точки, лежащие по одну из сторон от прямой

x1 +3x2 =90 . (3.5.6)

Построим эту прямую на рис. 3.5.1. Любая прямая определяется двумя своими

неравенству x1 +3x2 -90 , достаточно подставить в это неравенство произвольную точку, если она удовлетворяет неравенству, то и все точки по ту же сторону от пря мой также удовлетворяют данному неравенству. Проще всего подставить в неравен ство начало координат O(0, 0): 0 +3 0 <90 , значит, все точки плоскости по ту же сто рону от прямой, что и начало координат, удовлетворяют первому из неравенств сис темы (3.5.5).

Аналогично строятся полуплоскости, соответствующие остальным неравенствам системы (3.5.5) и неравенствам x1 .0, x2 .0 . Пересечение этих полуплоскостей обра зует пятиугольник OABCD, заштрихованный на рис. 3.5.1.

Теперь получим тот же результат другим способом — с помощью замены системы

и определения неотрицательных решений этой системы с помощью симплексных преобразований. Вычислительный процесс иллюстрируется табл. 3.5.1.

68

системы линейных алгебраических уравнений (3.5.7). Отбросив вспомогательные не известные x3 , x4 и x5 , получим соответствующее решение

системы линейных неравенств (3.5.5), т. е. точку A(30, 0).

Точно так же третья, четвертая и пятая секции соответствуют вершинам B(30, 20), C(40, 10) и D(40, 0) пятиугольника OABCD.

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1.Что такое линейное неравенство?

2.Что представляет собой с геометрической точки зрения множество ре шений линейного неравенства?

3.Что такое система линейных неравенств?

4.Что такое решение системы линейных неравенств?

5.Как заменить систему линейных неравенств эквивалентной системой линейных уравнений?

6.Как заменить систему линейных уравнений эквивалентной системой линейных неравенств?

7.Как решить систему линейных неравенств?

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

1.Изобразите графически множество решений системы линейных неравенств

x2 .0.

2. Найдите множество решений системы линейных неравенств из предыду щей задачи, преобразовав систему неравенств в систему линейных уравнений и найдя неотрицательные решения этой системы с помощью симплексных преобразований.

70