Algebra

z1z2 =(x1x2 −y1y2 ) +i(x1y2 +x2y1) .

Сопряженным к комплексному числу z = x +iy называется число z = x −iy .

Кроме того, произведение комплексного числа на число, сопряженное к не му, является действительным числом:

zz =(x +iy)(x −iy) = x2 +y2 .

Используя этот факт, можно получить формулу для частного от деления комплексного числа z1 = x1 +iy1 на число z2 = x2 +iy2 :

Выражение

где x — переменная величина, а a0 , a1,…, an — действительные числа (причем an ≠0 ), называется многочленом n й степени с действительными коэффици ентами.

Оперируя многочленами, приходится иметь дело со стандартным приемом деления одного многочлена на другой. Такое деление производится «столби ком», как и деление действительных чисел.

ПРИМЕР 4.1.1. Найти частное и остаток от деления многочлена третьей степе ни P3 (x) = x3 +4x2 −6x +10 на многочлен первой степени (x −1) .

Решение. Алгоритм деления точно такой же, как и алгоритм деления действитель ных чисел в десятичной записи — роль степеней десяти здесь выполняют степени x:

−x +10

−x +1 9

Таким образом,

x3 +4x2 −6x +10 =(x −1)(x2 +5x −1) +9 .

72

В общем случае, очевидно, деление многочлена n й степени

на (x – c) дает в частном некоторый многочлен Qn−1(x) (n – 1) й степени и неко торое число R в остатке:

ТЕОРЕМА 4.1.1 (ТЕОРЕМА БЕЗУ). Остаток R от деления многочлена n й степе ни Pn (x) на (x −c) равен Pn (c) :

Доказательство. Для доказательства формулы (4.1.3) достаточно в формуле (4.1.2) положить x = c: Pn (c) =(c −c)Qn−1(c) +R = R .

Число c называется корнем многочлена Pn (x) , если Pn (c) =0 .

Приведем без доказательства так называемую основную теорему алгебры.

ТЕОРЕМА 4.1.2 (ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ). Всякий многочлен n й степени (где

n — любое натуральное число) имеет хотя бы один комплексный корень c.

Отсюда следует ряд важных результатов.

ТЕОРЕМА 4.1.3 (ТЕОРЕМА О КАНОНИЧЕСКОМ РАЗЛОЖЕНИИ МНОГОЧЛЕНА). Всякий мно

гочлен n й степени Pn (x) может быть представлен в виде

(теореме 4.1.2) многочлен Pn (x) имеет хотя бы один корень x1 . По теореме Безу (тео

реме 4.1.1) Pn (x) =(x −x1)Qn−1(x) +Pn (x1) . Но Pn (x1) =0 , так как x1 — корень многочлена Pn (x) . Поэтому Pn (x) =(x −x1)Qn−1(x) . Если степень многочлена Qn−1(x) равна нулю, то этот многочлен представляет собой просто число a: Qn−1(x) = a , если же степень многочлена Qn−1(x) не меньше первой, то этот многочлен Qn−1(x) аналогичным обра зом можно представить в виде Qn−1(x) =(x −x2 )Sn−2 (x) . В итоге получим доказываемое равенство.

73

Учитывая свойства операции сопряжения (4.1.1), получим окончательно, что

Pn (z )= (an zn ) +(an− zn−1 ) + +(a z) +a = (an zn +an− zn−1 + +a z +a ) =0 =0 ,

1 1 0 1 1 0

т. е. z также является корнем данного многочлена Pn (x) , что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 4.1.5. Всякий многочлен n й степени Pn (x) c действительными ко эффициентами может быть представлен в виде произведения многочленов первой и второй степени.

Доказательство. По теореме 4.1.3 многочлен Pn (x) может быть представлен в ви де Pn (x) = a(x −x1)(x −x2 ) (x −xn ) , где x1, x2, …, xn — корни данного многочлена. Если некоторый корень xk = a +ib (где b ≠ 0 ) является комплексным, то по теореме 4.1.4

среди корней x1, x2, …, xi−1, xi+1, …, xn обязательно есть и x = x = a −ib . При этом

l k

(x −xk )(x −xl ) =(x −(a +ib))(x −(a −ib))=(x −a −ib)(x −a +ib) = = x2 −2ax +(a2 +b2 ) = x2 +px +q,

где p = −2ax, q = a2 +b2 . Отсюда и следует утверждение теоремы.

ПРИМЕР 4.1.2. Убедиться, что числа x1 =1 и x2 = −2 являются корнями много члена P4 (x) = x4 +2x3 −x −2 и представить этот многочлен P4 (x) в виде произ ведения многочленов первой и второй степени.

числа x1 =1 и x2 = −2 действительно являются корнями данного многочлена. Значит,

Таким образом,

P4 (x) = x4 +2x3 −x −2 =(x2 +x −2)(x2 +x +1) =(x −1)(x +2)(x2 +x +1) .

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1.Что такое комплексное число?

2.Всякое ли действительное число является комплексным?

3.Что такое мнимая единица?

4.Как найти сумму двух комплексных чисел?

5.Как найти разность двух комплексных чисел?

6.Как найти произведение двух комплексных чисел?

74

называется матрицей линейного оператора ˆв данных базисах. A

Любой вектор x L можно разложить по базису e1, e2,…, en , а любой вектор y K — по базису f1, f2,…, fm :

значит, если

y = Ax ,

где матрица линейного оператора ˆв данных базисах A — A .

Пусть ˆи ˆ два линейных оператора действующих из линейного про

A B — , странства L в линейное пространство K.

76

ˆ

Нулевым оператором, обозначаемым символом O , называется оператор, ото бражающий все элементы пространства L в нулевой элемент пространства K:

Несложно убедиться, что множество всех линейных операторов, действую щих из L в K, с определенными выше операциями суммы и умножения на скаляр образует линейное пространство.

ˆ

Тождественным оператором E называется линейный оператор, дейст вующий по правилу:

ˆ =

Ex x .

(ˆˆ) =ˆˆ( )

AB x A Bx .

Операция умножения линейных операторов обладает следующими с в о й с т в а м и, которые легко проверить, исходя из определения произведения:

кому вектору x ставится в соответствие вектор y с координатами

77

Найти матрицу этого линейного оператора в единичных базисах и опреде лить, является ли она вырожденной.

Решение. Запишем (4.2.1) в виде

поэтому матрица данного линейного оператора такова:

Она является невырожденной, так как ее определитель

−1 0 0

det | A |= det 0 1 0 = −1 1 1 = −1 ≠ 0 .

00 1

Во п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1.Что такое линейный оператор?

2.Какой линейный оператор называется нулевым?

3.Какой линейный оператор называется тождественным?

4.Верно ли, что всякий линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой?

5.Верно ли, что всякий линейный оператор A сохраняет линейные комби

нации, т. е. если f = c1a1 + c2a2 + ··· + cnan, то Af = c1(Aa1) + c2(Aa2) + ··· +cn(Aan)?

симость между векторами, т. е. если векторы a1, a2, …, an линейно зависимы, то

векторы ˆ ,ˆ ,…,ˆ также линейно зависимы

Aa1 Aa2 Aan ?

8.Что такое матрица линейного оператора в паре базисов?

9.Что такое сумма двух линейных операторов?

10.Что такое произведение линейного оператора на число?

11.Является ли множество всех линейных операторов, действующих из не которого линейного пространства L в линейное пространство K, линейным пространством?

12.Является ли линейным оператором произведение линейных операторов?

13.Чему равна матрица произведения линейных операторов?

78

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

1. Постройте в единичном базисе матрицу линейного оператора, который в пространстве 2 оставляет первую координату вектора неизменной, а вторую умножает на 2.

2. Определите, в чем заключается действие линейного оператора, матрица которого

§ 4.3. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

вующим собственному вектору x .

Если задан базис линейного пространства L, и в этом базисе линейный опе

ратор ˆ имеет матрицу , то уравнение (4.3.1) можно представить в матрич

A A

ном виде:

Ax =λx

или

(A −λE)x =θ.

При этом вектор x называется собственным вектором матрицы A, а число λ называется собственным значением матрицы A, соответствующим собст венному вектору x .

Приведем без доказательства теорему, с помощью которой можно находить собственные значения линейных операторов.

ˆ

ТЕОРЕМА 4.3.1. Множество собственных значений линейного оператора A совпадает со множеством корней характеристического уравнения этого оператора вне зависимости от того, в каком базисе задана матрица опера

ˆ

тора A .

Уравнение

относительно λ называется характеристическим уравнением матрицы A. Характеристическим уравнением линейного оператора называется харак

теристическое уравнение его матрицы, заданной в каком либо базисе.

79

В развернутом виде характеристическое уравнение (4.3.2) запишется сле дующим образом:

В общем случае характеристическое уравнение (4.3.2) линейного оператора

ˆ имеет к о м п л е к с н ы х корней собственных значений линейного

A n —

оператора. В экономическом анализе имеют смысл, как правило, д е й с т в и т е л ь н ы е собственные значения.

Для вычисления собственных значений и собственных векторов квадратной матрицы А порядка n необходимо выполнить следующие действия:

• составить характеристическое уравнение (4.3.2) и найти все его различные действительные корни λ1, λ2, …, λk , которые и будут собственными значениями матрицы А;

• для каждого собственного значения λi найти общее решение системы ли нейных алгебраических уравнений

(A −λiE)x =0 ,

оно (с дополнительным условием x ≠0 ) и будет задавать собственные векторы, которым соответствует данное собственное значение λi .

ПРИМЕР 4.3.1. Найти собственные значения матрицы А из примера 1.3.1 и со ответствующие им собственные векторы.

Решение. Составим характеристическое уравнение для матрицы А из примера 1.

=(−λ)2 (1−λ) +1 1 3 +2 4 (−1) −2 (−λ) 3 −1 4 (1−λ) −(−λ) 1 (−1) =

=λ2 −λ3 +3 −8 +6λ−4 +4λ−λ = −λ3 +λ2 +9λ−9,

то характеристическое уравнение имеет вид

−λ3 +λ2 +9λ−9 =0 .

Один из корней этого уравнения находится методом подбора. Проверим, является ли число λ =1 корнем этого уравнения:

−13 +12 +9 1−9 =0 —

верно. Вынесем в левой части уравнения множитель (λ−1) за скобку:

−λ3 +λ2 +9λ−9 = −λ2 (λ−1) +9(λ−1) =(9 −λ2 )(λ−1) =(3 +λ)(3 −λ)(λ−1) = −(λ+3)(λ−1)(λ−3) .

Характеристическое уравнение, таким образом, принимает вид

80