Algebra

В примере 1.2.3 матрицы AAT и ATA имеют разные размеры, точно так же различаются размером матрицы bbT и bTb . В следующем примере размеры матриц AB и AB совпадают, однако эти матрицы A и B не являются переста новочными.

ПРИМЕР 1.2.5. Проверить, являются ли перестановочными матрицы

и AB ≠ BA .

Если A n×n — квадратная матрица n го порядка, то ее можно умножить саму на себя, и произведение A2 = AA n×n также является квадратной мат

21

рицей n го порядка. Матрицу A2 можно умножить на матрицу A, и тогда по

По определению считается, что если A ≠ O , то

A0 =En

(точно так же, как и нулевая степень ненулевого числа равна единице: если a ≠0 , то a0 =1).

ПРИМЕР 1.2.6. Вычислить A3 −2A2 +2A1 −4A0 , где матрица A задана в приме ре 1.2.4.

Решение. Имеем:

В экономике и управлении матрицы очень важны. Рассмотрим одну из ти пичных задач — задачу планирования производства.

Предприятие может выпускать n видов продукции, используя для этого m видов ресурсов. Известна технологическая матрица

затрат ресурсов на производство единицы каждого вида продукции [элемент aij этой матрицы равен количеству ресурса i го вида (i = 1, 2, …, m), которое необходимо затратить в процессе производства единицы продукции j го вида (j = 1, 2, …, n)]. Каждый из столбцов технологической матрицы описывает не которую технологию, т. е. процесс превращения ресурсов в конечный продукт.

Известен также вектор

b1 b = b2bm

имеющихся в распоряжении предприятия объемов ресурсов и вектор

22

удельной прибыли предприятия (т. е. cj — это прибыль, которую предприятие получает от реализации единицы продукции j го вида).

Требуется составить производственную программу, обеспечивающую пред приятию наибольшую прибыль с учетом ограниченности запасов ресурсов.

Если обозначить через xj план производства продукции j го вида, то произ водственная программа предприятия будет задаваться вектором

Суммарный расход первого ресурса на производство всей продукции (всех видов), равный

a11x1 +a12x2 + +a1n xn ,

не может быть больше запаса первого ресурса b1:

a11x1 + a12x2 + + a1n xn - b1.

Аналогичные требования должны выполняться и для расходов других ре сурсов:

Прибыль предприятия от реализации всей произведенной продукции равна

c1x1 + c2x2 + + cn xn .

Цель состоит в том, чтобы отыскать такой план производства (1.2.1), кото рый обеспечит предприятию наибольшую прибыль:

Задачу (1.2.2)—( 1.2.4) удобно записать в матричном виде:

23

z =cx →max,

Ax -b, xj .0.

Люди научились решать подобные задачи (которые называются задачами л и н е й н о г о п р о г р а м м и р о в а н и я) только в середине XX в., за разра ботку метода решения задач линейного программирования академик Л. В. Канторович получил Нобелевскую премию в области экономики. После освоения дисциплины «Математика» Вы сможете решать и такие задачи, и более сложные. Но для этого необходимо овладеть математическим языком и правилами его использования для описания экономических процессов. Этому и посвящен первый семестр изучения математики.

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1.Что такое числовая матрица?

2.Могут ли все элементы матрицы быть равными нулю?

3.Какие матрицы называются равными?

6.Как сложить две матрицы?

7.Можно ли сложить матрицу A 2×3 с матрицей B 3×2 ?

8.Какими свойствами обладает операция сложения матриц?

9.Какая матрица называется транспонированной к данной матрице?

10.Для любой ли матрицы существует транспонированная?

11.Может ли выполняться равенство AT = A?

12.Для каких матриц A и B определено их произведение AB?

13.Как вычисляются элементы матрицы AB?

14.Каковы размеры матрицы A, если известно, что (1 2 3)A = (2 8)?

15. Что получится, если умножить матрицу A 1×n на матрицу B n×1 ?

16.Какими свойствами обладает операция умножения матриц?

17.Верно ли, что для любых матриц A и B справедливо равенство AB = BA?

18.Чему равна матрица (AB)T?

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

24

§ 1.3. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

Пусть

квадратная матрица n го порядка. Определителем этой матрицы называется число, которое обозначается

ивычисляется при помощи следующих трех правил.

1.Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональ ных элементов:

2. Общий множитель элементов любой строки (или столбца) можно выне сти за знак определителя:

25

3. Если к одной из строк матрицы прибавить другую строку этой же мат рицы (или к одному из столбцов прибавить другой столбец), то определитель не изменится:

ТЕОРЕМА 1.3.1. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) матрицы равны нулю, то определитель этой матрицы равен нулю.

Доказательство. Доказательство сводится к применению второго правила вычис ления определителей: достаточно вынести за знак определителя общий множитель элементов данной строки (или столбца): нуль.

ТЕОРЕМА 1.3.2. Если ко всем элементам строки матрицы прибавить соответ ствующие элементы другой строки этой же матрицы (или ко всем элементам столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца), умножен ные на одно и то же число, то определитель не изменится:

Доказательство. Если α =0 , то утверждение теоремы очевидно. Если же α ≠0 , то

26

Вначале мы представили элементы k й строки в виде akj = α1 αakj , затем вынесли

за знак определителя общий множитель (1/α) элементов k й строки, далее восполь зовались третьим правилом вычисления определителей, потом вынесли за знак оп ределителя общий множитель α.

ТЕОРЕМА 1.3.3. Если поменять местами две строки матрицы (или два ее столбца), то определитель изменит знак на противоположный:

27

Доказательство. Докажем утверждение для случая перемены местами строк. До казательство сводится к следующей цепочке равенств:

В случае перемены местами столбцов теорема доказывается аналогично.

ТЕОРЕМА 1.3.4. Если матрица имеет две одинаковые строки (или два одина ковых столбца), то ее определитель равен нулю.

Доказательство. Поменяем эти две строки местами, тогда, с одной стороны, соглас но предыдущей теореме, определитель изменит знак на противоположный, но с дру гой стороны, матрица не измениться, значит, и ее определитель не изменится. Полу чаем: −det | A |= det | A | , откуда det | A |=0 , что и требовалось доказать.

В случае одинаковых столбцов теорема доказывается аналогично.

Чтобы вычислить определитель произвольной квадратной матрицы, можно воспользоваться следующей процедурой, состоящей из конечного числа ша гов, не превышающего порядок матрицы.

На r м шаге рассматривается r й столбец матрицы. Если этот столбец цели ком состоит из нулей, то определитель матрицы равен нулю (по теореме 1.3.1), и процедура заканчивается.

28

Если элемент arr =0 , но в r м столбце существует некоторый ненулевой эле мент akr ≠0 , то прибавим к r й строке k ю и полученную матрицу обозначим

матрицы A , кроме r й следующим образом: к строке с номером i (i = 1, 2, …, r –1, r + 1, …, n) прибавим r ю строку, умноженную на число −air / arr , полу ченную матрицу обозначим