Algebra

ТЕОРЕМА 1.3.5. Определители квадратных матриц первого, второго и третьего порядка вычисляются по формулам

Доказательство. Формула (1.3.2) следует из первого правила вычисления опреде лителей.

Если a11 ≠0 , то определитель матрицы второго порядка

=a11 a22 − a21 a12 = a11a22 −a12a21,

a11

= −a21a12 =0a22 −a21a12 = a11a22 −a12a21,

что и доказывает формулу (1.3.3).

Если a11 ≠0 и a11a22 −a12a21 ≠0 , то определитель матрицы третьего порядка

31

= a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 −a13a22a31 −a12a21a33 −a11a23a32,

доказательство же формулы (1.3.4) для случаев a11 =0 или a11a22 −a12a21 =0 опустим, любознательный читатель может его воспроизвести самостоятельно.

Теорему 1.3.5 удобно применять с помощью мнемонических правил вычис ления определителей, схематически представленных на рис. 1.3.1.

Согласно этим правилам, определитель матрицы первого порядка равен единственному элементу этой матрицы (рис. 1.3.1, а), для вычисления опреде лителя матрицы второго порядка нужно из произведения элементов, распо ложенных на так называемой главной диагонали вычесть произведение эле ментов, расположенных на побочной диагонали (рис. 1.3.1, б). Для вычисления определителя матрицы третьего порядка удобно воспользоваться правилом треугольников, которое состоит в том, что вначале вычисляют сумму произ ведений элементов, расположенных на главной диагонали и на концах тре угольников, малые основания которых параллельны главной диагонали, и из полученного вычитают сумму произведений элементов, расположенных на побочной диагонали и на концах треугольников малые основания которых па раллельны побочной диагонали (рис. 1.3.1, в).

Чтобы вычислить определитель матрицы с помощью Microsoft Excel, можно воспользоваться функцией

det | A | = МОПРЕД(матрица A),

где «матрица A» — ссылка на ячейки рабочего листа, содержащие данную матрицу.

ПРИМЕР 1.3.1. Вычислить определитель матрицы

тремя способами: воспользовавшись процедурой вычисления определителя, мнемоническим правилом и пакетом Microsoft Excel.

32

Решение. Вначале поменяем местами первую и вторую строки, определитель при этом изменит знак, далее реализуем процедуру вычисления определителя:

Мнемоническое правило вычисления определителя третьего порядка дает тот же результат:

det | A |=0 0 1+1 1 3 +2 4 (−1) −2 0 3 −1 4 1−0 1 (−1) =0 +3 −8 −0 −4 −0 = −9 .

Теперь поясним, как вычислить данный определитель в пакете Microsoft Excel. Введем матрицу A в ячейки A2:C5 рабочего листа Microsoft Excel, а в ячейку E2 вве дем формулу «=МОПРЕД(A2:C5)», как показано на рис. 1.3.2, а. Результат вычисле ния представлен на рис. 1.3.2, б (в ячейке A5).

det =

а) вычисление определителя матрицы первого порядка

б) вычисление определителя матрицы второго порядка

в) вычисление определителя матрицы третьего порядка

Рис. 1.3.1. Мнемонические правила вычисления определителей квадратных матриц первого, второго и третьего порядков

33

б) результаты расчета

Рис. 1.3.2. Вычисление определителя матрицы в Microsoft Excel

Кроме доказанных теорем 1.3.1—1.3.5, можно доказать справедливость сле дующих с в о й с т в определителя (матрицы A и B здесь предполагаются квадратными):

det | AB |=det | BA |=det | A | det | B |, det | E |=1, det | αA |=αn det | A |, det | AT |=det | A | .

Квадратная матрица, определитель которой равен нулю, называется выро жденной.

Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы (1.3.1) называется ее следом и обозначается

n

tr A =a11 +a22 + +ann = ∑aii .

i=1

ПРИМЕР 1.3.2. Вычислить след матрицы А из примера 1.3.1.

Решение. След матрицы A равен

tr A = a11 +a22 +a33 =0 +0 +1 =1 .

След матрицы обладает такими с в о й с т в а м и:

tr(AB) =tr(BA), tr En =n, tr(αA) =αtr A, tr AT = tr A, tr(A +B) = tr A +tr B . (1.3.5)

(Как и ранее, матрицы A и B здесь предполагаются квадратными): Предлагаем читателю доказать эти свойства самостоятельно.

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1.Как определитель матрицы второго порядка явным образом выражается через элементы этой матрицы?

2.Как определитель матрицы третьего порядка явным образом выражает ся через элементы этой матрицы?

3.Как соотносятся определитель матрицы A и определитель матрицы AT?

4.Чему равен определитель произведения матриц?

34

нены. Следовательно, арифметическое n мерное пространство является евк лидовым.

Упомянутые выше линейные пространства матриц и многочленов также можно превратить в евклидовы, если определить подходящим образом ска лярное произведение.

Пусть L — линейное пространство, а S L — некоторое подмножество L. Подмножество S L линейного пространства L называется подпростран

ством этого линейного пространства, если выполняются два условия:

1) для любых двух элементов a, b S сумма этих элементов a +b также принадлежит S ;

2) для любого элемента a S и любого числа λ произведение элемента a на число λ ( λa ) также принадлежит S .

Очевидно, у любого линейного пространства L существуют два подпро странства, называемых тривиальными: это само пространство L и нулевое подпространство {0} , состоящее только из нулевого элемента.

2.1.1. Если S — подпространство некоторого линейного про странства L, то S само является линейным пространством.

Предлагаем читателю самостоятельно доказать эту теорему.

2.1.2. Если S1, S2 — два подпространства некоторого линейного пространства L, то S1 ∩S2 также является подпространством L.

Доказательство. Если a S1 ∩S2 и b S1 ∩S2 , то это означает, что a S1, a S2 , b S1, b S2 , поэтому a +b S1, a +b S2 и λa S1, λa S2 для любого числа λ , а значит, a +b S1 ∩S2 и λa S1 ∩S2 , откуда и следует, что S1 ∩S2 является подпро странством L.

Заметим, что объединение двух подпространств в общем случае уже не бу дет подпространством!

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1.Является ли множество всех действительных чисел с операциями сло жения и умножения элементов на действительные числа линейным простран ством?

2.Является ли множество всех действительных чисел с операциями сло жения и умножения элементов на рациональные числа линейным пространст вом?

3. Что такое арифметическое пространство n ?

4.Верно ли, что 0 = −0?

5.Могут ли в линейном пространстве существовать два нулевых элемента?

6.Всегда ли верно, что для любого вектора x линейного пространства

–x = (–1)x?

7.Что такое линейное подпространство?

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

1. Проверьте, является ли множество рациональных чисел линейным под пространством линейного пространства действительных чисел с операциями сложения и умножения элементов на действительные числа?

37

или

ai = t1a1 +t2a2 + +ti−1ai−1 +ti+iai+1 + +tkak ,

где

t1 = −λ1 /λj , t2 = −λ2 /λj ,…, tj−1 = −λj−1 /λj , tj+1 = −λj+1 /λj ,…, tk = −λk /λj ,

что и доказывает достаточность условий (2.2.2) для линейной зависимости векторов.

Теорему 2.2.1 можно переформулировать так: система векторов (2.2.1) яв ляется линейно независимой тогда и только тогда, когда равенство (2.2.2) возможно только в случае, если λ1 =λ2 = =λk =0 . Предлагаем читателю убе диться что обе формулировки этой теоремы эквивалентны.

ТЕОРЕМА 2.2.2. Если среди векторов некоторой системы имеется нуль вектор, то такая система векторов линейно зависима.

Доказательство. Если среди векторов a1, a2,…, ak имеется нуль вектор, например, ai = θ, то можно положить λi =1, λ1 = λ2 = = λi−1 = λi+1 = = λk =0 , и тогда

λ1a1 +λ2a2 + +λi−1ai−1 +λi ai +λi+iai+1 + +λkak = =0a1 +0a2 + +0ai−1 +1θ+0ai+1 + +0ak = 0,

значит, система векторов a1, a2, …, ak является линейно зависимой (по теореме 2.2.1).

ТЕОРЕМА 2.2.3. Если некоторая подсистема a1, a2,…, al системы векторов линейно зависима, то и вся система a1, a2,…, al , al+1,…, ak линейно зависима.

Доказательство. Если подсистема a1, a2, …, al является линейно зависимой, то

λ1a1 +λ2a2 + +λlal = 0, где хотя бы одно из чисел λ1, λ2,…, λl отлично от нуля, то

λ1a1 +λ2a2 + +λlal +0al+1 +0al+2 + +0ak = 0,

значит, система векторов a1, a2, …, al , al+1, …, ak является линейно зависимой (по тео реме 2.2.1).

Принято называть n мерные векторы

e1 =(1, 0, 0,…, 0), e2 =(0,1, 0,…, 0), e3 =(0, 0,1,…, 0),…, en =(0, 0, 0,…,1) (2.2.3)

единичными векторами n мерного линейного пространства. Нетрудно видеть, что система единичных векторов n мерного линейного пространства линейно независима.

ТЕОРЕМА 2.2.4. Любой вектор a =(a1, a2,…, an ) может быть представлен в виде линейной комбинации векторов e1, e2,…, en :

a =a1e1 +a2e2 + +anen .

Доказательство. Действительно,

a =(a1, a2,…, an ) =(a1, 0, 0,…, 0) +(0, a2, 0,…, 0) + +(0, 0, 0,…, an ) =

= a1(1, 0, 0,…, 0) +a2 (0, 1, 0,…, 0) + +an (0, 0, 0,…, 1) = a1e1 +a2e2 + +anen , что и доказывает теорему.

39

Приведем без доказательства еще три теоремы о линейной зависимости векторов.

2.2.5. Пусть n мерные векторы b1, b2,…, bm линейно выражаются через векторы a1, a2,…, ak . Если m > k, т. е. число линейных комбинаций больше числа данных векторов, то векторы b1, b2,…, bm линейно зависимы.

2.2.6. Если векторы двух конечных систем линейно независимых векторов линейно выражаются друг через друга, то эти системы имеют одинаковое число векторов.

2.2.7. Если в системе n мерных векторов число векторов m больше размерности векторов, т. е. m >n , то такая система векторов линейно за висима.

Пусть дана система n мерных векторов a1, a2,…, am и из нее выделена неко торая подсистема векторов ai1 , ai2 ,…, air . Условимся называть эту подсистему

базисом данной системы векторов, если векторы подсистемы линейно незави симы, а любой вектор исходной системы является линейной комбинацией век торов подсистемы.

ТЕОРЕМА 2.2.8. Любые два базиса одной и той же системы содержат одина ковое число векторов.

Эта теорема непосредственно следует из теоремы 2.2.6 и позволяет ввести новое понятие. Число векторов в произвольном базисе системы векторов на зывается рангом системы векторов.

До сих пор мы применяли понятия базиса и ранга к системе, состоящей из конечного числа векторов. Но теорема 2.2.7 позволяет распространить их на системы с бесконечным числом векторов, так как согласно этой теореме базис любой такой системы состоит из конечного числа векторов, не превосходящего их размерности.

В частности, можно говорить о базисе и ранге всех n мерных векторов, т. е. n мерного линейного пространства. Одним из базисов этого линейного пространст ва является единичный базис — система единичных векторов e1, e2,…, en . Так как число векторов в этой системе равно n, то любой базис n мерного линейного пространства должен содержать ровно n векторов. Поэтому часто говорят: набор любых n линейно независимых векторов n мерного линейного пространства называется базисом этого линейного пространства.

ТЕОРЕМА 2.2.9. Всякий вектор n мерного линейного пространства можно, и притом единственным образом, разложить по векторам базиса этого ли нейного пространства.

Доказательство. Пусть a1, a2, …, an — какой нибудь базис, а x — произвольный вектор n мерного линейного пространства. Система (n + 1) векторов a1, a2, …, an , x линейно зависима, т. е. λ1a1 +λ2a2 + +λnan +λn+1x = 0 , где λn+1 ≠ 0 (в противном случае векторы a1, a2, …, an были бы линейно зависимы). Если положить xi = −λi /λn+1 , то мож но выразить x через a1, a2, …, an следующим образом:

40