Algebra

−(λ+3)(λ−1)(λ−3) =0 ,

и его корни равны

Соответствующая однородная система линейных уравнений

для собственного значения λ1 = −3 имеет вид

или

3x1 +x2 +2x3 =0,4x1 +3x2 +x3 =0,

3x1 −x2 +4x3 =0.

Общее решение этой системы линейных уравнений найдем методом Жордана — Гаус са. Вычислительный процесс метода Жордана — Гаусса иллюстрируется табл. 4.3.1.

Т а б л и ц а 4.3.1

Таким образом, общее решение данной системы линейных уравнений можно най ти из системы

равносильной исходной.

Выбрав в качестве свободной неизвестной x3 (соответственно, в качестве базис ных — x1 и x2 ), получим:

x1 = −x3 ,x2 = x3 .

Общее решение системы получим, придавая свободной переменной x3 произволь ные действительные значения α :

81

Таким образом, множество всех собственных векторов, соответствующих собст венному значению λ1 = −3 , в координатной форме имеет вид:

где c1 — произвольное действительное число, н е р а в н о е н у л ю.

Система линейных уравнений для определения собственного вектора, соответст вующего собственному значению λ2 =1 , имеет вид

Ее общее решение найдем методом Жордана — Гаусса (табл. 4.3.2).

Общее решение системы получим, придавая свободной переменной x3 произволь

Множество всех собственных векторов, соответствующих собственному значению

Аналогичным образом определяется множество всех собственных векторов, соот ветствующих собственному значению λ3 =3 :

82

Обратимся к экономическим приложениям рассмотренных понятий собст венных векторов и собственных значений и опишем так называемую модель

международной торговли.

В этой модели рассматриваются n стран, обозначенных номерами i = 1, 2, …, n, н а ц и о н а л ь н ы й д о х о д i й страны обозначается xi, а доля националь ного дохода, которую j я страна тратит на покупку товаров у i й страны, обо значается aij.

Вектор

x1

x = x2 n×1 —

xn

называется вектором национальных доходов, а матрица

структурной матрицей.

Предполагается, что каждая страна весь свой доход тратит на закупку то варов и услуг — либо внутри страны, либо у других стран, т. е. сумма элемен тов любого столбца структурной матрицы равна единице:

i=1

Выручка i й страны от внутренней и внешней торговли составляет, очевидно,

n

pi = ∑aijxj =ai1x1 +ai2x2 + +ainxn , i =1, 2,…, n .

i=1

Требование б е з д е ф и ц и т н о с т и торговли приводит к условию, которое заключается в том, что выручка от торговли страны должна быть не меньше ее национального дохода:

или

n

∑aijxj .xi , i =1, 2,…, n .

i=1

Если предположить, что для некоторой страны

83

и сложив все неравенства этой системы (4.3.7), получим, что

x1 (a11 +a21 + +an1 )+x2 (a12 +a22 + +an2 )+ +xn (a1n +a2n + +ann )> x1 +x2 + +xn ,

откуда, учитывая условия (4.3.5), заключаем:

x1 +x2 + +xn > x1 +x2 + + xn ,

а это невозможно. Значит, наше предположение (4.3.6) было неверным, и на самом деле

i=1

Запишем условия (4.3.8) в матричной форме:

Ax = x

или

Ax =1 x .

Таким образом, международная торговля является сбалансированной, если структурная матрица имеет собственные векторы, соответствующие собст венному значению λ =1.

ПРИМЕР 4.3.2. Определить, является ли международная торговля двух стран А и Б сбалансированной, если вектор национальных доходов этих стран

а структурная матрица

Решение. Составим характеристическое уравнение для матрицы А:

т. е.

(0,5 −λ)(0,1−λ) −0,9 0,5 =0

или

84

λ2 −0,6λ−0,4 =0 .

Решаем это квадратное уравнение: дискриминант

D =0,36 −4 (−0,4) =1,96 =1,42

и корни

т. е.

λ1 =1, λ2 = −0,4 .

Итак, структурная матрица имеет собственное значение, равное единице, поэтому существует принципиальная возможность сбалансированной торговли.

Собственные векторы, соответствующие собственному значению λ1 =1, найдем как решения системы линейных алгебраических уравнений

Перенеся все неизвестные в левую часть, получим

откуда

x1 =1,8x2 .

Итак, собственные векторы, соответствующие собственному значению λ1 =1,

является именно таким вектором. Таким образом, заключаем, что международная торговля данных двух стран является сбалансированной.

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1.Что такое собственное значение матрицы?

2.Что такое собственный вектор матрицы?

3.Что такое характеристический многочлен матрицы?

4.Сколько различных собственных значений может иметь матрица?

5.Сколько различных собственных векторов могут соответствовать одному собственному значению матрицы?

6.Сколько различных линейно независимых собственных векторов могут соответствовать одному собственному значению матрицы?

7.Как найти все собственные значения матрицы?

85

xTAx .

В двумерном и трехмерном случаях квадратичные формы записываются следующим образом:

a11x12 +2a12x1x2 +a22x22, a11x12 +a22x22 +a33x32 +2a12x1x2 +2a13x1x3 +2a23x2x3 .

Квадратичная форма (и порождающая ее матрица) называются положи тельно (отрицательно) определенными, если для любого вектора x ≠ θ

Ax, x >0 ( Ax, x <0).

Квадратичная форма (и порождающая ее матрица) называются неотрица тельно (неположительно) определенными, если для любого вектора x ≠ θ

Приведем без доказательства несколько теорем о симметричных матрицах.

ТЕОРЕМА 4.4.1. Собственные значения симметричной матрицы с действи тельными элементами — действительные числа.

ТЕОРЕМА 4.4.2. Собственные векторы симметричной матрицы (линейного оператора, представимого симметричной матрицей), соответствующие различным собственным значениям, ортогональны между собой.

ТЕОРЕМА 4.4.3. Для того чтобы симметричная матрица A была положи тельно определенной (неотрицательно определенной, отрицательно опреде ленной или неположительно определенной) необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения этой матрицы были положительными (соответ ственно неотрицательными, отрицательными, неположительными).

ТЕОРЕМА 4.4.4 (КРИТЕРИЙ СИЛЬВЕСТРА). Для того чтобы симметричная мат рица A была положительно определенной или неотрицательно определен ной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры этой матрицы были соответственно положительными или неотрицательными. Для того

87

чтобы симметричная матрица A была отрицательно определенной или неположительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров этой матрицы чередовались, начиная с минуса для ∆1 (при неположительной определенности некоторые из главных миноров могут быть равны нулю).

ПРИМЕР 4.4.1. Определить, являются ли матрицы AAT , AT A , bbT , bTb из примера 1.2.4 симметричными, неотрицательно определенными, положитель но определенными.

Очевидно, эти матрицы являются квадратными и симметричными. Проверим с помощью критерия Сильвестра, являются ли они з н а к о о п р е д е л е н н ы м и.

Все главные миноры

=388 962 +172 872 +172 872 −131712 −352 947 −250 047 =0

матрицы

неотрицательны, значит, эта матрица является неотрицательно определенной. По скольку главный минор третьего порядка ∆3 =0 неположителен, матрица AAT не является положительно определенной.

Все главные миноры

матрицы

88

неотрицательны, значит, эта матрица является неотрицательно определенной. По скольку главные миноры третьего и четвертого порядков ∆3 = ∆4 =0 неположитель

ны, матрица AT A не является положительно определенной.

Вычисление определителя четвертого порядка ∆4 удобнее всего провести методом Жордана — Гаусса. Элементарные преобразования матрицы иллюстрируются табл. 4.4.1.

Т а б л и ц а 4.4.1

так как последний определитель имеет нулевую строку.

Аналогично устанавливается неотрицательная определенность матрицы bbT и положительная определенность матрицы bTb . Предоставляем читателю проверить это самостоятельно.

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1.Что такое квадратичная форма?

2.Какая квадратичная форма называется положительно определенной?

3.Может ли неквадратная матрица быть положительно определенной?

4.Может ли несимметричная матрица быть положительно определенной?

5.Как с помощью критерия Сильвестра узнать, является ли квадратичная форма положительно определенной?

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

1.По квадратичной форме

x12 +2x22 −3x32 +4x1x2 +2x1x3 +16x2x3

89

запишите порождающую ее матрицу.

2.Проверьте, являются ли матрицы

положительно определенными или отрицательно определенными.

§ 4.5. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Уравнения вида

Ax +b, x =c

определяют л и н и и на плоскости и п о в е р х н о с т и в пространстве.

Вспомним, что окружностью называется геометрическое место точек плос кости, равноудаленных от данной точки этой же плоскости, называемой цен тром. У р а в н е н и е о к р у ж н о с т и радиусом r c центром в точке P0 (a, b) в декартовых координатах записывается так (рис 2.9):

В левой части этого уравнения стоит квадрат расстояния от точки окружно сти до точки P0 (a, b) , он, очевидно, равен r2 .

ПРИМЕР 4.5.1. Составить уравнение окружности с центром в точке P0 (1, −2) и радиусом r =3 .

Решение. В соответствии с формулой (4.5.1) уравнение окружности запишет ся так:

Решение. Используя формулы полного квадрата суммы и разности, дополним до

90